第一讲集合复习.doc

第一节 集合复习
一、知识梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征： 、 、
(2)元素与集合的关系是 或 关系，用符号 或 表示．
(3)集合的表示法： 、 、
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号

2.集合间的关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则 ．
(2)真子集：若 ，且 ，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即 ．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有 个，A的非空子集有 个．
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则
3．集合的运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形

符号
A∪B＝
A∩B＝
∁UA＝
4.集合的运算性质
并集的性质：
A∪∅＝ ；A∪A＝ ；A∪B＝ B＝A⇔.
交集的性质：
A∩∅＝； A∩A＝ ；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔
补集的性质：
A∪(∁UA)＝； A∩(∁UA)＝； ∁U(∁UA)＝ .
二、基础练习
1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；
②M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}；
③M＝{4,5}，N＝{5,4}；
④M＝{1,2}，N＝{(1,2)}．
2.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.
3.集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝，x∈R}，则M∩N＝________.
4.已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.
5.已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．
6.若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________．
三、例题讲解
（1）集合的基本概念
例1　若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求b－a的值

变式(1)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．
(2)若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
（2）集合间的关系
例2　设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则M与N之间有什么关系？

变式(1)设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有________个．
(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
（3）　设集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx2＋4mx－4<0对任意实数x恒成立，且m∈R}，则集合P与Q之间的关系为________．
（三）集合的运算
例3设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．

　变式：1设集合A＝，B＝{x∈Z|x－2>0}，则A∩B＝________.
2设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．
3已知A＝{x||x－a|<4}，B＝{x||x－2|>3}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．

（四）集合中的新定义问题
例4　在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是________．
变式：已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．
（五）分类讨论思想在集合中的应用

例　(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可取值组成的集合；
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的可取值组成的集合．