曲线上一点处的切线、瞬时速度与加速度.doc

选修2－2 导数及其应用
1.1.2 曲线上一点处切线、瞬时速度、瞬时加速度 （总第48导学案）
一、学习目标
1、了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想求曲线上一点处的切线的方法；
2、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；了解求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。
二、重点与难点
重点：求曲线上一点处的切线的方法，求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。
难点: 了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想.
三、教学过程
（一）曲线上一点处的切线：
1、割线与切线的概念：
如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线。
随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的
直线，这时直线就称为曲线在点P处的切线。
2、切线的斜率：
如图，设曲线C上一点P (x,f(x))，过点P的一条割线交曲
线C于另一点，则割线PQ的斜率
,
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近
点P 的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率。即当时，→点
P(x，f(x))处的切线的斜率。这里可正也可负，当取负值时，点Q位于点P的左侧。
3、如何求曲线C:在P(x，f(x))点处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线）
第一步：求平均变化率；
第二步：求时，所趋近的值A。所以在点P处的切线的斜率k=A。
例1：已知，求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率及切线方程。

变1：运用割线逼近切线的方法，分别求曲线在x=0，x=－2，x=3处的切线的斜率。

变2：已知，求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率及切线方程。

（二）瞬时速度与瞬时加速度：
1、平均速度：
在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度。平均速度反映了物体在某一时间段内运动的快慢程度。具体求法：一般地，物体在做直线运动时，它的运动规律可以用函数s=s(t)描述，这个式子叫做物体的运动方程（也叫做位移公式）。如果一个运动物体在时刻时位于，在时刻称为时间增量）时位于，相应地，从到这段时间内，物体的位移（即位移增量）是，那么位移增量与时间增量的比，就是这段时间内物体的平均速度，即。如何精确刻画物体在某一时刻的快慢程度？
2、瞬时速度：
一般地，我们计算运动物体位移s(t)的平均变化率（即平均速度），如果当，→A（常数），那么这个常数A称为物体在时的瞬时速度。或叫时刻的速度。要特别记住：瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率。
3、如何求物体的瞬时速度？
第一步：求平均变化率；
第二步：求时，所趋近的值，即为物体在时的瞬时速度。
例2、如果一个物体的位移S(m)是时间t(s)的函数，求该物体在t时刻的速度v和加速度a。
4、瞬时加速度：
一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率，如果当，→A（常数），那么这个常数A称为物体在时的瞬时加速度。要特别记住：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率。
5、如何求物体的瞬时加速度？
第一步：求平均变化率；
第二步：求时，所趋近的值，即为物体在时的瞬时加速度。
例3、已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设ts时的速度为(t)=t2+3，
求t=t0s时轿车的瞬时加速度a.

例4、跳水运动员从腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，后运动员相对于水面的高度h(m)为。
求（1）时运动员的瞬时速度；
（2）运动员在t=s时的速度，并解释此时的运动状况。

课 外 作 业
1、如图，为经过曲线上点P和Q的割线，
若P(1，2)、Q(5，7)，则 ，
当Q沿曲线向点P靠近时，的斜率是变大
还是变小？ 。

2、在下列3个图中，直线为曲线在点P处的切线，
则的斜率分别是 、 、 。

3、某物体做匀速运动，其运动方程为S=vt+b，则该物体在运动中的平均速度、任意时刻的瞬时速度分别是 、 。
4、自由落体运动的位移S(m)与时间t(s)的关系为(g为常数)，则当s时的瞬时速度为 （m/s），当t=0、1、2s时的瞬时速度分别是 、 、 (m/s)。

5、曲线在处的切线斜率是 ，该处的切线方程是 。
6、已知质点的运动方程为，当质点速度为2时，t= 。
7、当时， ， .
8、已知曲线在某点的切线斜率为2，则此点的坐标是 。
9、曲线在点P处切线的斜率为k，当k=3时，点p的坐标是 。
10、已知曲线方程，则曲线在P(2，－1)处的切线方程是 。

11、一质点运动方程为(位移单位：m，时间单位：s)，求该质点在t=3s时的
瞬时速度 。

12、一物体运动的方程为，当t=a和t=a+1时的速度分别为、，
试比较、的大小。

13、某物体作匀加速直线运动，已知，求物体在时的瞬时速度和
瞬时加速度。

14、航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s。
（1）h(0)、h(1)分别表示什么？
（2）求第1s内的平均速度；
（3）求第1s末的瞬时速度；
（4）经过多长时间，飞机的速度达到75m/s？