单元评估检测(四).doc

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单元评估检测(四)
第四章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2012·福建高考)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
(A) (B)x=-1 (C)x=5 (D)x=0
2.(2013·岳阳模拟)若(a-2i)i=b-i，其中a,b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=( )
(A)1+2i (B)-1+2i
(C)-1-2i (D)1-2i
3.已知△ABC中，=a,=b,a·b＜0, |a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为( )
(A)30° (B)-150°
(C)150° (D)30°或150°
4.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是( )
(A) (B)
(C) (D)
5.(2013·张家界模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点D满足：=( )
(A) (B) (C)- (D)-
6.定义运算则符合条件的复数z对应的点在( )
(A)第四象限 (B)第三象限
(C)第二象限 (D)第一象限
7.(2013·邯郸模拟)如图所示，非零向量且BC⊥OA,C为垂足，若(λ≠0)，则λ=( )
(A) (B)
(C) (D)
8.(2012·浙江高考)设a,b是两个非零向量.( )
(A)若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
(B)若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
(C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
(D)若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9.在△ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足则等于________
10.(2012·天津高考改编)已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=
λ=(1-λ),λ∈R,若,则λ=________
11.(2013·株洲模拟)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2)，定义一种向量运算a⊗b=(a1b1,a2b2)，已知m=(2,),n=(,0),点P(x,y)在y=sin x的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点，且满足(其中O为坐标原点)，则函数y=f(x)的值域是_________.
12.(2012·新课标全国卷)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=则|b|=_________.
13.(2013·北京模拟)设a∈R,且(a+i)2i为正实数，则a的值为_________.
14.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b，则9x+3y的最小值为_________.
15.已知平面向量α，β，且|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|=
_________.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)(2013·湖南十校联考)已知向量a=(2sin x, cos x),b=
(-sin x,2sin x),函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间.
(2)在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且f(C)=1，c=1，ab=2，且a＞b，求a,b的值.
17.(12分)已知复平面内平行四边形ABCD(A，B，C，D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.
(1)求点C,D对应的复数.
(2)求平行四边形ABCD的面积.
18.(12分)(2013·衡阳模拟)已知函数f(x)=a·(b-a)，其中向量a=(cos ωx,0)，b=(sin ωx，1)，且ω为正实数.
(1)求f(x)的最大值.
(2)对任意m∈R，函数y=f(x),x∈［m,m+π］的图象与直线y=有且仅有一个交点，求ω的值并求满足f(x)=(x∈［］)的x值.
19.(13分)(能力挑战题)(1)如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，试用a，b表示并判断与的关系.
(2)受(1)的启示，如果点A1，A2，A3，…，An－1是AB的n
(n≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.
20.(13分)已知向量m=(sin x,-1),n=(cos x,3).
(1)当m∥n时，求的值.
(2)已知在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，=2asin(A+B),函数f(x)=(m+n)·m,求f(B+)的取值范围.
21.(13分)(能力挑战题)已知在平面直角坐标系xOy中，向量j=(0,1)，△OFP的面积为，且=t,+j.
(1)若4<t<,求向量与的夹角θ的取值范围.
(2)设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且||=c,t=(-1)c2,当||取最小值时，求椭圆的方程.

答案解析
1.【解析】选D.由向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0，所以x=0.
2.【解析】选B.由已知得:ai+2=b-i,∴b=2,a=-1,
∴a+bi=-1+2i.
3.【解析】选C.

∴sin A=
又a·b＜0,∴A为钝角，∴A=150°.
4.【解析】选D.A，B选项正确；由题意知O为AC的中点，，故＝，即C选项正确；D中，，故D错误.
【方法技巧】利用基底表示向量的方法
在用基底表示向量时，要尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则或三角形法则进行求解.同时要注意平面几何知识的综合运用，如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用基底向量表示.
5.【解析】选D.
=
=
=
=.
6.【思路点拨】运用所给新运算把复数化为代数形式再判断其对应点所在象限.
【解析】选D. 由得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,∴z(1-i)=5,
设z=x+yi(x,y∈R),∴z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5,
(x+y)+(y-x)i=5,
解得x=y=>0.故复数z对应的点在第一象限.
7.【解析】选A.即
∴
∴
即λ2|a|2-λa·b=0，又λ≠0，解得λ=
8.【解析】选C.利用排除法可得选项C是正确的.∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且a与b反向，故A，B不正确；选项D，若存在实数λ,使得a=λb，a,b可为同向的共线向量，此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
9.【解析】是AM的一个三等分点，延长PM到H，使得MH=MP,

