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压轴大题突破练
压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一)
1．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求AB.

解　(1)设圆P的半径为r，
则PM＝1＋r，PN＝3－r，
∴PM＋PN＝4>MN，
∴P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，左顶点除外，
且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴P的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)由(1)知：2r＝(PM－PN)＋2≤MN＋2＝4，
∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．
圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4.
①当l的方程为x＝0时，AB＝2，
②设l的方程为y＝kx＋b(k∈R)，
解之得：或.
∴l的方程为y＝x＋，y＝－x－.
联立方程化简：7x2＋8x－8＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴AB＝＝.
综上，AB＝2或.
2．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，中心在原点．若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y＝kx＋m (k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当AM＝AN时，求m的取值范围．
解　(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)，
由题设＝3，解得a2＝3.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P(xP，yP)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，P为弦MN的中点，
由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
∵直线与椭圆相交，
∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0
⇒m2<3k2＋1.①
∴xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝＝－，
又∵AM＝AN，∴AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1.②
把②代入①得m2<2m，解得0<m<2；
由②得k2＝>0，解得m>.
综上求得m的取值范围是<m<2.
3．(2013·福建) 如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.

(1)若点C的纵坐标为2，求MN；
(2)若AF2＝AM·AN，求圆C的半径．
解　(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.
由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，
所以点C到准线l的距离d＝2，又CO＝，
所以MN＝2＝2＝2.
(2)设C(，y0)，则圆C的方程为
(x－)2＋(y－y0)2＝＋y，
即x2－x＋y2－2y0y＝0.
由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，
设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则

由AF2＝AM·AN，得|y1y2|＝4，
所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为(，)或(，－)，
从而CO2＝，CO＝，即圆C的半径为.
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点.
(1)解　由已知，可得b＝2，a2＝(b)2＝8，
所求椭圆方程为＋＝1.
(2)证明　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
若直线AB的斜率存在，设方程为y＝kx＋m，
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由k1＋k2＝8，得＋＝8，
所以＋＝8，
即2k＋(m－2)·＝8.
所以k－＝4，整理得m＝k－2.
故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k－2.
所以直线AB过定点.
若直线AB的斜率不存在，设AB的方程为x＝x0，
设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，
由已知＋＝8，得x0＝－.
此时AB的方程为x＝－，显然过点.
综上，直线AB过定点.