求数列通项公式与数列求和教师版.doc

求数列通项公式与数列求和（一）求数列的通项公式1、观察法【基础知识总结】【方法与技巧总结】注意项数与项之间的关系，以及符号变化。一些数列给出前n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。【基础例题】写出下列各数列的一个通项公式：2，6，18，54，162，486，;；15，25，35，45，55，。解答与提示：这可以分析依等比数列（公比为（3）的通项公式得到：观察规律： 归纳得出：仔细观察，数列各项间有：是等差数列：。2、利用前n项和Sn法【基础知识总结】【方法与技巧总结】已知数列的前n项和，求通项公式，我们一般利用与的关系：，【基础例题】已知数列的前n项的和求它的通项公式。解：，此时a12S1，an为所求数列的通项公式。【变式练习】（1）已知数列的前n项的和Sn3n22n，求它的通项公式。（2）已知数列的前n项的和Sn，求它的通项公式。【基础知识总结】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；【方法与技巧总结】3、公式法（1）形如（为常数）且已知等差数列，为常数，由等差数列的通项公式得。【基础例题】已知数列中，求的通项公式。解：，则是以为首项，3为公差的等差数列。为所求的通项公式。（2）形如（为常数且）且已知等比数列，是以为首项，为公比的等比数列。4、构造阶差数列求通项形如an1anf（n）该形式中，只要f（1）f（2）f（3）f（n1）可以求出，就可以由an1anf（n）以n1，2，3，n1代入递推公式得到n1个等式，然后累加求得an1a1，从而ana1。【基础例题】已知an1ann22n1，a11，试求数列an的通项公式。解：由an1ann22n1得，an1an=n22n1设bn= an1an =n22n1，则数列bn的通项公式为bnn22n1，设bn的前n项和为Tn，则Tn122232（n1）2n2 （211）（221）（231）2（n1）1（2n1） bnan1ann22n1Tn =(an+1an）+(anan1）+（a3a2）（a2a1）=an+1a1Tn，an+1+a1an1补充说明：令bnan1ann22n1，则数列bn是一个阶差数列，Tn是bn的前n项和。【变式练习】（1）已知an1an2n3n2，a11，试求数列an的通项公式。（2）已知Sn12SnSn12n23n4，a11，试求数列an的通项公式。5、利用待定系数构造等比数列解数列的综合题的主要方法是求数列的通项公式，当递推模式在题中已知时，只需求出相关的待定系数便可，常常使用待定系数法。利用待定系数法可以求解形如an1AanBtnCnD（其中A、B、C、D为已知的常数且A0，）的递推数列的通项公式的求法。具体解法是将递推关系转化变形为“等比”数列求解。（1）形如（也为常数），已知。第一步，设，对比系数解得，从而原式转化为；第二步，设辅助数列，为首项，c为公比的等比数列。；第三步，得到数列an通项公式：。【基础例题】已知中且求此数列的通项公式。解：两边同加设即，是以为首项，2为公比的等比数列【变式练习】已知数列中，a15，求的通项公式。已知数列中，a11，求的通项公式。（2）形如an1AanCn（A1，AC0）的数列。第一步，设，对比系数得到，从而原式可以转化为：；第二步，设辅助数列，并求辅助数列；第三步，得到数列an通项公式。【基础例题】已知数列满足：（），求数列的通项公式分析：设，展开得，。解：，数列是以为首项，q5为公比的等比数列（3）形如an1AanBtn（A1，At，AB0，t1）的数列。第一步，设，对比系数得到，原式化为：；第二步，设辅助数列，并求辅助数列的通项公式；第三步，得到数列an通项公式。【基础例题】已知数列满足： ，求数列的通项公式。分析：设，展开得 由待定系数法知x3，。解：，数列是以为首项，以q4为公比的等差数列。【注意】特别地，当At时，递推关系，可以变形为：，如：【基础例题】已知数列满足：，求数列的通项公式。分析：设，展开得，由待定系数法知x15。解：，数列是等比数列，其首项为、公比为q5，。【变式练习】已知数列中，a11，求的通项公式。已知数列中，a11，求的通项公式。注意：该类型也可以两边同时除以qn1，转化为，引入辅助数列bn（其中bn），显然数列 bn 为形式。（4）递推关系形如an1AanBtnCnD（ABCD0）的数列。第一步，设，对比系数可以得到的值，对原式进行转化。第二步，设辅助数列，并求辅助数列的通项公式；第三步，得到数列an通项公式。【基础例题】已知数列满足：，求数列的通项公式。分析：本题的条件是前面几个问题的混合，也比较复杂，很难直接变形为新的等比数列的形式。可根据前面的类型的结论使用待定系数法。解：设变形后的形式为，展开整理得。由待定系数法知。所以有。再将代入上面已设的形式，就可以得到最终的变式：。就可以转化为一个新的等比数列，其首项为、公比为q2，。（5）形如an2pan1qan连续三项的递推关系构造等比数列转化为an1panqn第一步，设，所以（相当于解方程），对原式进行转化。第二步，设辅助数列，并求辅助数列的通项公式；第三步，根据辅助数列的通项公式进一步求数列an通项公式。【基础例题】已知数列的前n项和42(nN)，a1。（1）设2，求证：数列为等比数列；（2）设Cn，求证：是等差数列；（3）求数列的通项公式。证明：(1) 42， 42，相减得44， 是以3为首项，2为公比的等比数列，3(2)；是以为首项，为公差的等差数列（3）由（2）知得，即，an2n。说明：一个表达式中既含有又含有，一般要利用（n2），消去或【变式练习】（1）已知数列中，a11，a24，an23an12an，求的通项公式。（2）已知数列中，a11，2(nN)，求的通项公式。5、归纳、猜想、证明。有的数列很难用以上各法，求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。【基础例题】已知数列中，求数列的通项公式。解：由算出前几项分别为：，从而猜想：。最后由数学归纳法进行证明等式成立假设时等式成立，即，则当时，即时等式也成立。综合对任意都有成立。解法二：用设辅助数列方法来求，具体解法如下 此处，辅助数列解法比前面用猜测证明的解法简便。【变式练习】（1）已知数列中a1，求数列的通项公式。（2）已知数列中a12，求数列的通项公式。