答案：
10.【思路点拨】将向量用表示，把所给条件转化为关于λ的方程求解.
【解析】选A.如图，
∵,

又∵,
且||=||=2,〈，〉＝60°,
·=||·||cos 60°=2,
∴［(1-λ)-］·(λ-)=,
λ||2+(λ2-λ-1)·+(1-λ)||2=,
所以4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=,
解得λ=.
答案：
11.【解析】设Q(x0,y0)，
则(x0，y0)=(2x,y)+(,0),
∴x0=2x+,y0=y,x==2y0,
∴2y0=sin(),y0=sin(),
∴-≤y0≤.
答案：［-，］
12.【解析】|2a-b|=⇔(2a-b)2
=10⇒4+|b|2-4|b|cos 45°=10⇒|b|=
答案:
13.【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2-1)i,
由(a+i)2i为正实数得解得a=-1.
答案:-1
14.【解析】若a⊥b,则a·b=0，所以2x+y=2，
由基本不等式得9x+3y≥6,当且仅当9x=3y,即x=,y=1时等号成立.
答案：6
15.【解析】由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,
∴α·β=,
∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×=10,
∴|2α+β|=.
答案：
【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧
(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算，特别要注意乘法公式的应用.
(2)熟记公式a2=|a|2=a·a，在遇到向量模的问题时，可将所给等式(不等式)两边平方，将向量问题转化为实数问题来解决.
16.【解析】(1)f(x)=-2sin2x+2sin xcos x=-1+
cos 2x+2sin xcos x
=sin 2x+cos 2x-1=2sin(2x+)-1，
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)，
得kπ-≤x≤kπ+ (k∈Z).
∴f(x)的单调增区间是［kπ-,kπ+］(k∈Z).
(2)f(C)=2sin(2C+)-1=1,∴sin(2C+)=1.
∵C是三角形内角，∴2C+=，即：C=，
∴cos C=，即:a2+b2=7.
结合ab=2可得：，解之得：a2=3或4，
∴a=，b=2或a=2,b=.
∵a＞b，∴a=2,b=.
17.【思路点拨】由点的坐标得到向量的坐标，运用向量、复数间的对应关系解题.
【解析】(1)设点O为原点，∵向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,
∴向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,
又
∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
又(1+2i)+(3-i)=4+i,
=2+i-(1+2i)=1-i,
∴=1-i+(4+i)=5,
∴点D对应的复数为5.
(2)由(1)知
∵
∴
∴
又
∴面积
∴平行四边形ABCD的面积为7.
18.【解析】(1)∵a·b=cos ωxsin ωx+0×1
=sin 2ωx,
∴f(x)=a·(b-a)=a·b-|a|2=sin 2ωx-cos2ωx
=sin 2ωx-
=sin 2ωx-cos 2ωx-
=sin(2ωx-)- .
∵-1≤sin(2ωx-)≤1,
∴f(x)的最大值为.
(2)∵函数f(x)的最大值为且y=f(x)，x∈［m,m+π］的图象与直线y=有且仅有一个交点，
∴f(x)的周期为π.∴ =π，∴ω=1.
∴f(x)=sin(2x-)- .
∵sin(2x-)-，
∴sin(2x-)= .
∵x∈［］,∴2x∈［,］，
∴2x-∈［0，π］，∴2x-=或，
∴x=.
19.【思路点拨】(1)把向量都用表示，再求和即可.(2)思路同(1).
【解析】(1)
＝
同理
∴
(2)
证明如下：
由(1)可推出

∴
同理

因此有
20.【解析】(1)由m∥n，可得3sin x=-cos x,
于是tan x=-,
∴
=.
(2)∵在△ABC中，A+B=π-C，于是sin(A+B)=sin C,
由正弦定理知：sin C=2sin A·sin C,
∴sin A=,可解得A=,或A=,
又△ABC为锐角三角形，于是A=,,
∵f(x)=(m+n)·m
=(sin x+cos x,2)·(sin x,-1)
=sin2x+sin xcos x-2
=
=,
∴
=.
由得＜2B＜π,
∴0＜sin 2B≤1,得.
即f(B+)∈(］.
21.【解析】(1)由,得,
又cos θ=,得tan θ=,
因为4<t<4，所以1<tan θ<,
因为θ∈(0,π),所以夹角θ的取值范围是().
(2)设P(x0,y0)，则＝(x0-c,y0),=(c,0).
所以＝(x0-c)c=t=(-1)c2,
所以x0=c,S△OFP=｜｜·|y0|=2,
所以y0=±,
所以
≥,当,
即c=2时||取最小值，
此时,
所以+(0,1)=(2,3)或+(0,1)=(2,-1),
椭圆长轴长2a==8,
所以a=4,b2=12,或2a=,
所以,
故所求椭圆方程为=1
或＝1.
【方法技巧】求动点轨迹方程的技巧和方法
(1)直接法：若动点的运动规律是简单的等量关系，可根据已知(或可求)的等量关系直接列出方程.
(2)待定系数法：如果由已知条件可知曲线的种类及方程的具体形式，一般可用待定系数法.
(3)代入法(或称相关点法)：有时动点P所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点P′的运动而运动，称之为相关点，若相关点P′满足的条件简单、明确(或P′的轨迹方程已知)，就可以用动点P的坐标表示出相关点P′的坐标，再用条件把相关点满足的轨迹方程表示出来(或将相关点坐标代入已知轨迹方程)就可得所求动点的轨迹方程的方法.
(4)几何法：利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程.
(5)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标间的关系，可选择一个(有时已给出)与所求动点的坐标x,y都相关的参数，并用这个参数把x,y表示出来，然后再消去参数的方法.
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