几何运动.doc

0940．在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
A
E
E
A
C
C
D
D
B
B
图1
图2
A
A
备用图
B
C
B
C
备用图
②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

25．（1）． 2分
（2）①． 3分
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴． 6分
∴．
∴．
∴． 7分
∵，
∴． 8分
②当点在射线上时，． 10分
当点在射线的反向延长线上时，． 12分

0941．如图14，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E在边DC上，且DE = 4cm．动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

0942．如图15，在△ABC和△PQD中，AC = k BC，DP = k DQ，∠C =∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H．
猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想．
说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以补充条件，选取图16完成证明得10分；选取图17完成证明得6分．
Q(H)
E
D
C
B(P)
A
H
Q
P
E
D
C
B
A
图15
Q
A
B
C
D
E
P
H
图16
图17

0943．已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线分别相交于点．
（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；
（3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．
（第25题图）
A
B
E
D
C
M
N
l
A
B
E
D
C
M
N
l
A
B
C
M
N
A
B
C
M
N
图1
图2
备用图
备用图

七、解答题（本题12分）
A
B
E
D
C
M
N
l
1
2
5
6
3
4
8
7
第25题（2）方法一图
25．解：（1） 2分
（2）成立． 3分
（方法一）：在上截取，连接．

4分

即

6分

7分
（方法二）：过点作直线，垂足为点，交于点．作，
A
B
E
D
C
M
N
l
1
2
5
6
3
4
H
F
G
第25题（2）方法二图
垂足为点． 4分
由（1）得

5分

7分
（方法三）：延长，交于点． 4分

5分

6分

7分
（3）不成立． 8分
存在．当点在射线上、点在射线的反向延长线上时（如图）， 10分
当点在射线的反向延长线上，点在射线上时（如图），
12分

A
B
E
D
C
M
N
l
1
2
5
6
3
4
F
7
A
B
E
D
C
M
l
A
B
E
C
M
D
l
N
第25题（2）方法三图
第25题（3）图①
第25题（3）图②

0944．是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接．
（1）如图（a）所示，当点在线段上时．
①求证：；
②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？
（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．
A
G
C
D
B
F
E
图（a）
A
D
C
B
F
E
G
图（b）
第25题图

25．（1）①证明：∵和都是等边三角形，
A
G
C
D
B
F
E
图（a）
第25题图
∴． 1分
又∵，，
∴，
∴． 3分
②法一：由①得，
∴．
又∵，
∴，
∴． 5分
又∵，
∴四边形是平行四边形． 6分
法二：证出，
得． 5分
由①得．
得．
∴四边形是平行四边形． 6分
（2）①②都成立． 8分
A
D
C
B
F
E
G
图（b）
第25题图
（3）当（或或或或）时，四边形是菱形． 9分
理由：法一：由①得，
∴ 10分
又∵，
∴． 11分
由②得四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形． 12分
法二：由①得，
∴． 9分
又∵四边形是菱形，
∴ 11分
∴． 12分
法三：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴ 9分
∴，
∴是等边三角形． 10分
又∵，四边形是菱形，
∴，
∴ 11分
∴，
∵，
∴． 12分

0945．如图1，是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点分别是的中点，顺次连接．
（1）猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，，其它条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由．

H
D
G
B
P
F
A
E
C
图1
C
H
D
G
B
P
F
E
A
图2
P
B
A
图3
第25题图

七、解答题（12分）
C
H
D
G
B
P
F
E
A
第25题（2）答图
25．（1）四边形是菱形． 2分
（2）成立． 3分
理由：连接． 4分
，
．
即．
又，，
（SAS）
． 6分
分别是的中点，
分别是，，，的中位线．
，，，．
3
2
1
C
H
D
G
E
A
P
F
B
第25题（3）答图
．
四边形是菱形． 7分
（3）补全图形，如答图． 8分
判断四边形是正方形． 9分
理由：连接．
（2）中已证．
．
，
．
又．
．
． 11分
（2）中已证分别是的中位线，
，．
．
又（2）中已证四边形是菱形，

0946.已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．
（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；
C
P
Q
B
A
M
N
（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

