曲线运动万有引力复习学案.doc


●考点指要
知 识 点
要求程度
运动的合成和分解.
Ⅰ
曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向，且必具有加速度.
Ⅱ
平抛运动.
Ⅱ
匀速率圆周运动.线速度和角速度.周期.圆周运动的向心加速度a=,向心力.
Ⅱ
万有引力定律.重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力.重心.
Ⅱ
宇宙速度，人造地球卫星.万有引力定律的应用.
Ⅱ
【说明】 不要求会推导向心加速度的公式a=.
●复习导航
本章所研究的运动形式不同于前面两章，但研究的方法仍与前面一致，即根据牛顿第二定律研究物体做曲线运动时力与运动的关系.所以本章知识是牛顿运动定律在曲线运动形式下的具体应用.另外，运动的合成和分解是研究复杂运动的基本方法，万有引力定律是力学中一个独立的基本定律.复习好本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析解决实际问题的能力，同时对复习振动和波、交流电、带电粒子在电场或磁场中的运动做好必要的准备.平抛物体运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度、向心加速度和万有引力、人造卫星都是近年来高考的热点.由于航天技术、人造地球卫星属于现代科技发展的重要领域，所以近些年的高考对万有引力、人造卫星的考查每年都有.平抛运动、匀速圆周运动还经常与电场力、洛伦兹力联系起来进行综合考查.所以，对本章的复习应给予足够的重视.
本章内容可分成三个单元组织复习：(Ⅰ)运动的合成和分解；平抛运动.(Ⅱ)圆周运动.(Ⅲ)万有引力定律；人造地球卫星.
第Ⅰ单元 运动的合成和分解·平抛运动
●知识聚焦
一、运动的合成和分解
1.运动的独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，互不影响.
2.运动的合成：加速度、速度、位移都是矢量，遵守矢量的合成法则.
(1)两分运动在同一直线上时，同向矢量大小 ，反向矢量大小 .
(2)两分运动不在同一直线上时，按照 进行合成，如图4—1—1所示.

图4—1—1
(3)两分运动垂直时或正交分解后的合成
a合=
v合=
s合=
3.运动的分解：是运动合成的逆过程.
分解原则： .
二、曲线运动
1.曲线运动的特点：运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向.因此，质点在曲线运动中的速度方向时刻在改变.所以曲线运动 是变速运动.但是变速运动 是曲线运动.
2.物体做曲线运动的条件：从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向 一条直线上时，物体就做曲线运动.从动力学的角度说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向 一条直线上时，物体就做曲线运动.
三、平抛运动
1.定义：水平抛出的物体只在重力做用下的运动.
2.性质：是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.
3.处理方法：可分解为(1)水平方向速度等于初速度的匀速直线运动.vx＝ ，x＝ (2)竖直方向的自由落体运动.vy＝ ，y＝ .
下落时间t＝ (只与 有关，与其他因素无关).
任何时刻的速度v及v与v0的夹角θ：
v＝，θ＝arctan（gt/v0）
任何时刻的总位移：
s＝
●疑难辨析
1.匀变速曲线运动与非匀变速曲线运动的区别：
加速度a恒定的曲线运动为匀变速曲线运动，如 运动.
加速度a变化的曲线运动为非匀变速曲线运动，如 运动.
2.对运动的合成和分解的讨论
（１）合运动的性质和轨迹
两直线运动合成，合运动的性质和轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定：两个匀速直线运动的合运动是 .一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是 ：二者共线时为 ；二者不共线时为 .两个匀变速直线运动的合运动为 ：当合初速度与合加速度共线时为 ；当合初速度与合加速度不共线时为 .
(2)轮船渡河问题的分解
方法1：将轮船渡河的运动看做水流的运动(水冲船的运动)和轮船相对水的运动(即设水不流动时船的运动)的合运动.
方法2：将船对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解如图4—1—2所示，则v1－v2cosθ为轮船实际上沿水流方向的运动速度，v2sinθ为轮船垂直于河岸方向的运动速度.

图4—1—2
① 使船垂直横渡，则应使 ，此时渡河位移最小为d.
②要使船渡河时间最短，则应使 最大，即当θ＝90°时，渡河时间最短为t＝d/v2.
（2）物体拉绳或绳拉物体运动的分解——按运动的实际效果分解.
例如，图4—1—3中，人用绳通过定滑轮拉物体A，当人以速度v0匀速前进时，求物体A的速度.

图4—1—3
首先要分析物体A的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系.物体A的运动（即绳的末端的运动）可看做两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v0；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值.这样就可以将vA按图示方向进行分解，很容易求得物体A的速度vA＝ .当物体A向左移动，θ将逐渐变大，vA逐渐变大.虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动.
在进行速度分解时，要分清合速度与分速度.合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线.虽然分速度的方向具有任意性，但只有按图示分解时，v1才等于v0，才能找出vA与v0的关系，因此，分速度方向的确定要视题目而具体分析.在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出vA＝v0cosθ的错误结果.
3.平抛运动中，任何两时刻(或两位置)的速度变化量Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下.如图4—1—4所示.

