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单元评估检测(九)
第九章
(120分钟　160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)
1.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为　　　　.

【解析】由平均数的定义求得x=8，由中位数的定义求得y=5，所以x+y=13.
答案：13
2.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图(如图)中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为　　　　.

【解析】因为小长方形的高的比等于面积之比，
所以从左到右各组的频率之比为2∶4∶3∶1，
因为各组频率之和为1，所以第二组的频率为1×=0.4，因为样本容量为30，
所以第二组的频数为30×=12.
答案：0.4，12
3.(2015·泰州模拟)某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是　　　　.
【解析】一班被抽取的人数是16×=9；二班被抽取的人数是16×=7.
答案：9，7
4.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为　　　　.

【解析】第一块的面积为0.06×5=0.3，第二块的面积为0.5，所以第三块的面积为0.2，根据中位数左右两侧的面积相等，也就是概率相等，所以中位数为12.
答案：12
5.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为　　　　.
【解析】记3个兴趣小组分别为1，2，3，甲参加兴趣小组1，2，3分别记为“甲1”、“甲2”、“甲3”，乙参加兴趣小组1，2，3分别记为“乙1”、“乙2”、“乙3”，则基本事件为“(甲1，乙1)；(甲1，乙2)；(甲1，乙3)；(甲2，乙1)；(甲2，乙2)；(甲2，乙3)；(甲3，乙1)；(甲3，乙2)；(甲3，乙3)”，共9个，记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“(甲1，乙1)；(甲2，乙2)；(甲3，乙3)”，共3个.因此P(A)==.
答案：
6.(2015·郑州模拟)已知函数f(x)=ax2-bx-1，其中a∈(0，2]，b∈(0，2]，在其取值范围内任取实数a，b，则函数f(x)在区间[1，+∞)上为增函数的概率为　　　　.
【解析】由f′(x)=2ax-b>0得x>，从而≤1，即b≤2a.因为点集(a，b)在区域a∈(0，2]，b∈(0，2]中，故可行区域的面积为S=4，而满足条件b≤2a的区域面积为S′=4-×2×1=3，从而所求概率为P=.
答案：
7.(2015·湛江模拟)在线段AB上任取一点P，以P为顶点，B为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB有交点的概率是　　　　.
【解析】由题意，要使该抛物线的准线与线段AB有交点，则需使点P在线段AB的中点与B之间，故由几何概型得，所求概率为P=.
答案：
8.(2015·无锡模拟)我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为　　　　.
【解析】系统抽样的抽取间隔为=6，
设抽到的最小编号为x，则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48，所以x=3.
答案：3
9.某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是下列中的　　　　.

【解析】由频率分布直方图可知：
[0，5)的频数为20×0.01×5=1个，
[5，10)的频数为20×0.01×5=1个，
[10，15)的频数为20×0.04×5=4个，
[15，20)的频数为20×0.02×5=2个，
[20，25)的频数为20×0.04×5=4个，
[25，30)的频数为20×0.03×5=3个，
[30，35)的频数为20×0.03×5=3个，
[35，40]的频数为20×0.02×5=2个，
则对应的茎叶图为①.
答案：①
10.已知Ω={(x，y)|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={(x，y)|x≤4，y≥0，x-2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为　　　　.
【解析】因为区域Ω内的点所围的面积是18个单位，而集合A中的点所围成的面积S△OCD=4.
所以向区域Ω上随机投一点P，
则点P落入区域A的概率为.

答案：
11.(2015·徐州模拟)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为　　　　.
【解析】设样本中男生人数为n，则有=，解得n=160.
答案：160
12.某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有　　　　人.

【解析】由频率分布图知，成绩在[14，15)内的频率为：0.16，
成绩在[13，14)内的频率为：0.06，
所以，成绩在[13，15)内的人数为：
50×0.16+50×0.06=11(人)，
则在这次百米比赛中获奖的人数共有11人.
答案：11
13.(2015·杭州模拟)用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，若乙有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　　　　.

