圆的有关计算课后练习一及详解.doc

学科：数学
专题：圆的有关计算
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师

重难点易错点解析
题一：
题面：若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是( )
A．l＝2r B．l＝3r C．l＝r D．l＝

金题精讲
题一：
题面：如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为 ．

题二：
题面：已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（ ）
A．90cm B．209cm C．155cm D．65cm

满分冲刺
题一：
题面：已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周又回到A点，求小虫爬行的最短路线的长度（结果保留根号）.

题二：
题面： 如图（1）所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的值取3）

题三：
题面：电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板ABCD做成一个扇形，于是设计了以下三种方案：
方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形ABC．
方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）．
方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按与图3类似的方法焊接成一个大扇形．

（1）容易得出图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角也为90°吗？为什么？
（2）容易得出图1中扇形与图3中所得大扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等吗？若不相等，面积是增大还是减小？为什么？
（3）若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？

思维拓展
题面：如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 ．

课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：A
解析：圆锥底面周长，即是扇形图的弧长，结合这个等量关系，推断该圆锥的母线l与底面半径r的关系.圆锥的底面周长为，展开图扇形弧长是，因此，则l＝2r，答案选择A.
金题精讲
题一：
答案：5
解析：如图，连接OD．由折叠可得OB=DB=OD，∴△ODB是等边三角形，从而DOB=60°．
∴∠AOD=∠AOB－∠DOB=50°，因此的长为=5π．

题二：
答案：A
解析：∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，∴AC=13；侧面积S=rl=5×13=65；底面积S=r=25；圆锥的表面积=65＋25=90cm.

满分冲刺
题一：
答案：小虫爬行的最短路线的长度为.
解析：根据题意，将圆锥沿着母线OA展开，如图所示.那么，小虫爬行一周回到点A的最短路线的长度就是图中AB的长.设∠AOB=°，由条件，得：，
∴，∴△OAB是直角三角形，又OA=OB=8，
∴，即小虫爬行的最短路线的长度为.

题二：
答案：蚂蚁想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米.
解析：因为是要求出蚂蚁在侧面上爬行的最短路程是多少，所以必须将圆柱由立体图形展开得到平面图形.如图（2），圆柱的侧面展开图是一个长方形，所求的最短路程就是AB的长度.根据题意，AC=12，BC=.在直角△ABC中，根据勾股定理可以得到：.
因此，蚂蚁想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米.

题三：
答案：（1）解：大于90°，
理由是：
取AB的中点M，取GH的中点N，连接MN，GM，
则四边形AMNG是正方形，
∠AMG=45°，
即∠MBG+∠MGB=45°，
∵GM＞AM．AM=BM，
∴∠MBG＞∠MGB，
∴∠MBG＞22.5°，
∴4∠MBG＞4×22.5，
即组成的扇形的圆心角大于90°．

（2）解：面积增大了，
理由是：∵扇形的面积是，而是一个常数，n大于90°，
∴按方案三所焊成的大扇形的面积大于按方案二所焊接成的大扇形的面积．
（3）解：∵n越大，所焊接的扇形的圆心角越大，
又∵不变，
∴扇形的面积也越来越大，
即当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积也逐渐增大．
解析：（1）取AB的中点M，取GH的中点N，连接MN，GM，得出正方形AMNG，求出∠MBG+∠MGB=45°，根据大边对大角得出∠MBG＞22.5°，求出圆心角大于90°；
（2）根据扇形的面积公式，中 不变，n越来越大，得出扇形面积越来越大，即可得出答案；
（3）根据n越来越大得出圆心角越来越大，根据扇形面积公式即可得出答案．

思维拓展
答案：6π
解析：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC（BD）=5．
∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，
∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为：=. 同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为：=2，点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为：=，则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为：=6．

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