图4—1—4
●典例剖析
［例1］一艘小船从河岸的A处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处，如图4—1—5所示.如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5 min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度.

图4—1—5

【思考】 (1)若渡河过程中水流的速度突然变大了，是否影响渡河时间?是否影响到达对岸的地点?
(2)如果v船＜v水，小船还能不能到达对岸的B点?这时的最小位移该如何求?

［例2］在高空匀速水平飞行的飞机，每隔1 s投放一物体，则
A.这些物体落地前排列在一条竖直线上
B.这些物体都落在地面上的同一点
C.这些物体落地时速度大小和方向都相同
D.相邻物体在空中距离保持不变

【思考】 (1)飞机上的人看物体做什么运动?地面上的人又认为物体做什么运动?
(2)若某时刻一物体刚离开飞机，试画出此前四个物体的运动轨迹示意图.
(3)若物体在落地前的最后10 s内，其速度方向由跟竖直方向成60°变为45°.那么，飞机的高度和速度多大?相邻物体落地点间的距离多大?

［例3］如图4—1—8所示，排球场总长为18 m，设网的高度为2 m，运动员站在离网3 m远的线上正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出.(g=10 m/s2)

图4—1—8
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界?
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是出界，试求出此高度?

第Ⅱ单元 圆周运动
●知识聚焦
一、描述圆周运动的物理量：

线速度
角速度
周期
转速
标矢性

公式

单位

相互
关系

注意
匀速圆周运动中的“匀速”指“ 不变”，圆周运动是一种 运动
二、机械传送中的两个重要思路：
（1）凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的 相等。
（2）凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一个转动轴同步转动）的轮子，轮上各点的 都相等（轴上的点除外）
a
b
c
d
例1：如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，
b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的
线速度之比、角速度之比、加速度之比。

【思考】 在皮带传动装置中，从动轮的转动是静摩擦力做用的结果.试分析一下主动轮和从动轮上的与皮带接触的各点所受摩擦力的情况.
三、向心加速度
（1） 物理意义：描述 的快慢。
（2）定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度，叫做向心加速度。
（3）方向：总是指向 ，方向 。是变加速度。
（4）大小：
四、匀速圆周运动：
（1）定义：物体运动轨迹是圆周或 的运动叫做圆周运动，做圆周运动的物体在任意相同时间内通过的 相等，这种运动叫做匀速圆周运动
（2）性质： 大小不变， 的变速运动。
大小不变， 的变加速运动。
五、 向心力：
（1） 定义：在圆周运动中产生向心加速度的力叫做向心力。
（2）作用效果：产生 ，不断改变速度的方向。向心力的方向 ，是变力。
★向心力是按 命名的。所以不能说某一物体受到了向心力，只能说某个力、哪些力的合力或哪个力的分力提供了向心力。受力分析时，没有向心力。
（3）大小： F向 =
（4）特点：向心力方向 ，只改变速度的 ，不改变速度的 。
★匀速圆周运动：物体所受到的 提供向心力，向心力大小 ，方向 ，始终与速度方向 ，且指向 。
★变速圆周运动：合外力 圆心。合外力的沿 方向的分力提供向心力，
使物体产生 ，改变速度的 ；合外力的沿 方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的 。
六．竖直平面内圆周运动的常用模型：

轻绳模型
轻杆模型
过拱桥
常
见
类
型

轻绳 外轨道
（无支撑的情况）

轻杆 管道
（有支撑的情况）

无约束的情景
对最
高点
的分
析
①时绳子或轨道对物体的弹力为 ，方向
②时绳子或轨道对物体的弹力为
③时，物体
★是物体能否在竖直面上能过最高点(能完成完整的圆周运动)的最小速度。
①时轻杆或管道对物体的弹力为 ，方向
②时轻杆或管道对物体的弹力为
③时，轻杆或管道对物体的弹力为 ，方向
★是物体所受弹力的方向变化的临界速度．
当时，车
★是
汽在竖直面上做圆周运动的最大速度．

例2：如图所示，长度为L＝0．5m的轻杆其下端固定于转轴O，上端连接质量为M＝2．0kg的物体A，物体A随着轻杆一起绕O点在竖直平面内做圆周运动，求在最高点时下列两种情况下球对轻杆的作用力
(1)A的速率为1．0m／s；
(2)A的速率为4．0m／s．

七．离心运动：
定义：做匀速圆周运动的物体，在所受 提供做圆周运动所需向心力时，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫离心运动
①离心现象是物体惯性的表现。
②离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
例3：质量为m的物体在细绳拉力作用下在光滑水平面内做圆周运动，当它运动到A点时，细绳突然断了。如图，画出了短绳后物体四条可能的轨迹，其中正确的是：（ ）
A、① B、②
C、③ D、④

八：处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：
(1)确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向.例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图4—2—1所示.小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O′点，不在球心O，也不在弹力FN所指的PO线上.