C
P
Q
B
A
M
D
N
26．（10分）
（1）过点作，垂足为．
则，
当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，
即时，四边形是矩形，
秒时，四边形是矩形．
，
C
P
Q
B
A
M
N
4分
（2）当时，

6分
C
P
Q
B
A
M
N
当时

8分
当时，
C
P
Q
B
A
M
N

10分

0947.如图，在直角梯形中，
，，为的直径，动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度运动．分别从点同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形为平行四边形？
A
D
B
O
C
Q
P
（2）当为何值时，与相切？

24．（1）解：∵直角梯形
O
A
P
D
B
Q
C

当时，四边形
为平行四边形．
由题意可知：

当时，四边形为平行四边形． 3分
O
A
P
D
B
Q
C
H
E
（2）解：设与相切于点
过点作垂足为
直角梯形

由题意可知：

为的直径，
为的切线

5分
在中，

即：

7分
因为在边运动的时间为秒
而
（舍去）
当秒时，与相切． 8分
0948.如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
A
Q
C
D
B
P

y
x
O

24．（10分）
O
N
B
P
C
A
M
解：（1），
又，
．
又是的直径，
，
，即，
而是的半径，
是的切线． （3分）
（2），
，
又，
． （6分）
（3）连接，
点是的中点，，，
而，，而，
，，，
又是的直径，，
．
，． （10分）

25．（12分）
A
Q
C
D
B
P
解：（1）①∵秒，
∴厘米，
∵厘米，点为的中点，
∴厘米．
又∵厘米，
∴厘米，
∴．
又∵，
∴，
∴． （4分）
②∵， ∴，
又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒，
∴厘米/秒． （7分）
（2）设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得秒．
∴点共运动了厘米．
∵，
∴点、点在边上相遇，
∴经过秒点与点第一次在边上相遇． （12分）
0950.请阅读，完成证明和填空．
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
O
O
O
M
M
M
N
N
N
E
图12-1
图12-2
图12-3
…
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图12-1，正三角形中，在边上分别取点，使，连接，发现，且．
请证明：．
（2）如图12-2，正方形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且 度．
（3）如图12-3，正五边形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且 度．
（4）在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：
．

27．（1）证明：∵是正三角形，
∴，
在和中，

∴． （2分）
∴．
又∵，
∴，
∴． （4分）
注：学生可以有其它正确的等价证明．
（2）在正方形中，． （6分）
（3）在正五边形中，． （8分）
注：每空1分．
（4）以上所求的角恰好等于正边形的内角． （10分）
注：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分．本题结论着重强调角和角的度数．

0951.已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．
（1）求证：BM=DN；
（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰3，求的值．

22．（1）证法一：连接BD，则BD过点O．
∵AD∥BC， ∴∠OBM=∠ODN． 1分
又OB=OD， ∠BOM=∠DON， 2分
∴△OBM≌△ODN． 3分
∴BM=DN． 4分
证法二：∵矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心． 1分
∴B、D和M、N关于O点中心对称． 3分
∴BM=DN． 4分
（2）证法一：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC．
又BM=DN， ∴AN=CM． 5分
∴四边形AMCN是平行四边形． 6分
由翻折得，AM=CM， 7分
∴四边形AMCN是菱形． 8分
证法二：由翻折得，AN=NC，AM=MC，
∠AMN=∠CMN． 5分
∵AD∥BC， ∴∠ANM=∠CMN．
∴∠AMN=∠ANM． ∴AM=AN． 6分
∴AM=MC=CN=NA． 7分
∴四边形AMCN是菱形． 8分
（3）解法一：∵，，
又：=1︰3，
∴DN︰CM=1︰3 9分
设DN=k，则CN=CM=3k．
过N作NG⊥MC于点G，
则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k． 10分
NG=
∴MN= 11分
∴ ． 12分
解法二：∵，，
又：=1︰3， ∴DN︰CM=1︰3 9分
连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN．
设DN=k，则CN=AN=CM=3k，AD=4 k．
CD= 10分
OC=
∴MN= 11分
∴ ． 12分

0952.一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a．
A
A
A
C
C
C
B
B
B
M
M
M
N
N
N
K
K
K
图3
图1
图2