【解析】由茎叶图可得，甲的5次综合测评成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩为：(88+89+90+91+92)=90.
设未记录数字的个位为x，则乙的5次综合测评成绩分别为83，83，87，99，90+x.则乙的平均成绩为：(83+83+87+99+90+x)=88.4+.
当x=9时，甲的平均数<乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，
当x=8时，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率为，
所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1--=.
答案：
14.在区间[-5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为　　　　.
【解析】由1∈{x|2x2+ax-a2>0}，得a2-a-2<0，
解得-1<a<2，所以所求概率为.
答案：
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)某市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
(2)在(1)的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
【解析】(1)第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3；第4组：×6=2；第5组：×6=1.
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人.
(2)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共有15种.
其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共有9种，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为=.
16.(14分)(2015·沈阳模拟)某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试.如图是这25位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了(这里暂用x来表示)，但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同.

(1)求这两个班学生成绩的中位数及x的值.
(2)如果将这些成绩分为“优秀”(得分在175分以上，包括175分)和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率.
【解析】(1)甲班学生成绩的中位数为(154+160)=157，乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7.
(2)用A表示事件“甲班至多有1人入选”.设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3.则从5人中选出3人的所有方法种数为：(A，B，1)，(A，B，2)，(A，B，3)，(A，1，2)，(A，1，3)，(A，2，3)，(B，1，2)，(B，1，3)，(B，2，3)，(1，2，3)共10种情况，其中至多1名甲班同学的情况共(A，1，2)，(A，1，3)，(A，2，3)，(B，1，2)，(B，1，3)，(B，2，3)，(1，2，3)7种，
由古典概型概率计算公式可得P(A)=.
17.(14分)(2015·九江模拟)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片中至少有一张蓝色卡片的概率.
(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
【解析】(1)从五张卡片中任取两张卡片的所有可能情况有如下10种：(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，
(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)，其中两张卡片中至少有一张蓝色有7种情况，故所求的概率为P1=.
(2)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：(红1，绿0)，(红2，绿0)，(红3，绿0)，(蓝1，绿0)，(蓝2，绿0)，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P2=.
18.(16分)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品.
(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率.
(2)从一等品零件中，随机抽取2个.
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率.
【解析】(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)==.
(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共有15种.
②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：(A1，A4)，(A1，A6)，(A4，A6)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)，共有6种，所以P(B)==.
19.(16分)(2015·珠海模拟)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩，从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩(单位：分)作样本，如图是样本的茎叶图：

(1)分别计算甲、乙两个班级数学成绩的样本平均数.
(2)从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取1名同学的数学成绩，求抽到的成绩之差的绝对值不低于20的概率.
【解析】(1)甲班数学成绩的样本平均数为：
=(91+102+114+122+123)=110.4.
乙班数学成绩的样本平均数为：
=(94+103+112+113+125)=109.4.
(2)根据题意，从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取1名同学的数学成绩分别设为x和y，构成一对有序数组(x，y)，则基本事件的总数为25，
设事件A：抽到的成绩之差的绝对值不低于20，
则事件A包含的基本事件为(91，112)(91，113)(91，125)(102，125)(114，94)(122，94)(123，94)(123，103)，共有8个.
P(A)=.
从甲、乙两个班级数学成绩的样本中各随机抽取1名同学的数学成绩，抽到的成绩之差的绝对值不低于20的概率为.
20.(16分)(2015·长春模拟)某校高三年级有男学生105人，女学生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查，设其中某项问题的选择，分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.

同意
不同意
总计
教师
1

女学生

4

男学生

2

(1)完成此统计表.
(2)估计高三年级学生“同意”的人数.
(3)从被调查的女学生中选取2人进行访谈，求选到两名学生中恰有一人“同意”，一人“不同意”的概率.
【解析】(1)

同意
不同意
总计
教师
1
1
2
女学生
2
4
6
男学生
3
2
5
(2)×126+×105=105(人).
(3)设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生编号为3，4，5，6，选出两人共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)共15种结果，
其中(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)共8种结果满足题意.每个结果出现的可能性相等，所以恰好有1人“同意”，一人“不同意”的概率为.
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