图4—2—1
(2)向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互做用力(重力、弹力、摩擦力等)以外再添加一个向心力.
1
2
例4：如图所示，两根细线把两个相同的小球悬于同一点，并使两球在同一水平面内做匀速圆周运动，其中小球1的转动半径较大，则两小球转动的角速度大小关系为ω1__________ω2，两根线中拉力大小关系为T1_________T2，（填“＞”“＜”或“=”)

例5：如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的细线相连，开始时A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B与水平转A
B
O

台间最大静摩擦力均为重力的μ倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？

第Ⅲ单元 万有引力定律·人造地球卫星
●知识聚焦
一、万有引力定律
1.万有引力定律的内容和公式
宇宙间的一切物体都是互相吸引的.两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.公式： ，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量.
2.适用条件：公式适用于质点间的相互做用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.均匀的球体也可视为质量集中于球心的质点，r是两球心间的距离.
二、应用万有引力定律分析天体的运动
1.基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.
G
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算
2.天体质量M、密度ρ的估算：
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径R和周期T，由G＝mR得M＝，ρ＝.(R0为天体的半径)
当卫星沿天体表面绕天体运行时，R＝R0，则 ρ＝
3.卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R的关系
(1)由G得v＝，所以R越大，v越小.
(2)由G＝mω2R，得ω＝，所以R越大，ω越小.
(3)由G 得T＝所以R越大，T越大.
4.三种宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度,也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度.
(2)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v2＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
5.地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，和地球自转具有同周期的卫星，T＝24 h.同步卫星必须位于赤道正上方距地面高度h≈2.6×104 km处.
●疑难辨析
1.重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的.物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等.即mg＝G，式中g为地球表面附近的重力加速度，R0为地球的半径.所以在求第一宇宙速度时，可以用m，也可以用m.
2.随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度
放于地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对它的引力提供.两个向心力的数值相差很多，如质量为1 kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N.
对应的两个向心加速度的计算方法也不同：物体随地球自转的向心加速度a1＝ω220＝，式中T为地球自转周期，R0为地球半径；卫星绕地球环绕运行的向心加速度ɑ2＝，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离.
3.运行速度和发射速度
对于人造地球卫星，由m＝m得v＝，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小.但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度却越大.
●典例剖析
［例1］地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%.经估算，地核的平均密度为_______kg/m2.（结果取两位有效数字，引力常量G＝6.7×10－11 N·m2/kg2、地球半径R＝6.4×106m)［例2］我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟”号载人试验飞船.飞船绕地球14圈后，地面控制中心发出返回指令，飞船启动制动发动机、调整姿态后，在内蒙古中部地区平安降落.
(1)假定飞船沿离地面高度为300 km的圆轨道运行，轨道半径为_______；其运行周期为_______min；在该高度处的重力加速度为_______.(已知地球半径为6.4×102 km，地球质量为6.0×1024 kg，万有引力恒量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2）
(2)飞船脱离原来轨道返回大气层的过程中，其重力势能将________，动能将________，机械能将________.（均填“增大”“减小”或“不变”)
【思考】 (1)宇宙飞船制动的过程与汽车刹车过程相比最大的区别是什么?(只分析速度的变化情况)
(2)在同一轨道上有甲乙两艘宇宙飞船，若甲想追上前方的乙，该如何操做发动机?
(3)若飞船做圆周运动的过程中外壳上有一隔热瓷片突然脱落，它将如何运动?
［例3］“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质(包括光子)有极强的吸引力.根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也将被吸入.最多恰能绕黑洞表面做圆周运动，根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.0×1012 m远的星体正以2.0×106 m/s的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径是多少?(保留一位有效数字)
［例4］在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比
A.公转半径R较大  B.公转周期T较大
C.公转速率v较大 D.公转角速度ω较小

章末综合讲练
●知识网络

1.运动的合成与分解是单元Ⅰ中的难点.要认识到力或运动的合成、分解都是用等效的思想来处理问题并使问题得以简化的方法.
2.渡河问题是运动的合成与分解的典型问题.分析求解这些问题时，正确画出速度合成与分解的矢量三角形图示，是解决问题的关键.通过训练，应熟练掌握.
3.要强调平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，它的速度变化Δv总是等于gΔt,方向竖直向下.
4.要明确向心力是做圆周运动物体所受指向圆心的合外力.对具体问题要会分析是什么力提供了向心力.F=mω2r=m是牛顿第二定律F=ma在圆周运动问题中的应用.
5.要理解物体在竖直面上做圆周运动时恰能维持圆周运动的临界条件.复习中也可适当扩展，举一些涉及电场力、磁场力的圆周运动问题进行分析，可使学生对条件理解得更清楚，也可提高综合应用知识处理问题的能力.
6.应用万有引力定律研究天体、人造地球卫星的运动是单元Ⅲ的重点.要熟练地应用及地球表面附近mg=等公式来求解天体及卫星问题.要训练学生熟练地运用比例法解题.
7.要知道卫星的运行速度、发射速度和环绕速度三者的区别.要知道卫星的轨道越高，其运行速度(v=)越小，但发射时所需要的发射速度却越大.
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