（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1、图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
24、（本题满分9分）
解：（1），…………………………………………………………………1分
(1＋)a；…………………………………………………………………2分
（2），2a；…………………………………………………………………………4分
（3）猜想：重叠部分的面积为。……………………………………………………5分
理由如下：
过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G。　 ……………6分
为说明方便，不妨设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F。
由于M是△ABC斜边AB的中点，AC＝BC＝a
所以MH＝MG＝…………………………………………………………………7分
又因为 ∠HME＝∠GMF
所以 Rt△MHE≌Rt△MGF分
因此阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积。…………………………………8分
而正方形CGMH的面积是MG·MH＝×＝
所以阴影部分的面积是。………………………………………………………9分

0953.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
E
A
B
G
N
D
M
C
（第22题图）
（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

22．（本题满分10分）
解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.
E
N
G
D
M
A
B
C
图1
所以，S△EMN==0.5（平方米）.
即△EMN的面积为0.5平方米. 2分
（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，
即0＜x≤1时，
△EMN的面积S== 3分
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，
即1＜x＜时，
如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵ E为AB中点，
∴ F为CD中点，GF⊥CD，且FG＝.
E
A
B
G
N
D
M
C
图2
H
F
又∵ MN∥CD，
∴ △MNG∽△DCG．
∴ ，即． 4分
故△EMN的面积S＝
＝； 5分
综合可得：
6分
（3）①当MN在矩形区域滑动时，，所以有； 7分
②当MN在三角形区域滑动时，S=.
因而，当（米）时，S得到最大值，
最大值S===（平方米）. 9分
∵ ，
∴ S有最大值，最大值为平方米. 10分
0954.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
D
F
B
A
C
E
第23题图③
F
B
A
D
C
E
G
第23题图①
F
B
A
D
C
E
G
第23题图②

23．（本题满分10分）
A
D
F
B
C
E
G
图 ①
解：（1）证明：在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴ CG=FD． 1分
同理，在Rt△DEF中，EG=FD．
∴ CG=EG． 3分
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 4分
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
F
B
A
D
C
E
G
M
N
N
图 ②（一）
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG． 5分
在△DMG与△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN． 6分
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
F
B
A
D
C
E
G
M
图 ②（二）

∴ AG=EG．
∴ EG=CG． 8分
证法二：延长CG至M，使MG=CG，
连接MF，ME，EC， 4分
在△DCG 与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．
∴MF∥CD∥AB． 5分
∴．
在Rt△MFE 与Rt△CBE中，
∵ MF=CB，EF=BE，
∴△MFE ≌△CBE．
∴． 6分
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． 7分
F
B
A
D
C
E
图③
G
∴ △MEC为直角三角形．
∵ MG = CG，∴ EG=MC．
∴ ． 8分
（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．
其他的结论还有：EG⊥CG． 10分

0955.如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）求的长．
（2）当时，求的值．
A
D
C
B
M
N
（第23题图）
（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．
23.（本小题满分9分）
解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形
∴ 1分
在中，
2分
在中，由勾股定理得，
∴ 3分
（第23题图①）
A
D
C
B
K
H
（第23题图②）
A
D
C
B
G
M
N

（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形
∵
∴
∴
∴ 4分
由题意知，当、运动到秒时，
∵
∴
又
∴
∴ 5分
即
解得， 6分
（3）分三种情况讨论：
①当时，如图③，即
∴ 7分
A
D
C
B
M
N
（第23题图③）
（第23题图④）
A
D
C
B
M
N
H
E

②当时，如图④，过作于
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
在中，
又在中，
∴
解得 8分
解法二：
∵
∴
∴
即
∴ 8分
③当时，如图⑤，过作于点.
解法一：（方法同②中解法一）
（第23题图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F

解得
解法二：
∵
∴
∴
即
∴
综上所述，当、或时，为等腰三角形 9分

0956.如图，中，．半径为1的圆的圆心以1个单位的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）．
　　（1）当为何值时，与相切；
B
D
A
C
P
E
P
C
A
B
（第24题）
图1
图2
（2）作交于点，如果和线段交于点．证明：当时，四边形为平行四边形．

0957．(12分)如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR＝8cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，ts时△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积记为Scm2．
(1)当t＝3s时，求S的值；
(2)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
B
C
P
D
A
R
Q
l
(3)写出t为何值时，重叠部分的面积S有最大值，最大值是多少？