（二）数列求和的方法：1等差数列的前n项和公式：（1）首项（或末项）公差求和法：Sn，Sn（2）平均值求和法（或称为首项末项法，等差中项法）：Sn（3）当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d0时（a10），Snna1是关于n的正比例式2等比数列的前n项和公式：当q1时，Snn a1 （是关于n的正比例式）；当q1时，运用错位相减求和法得到，Sn或Sn【基础例题】（分类讨论）求和：解：当a0或b0时，（或）当ab时，；当ab时，（注意：作为等比数列共有n1项，公比为q）3拆项求和如an2n3n【基础例题】（分部求和法）已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由，则【基础例题】（分部求和法）求数列1，3，32，3n的各项的和解：其和为（133n）（）（3n13n）注意：133n共有n1项，而共有n项。4错位相减求和如an（2n1）2n非常数的等差数列与等比数列的积的形式。【基础例题】（错位相减法）设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和解：若a0时，Sn0若a1，则Sn123n若a1，a0时，SnaSn（aa2an）nan1，Sn【基础例题】（错位相减法）已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和解：得：，。【说明】数列为等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法求解。5裂项求和如an分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式。【基础例题】（裂项求和）解：，。【基础练习】求Sn法一，可以分成两步分拆，令n1，2，3，n，然后n个式子相加即可.(略)法二，可以直接分拆为然后令n1，2，3，n，所得n个式子相加即可.(略)【基础例题】（裂项求和）已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。解：首先考虑，则【说明】已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，如也可用裂项求和法得到。【拓展提高】（涉及三角函数的裂项求和）化简Sn解：tg(n1)tgn原式【拓展提高】（抽象函数中的裂项求和）已知函数f(x)满足f(x)f(y)，且x0时，f(x)0.求证：.解：令xy0得，f(0)0令yx，得f(x)f(x)f(0)0所以f(x)是奇函数注意到即令n1，2，3，n，再依次相加得 0， 6倒序相加求和如an【基础例题】设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解：因为，【说明】此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立【基础例题】（组合化归法）求和：解：而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。，【说明】可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项展开为n的多项式，再用分部求和法7递推求和【基础例题】（递推法）已知数列的前项和与满足：成等比数列，且，求数列的前项和解：由题意：，。【说明】本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列的前项和的递推公式，是一种最佳解法【拓展提高】【基础例题】数列中，且满足（）。求数列的通项公式；设，求；设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，（2）若，时，（其中，为数列得前n项和）故 （3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7，即存在最大整数使对任意，均有说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题，函数f（n）在（0，）上单调增。【基础例题】已知函数，数列an满足a1 1，an1 f（an） （nN*）。（）求数列an的通项公式;（）记Sna1a2 a2a3anan1，求Sn并求解: （）由 取倒数并化简，得，即 ，数列是以为首项3为公差的等差数列 ， （）设bnanan1 ，则 ， ， 小结：1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，复杂的数列转化为等差、等比数列 2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想，数学归纳法是这一思想的理论基础。3错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法（三）求数列an的最大项、最小项的方法方法一，作差法：an1an ：如an 2n229n3。方法二，作商法： （an0）：如an方法三，函数法（利用单调性）：对于anf（n），研究函数f（n）的单调性，如an壹號学堂家庭作业 学生姓名：_1、两种贷款偿还比较（1）等额还本付息贷款总额为a元，年利率为r，每满一年还款一次，等额n次还清，试求每一次等额还款数b元。分析：逐月还本付息法解：由题意，第n年还款b元是该年所还本金an以及在该次还款之前an在n年中所产生的复利，即an（1r）nb，所以an，a1a2a3ana，即a，a。b。（2）等本金还本付息贷款总额为a元，年利率为r，每满一年还款一次，等本金n次还清，试求n次总计还款数p元。2、一个黑色生两个白球，一个白球生一个黑球一个白球！在第一列有一个黑球，那么第二列就有两个白球，第三列有两个黑球、两个白球，第四列请问第n列有几个黑球？解：显然，第n列黑球白球的总个数为2n个。设第n列白球为个，黑球为个，则，b1=1，w1=0，b2=0，w2=2所以，（n3）所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，显然n=2时也成立将的左右同时除以，得，易得