高等光学教程-第4章参考答案.pdf

第四章第四章 标量衍射理论基础标量衍射理论基础 4.1 证明（4-21）式所示的索末菲辐射条件成立。证明：球面是中心位于面上的发散球面波的波面，假定面 上的光场分布表示为 2S1S2Srjkr)式中exp(Ur表示产生发散球面波的点光源到球面2S上任意一点的距离。1 exp()cos()cos(,)rjjknrnrrrUUUn,rn rkr 当时，有Rr，所以这时有 1),cos(rn 2)exp()exp(1rjkrjkrjkrrjkjknUUU 当时，上式分母中的Rr可用R来代替，于是 2exp()1limlimlim(cossin)RRRjkrRjkRkrjkrnRRUU lim0jkrReR 4.2 参考图 4-8，考虑在瑞利索末菲理论中采用下式所表示的格林函数，即 010110101exp()exp()()jkrjkrPrrG(1)证明G的法线方向的导数在孔径平面上为零。(2)利用这个格林函数，求出用孔径上的任意扰动来表示0()pU的表达式，要得到这个结果必须用什么样的边界条件。(3)利用(2)的结果，求出当孔径被从2P点发散的球面波照明时0()pU的表达式 证明:下面是教材中图 4-8 1（1）由两项迭加而成，它们分别表示从互为镜像的点和)(1PG0P0P发出的两个初相位相同的单位振幅的球面波。孔径平面上任一点的1S1PG值为 010101011)exp()exp()(rrjkrjkrPG （P4.2-1）1()PG的法向导数为 0101010101010101)exp(1),cos()exp(1),cos(rrrrnrnGjkjkrjkrrjkn （P4.2-2）对于互为镜像点的和0P0P来说，有),cos(),cos(0101rnrn 0101rr （P4.2-3）将以上关系式代入（P4.2-2）式，得到 0nG （P4.2-4）（2）根据（4-22）式，观察点的光扰动可以用整个平面上的光扰动U和它的法向导数来表示 0P1S1d41)(0SsnnPGUGUU （P4.2-5）由，得 0101rr01011)exp(2)(rjkrPG （P4.2-6）将上式和（P4.2-4）式一同代入（P4.2-5）式，得到 11d)exp(21d41)(01010SSsrjkrnsGnPUUU （P4.2-7）为了将上式所表示的结果进一步简化，根据孔径上的场去计算点的复振幅分布，只需要规定如下两个边界条件：0P)(0PU（a）在孔径上，场分布的法向导数nU 与不存在衍射屏时的值完全相同。（b）在面上除去孔径外的其余部分，即位于衍射屏的几何阴影区的那一部分上面1S0n U。2根据上述边界条件 01001exp()11()dd42jkrPsnnrUUUGs （P4.2-8）（3）参考教材中图 4-5，孔径由位于点的发散球面波照明，即 2P)exp()(21211jkrrAPU 21212121exp()1cos(,)jkrAjknrUn rr 因为21r，即211rk，因此有 212121exp()cos(,)jkrAjknrUn r 将上式代入（P4.2-8）式，得到点光场的复振幅 0PsrjkrrjkrAjkPd)exp()exp(),cos(21)(01012121210rnU srrrrjkjAd),cos()(exp2101210121rn 4.3 考虑非单色扰动，其中心频率为(,)P tu而带宽为，定义一个相关的复数值扰动，它只是由的负频分量构成。因此 (,)P texp(2ju(,)P(,)P tu0(,)P tt duU 其中(,)PU是的傅里叶谱。假定几何关系如图 p4-3(,)P tu所示，证明若01nrv 则 图 p4-3 010101exp()1(,)(,)cos(,)jkrP tP trdsjruun01 式中v，而2k，为介质的折射率，为光在其中的传播速度。nv 3证明：根据方程（4-52），我们写出 sePjvrrtPvrtjdd),(22),cos()(012101010Unu),(tPu的中心频率为，带宽为。当)2,2(时，上式中第一个积分才不为 0，在的条件下，变化很小，因此可以用代替并将它拿出积分号之外。在vr01的条件下用)2exp(j01vr代替)2exp(01vrj，因此有方程 201001101cos(,)1(,)exp()(,)ddjtP tjkrPesjrn ruU 当点在之外时，上式改写为 1P0),(1tPusrrk jtPjtPd),cos()exp(),(1),(0101010rnuu 式中 v ，2k 4.4（1）一个半径为 1cm 的圆孔用=500nm 的单色平面波垂直照明，希望在垂直于光轴平面上 1cm 的观察区内观察菲涅耳衍射，求观察距离至少为多少？（2）有一个边长为 2.5cm 的正方形孔径，若要观察夫琅和费衍射，求观察距离至少为多少？解答：（1）运用(4-109)式，代入数据，得 2223max0.254xym 取 得 332.5zm1.36zm（2）运用(4-118)式 22max22z，代入数据，得 1636zm 4.5 用单位振幅的单色平面波垂直照明下列衍射屏，分别求出衍射屏后表面复振幅的角谱。（1）直径为 d 的圆孔。（2）直径为 d 的不透明圆屏。（3）宽度为的单缝 a（4）直径为的金属细丝 a解答.（1）22221coscos2coscoscos,cosddJAt 4（2）22221coscos2coscoscos,coscos,cosddJAt（3）coscossinccos,cosaaAt（4）coscossinccos,coscos,cosaaAt 以上运用了巴比涅原理。4.6 有一单位振幅的单色平面波垂直照明如图p4-6 所示的双缝，缝关于、轴对称，缝长为X、缝宽为Y，中心相距，设光波波长为，双缝所在的平面与观察平面相距di，求屏上夫琅和费衍射的强度分布 图 p4-6 解答：透射光波场 YXYX2rectrect2rectrect),(),(),(0tUU)exp()exp()sinc()sinc(),(yyyxfjfjYfXfXYUF 2sincsinccosiiiXxYyXYddyd 夫琅和费衍射图样 221(,)exp()exp()2sincsinccos2iiiiijkXxYyx yjkzxyXYyj dddd Ud 光强分布 222222(,)sincsinccosiiiiXYXxYyIx yddd Uyd 4.7 若用一个单位振幅的单色平面波垂直照明 5（1）图 p4-7(a)所示的方形环带，图中所示的两正方形中心重合，对应边平行，大小两正方形的边长分别为和2。02LiL（2）图 p4-7(b)所示的环状孔径，图中所示的两正方形中心重合，大小两圆的直径分别为和2。02LiL设光波波长为，孔径到观察平面的距离为 z，试导出该方形环带和环状孔径的夫琅和费衍射图样的表达式。图 p4-7(a)图 p4-7(b)解答：解答：(1)00(,)rectrectrectrect2222iiLLLL t 22220022224(,)sincsincsincsinciioiL xL yL xL yI x yLLzzzzz（2）0()irrrcirccircLLt 不计（4.8-8）式中的指数因子zkrjjkzee22，得到 01010(2)(2)()()iiL JLW JLraa UU tF，rz，2rxy2，22222010101012222222200(2)(2)2(2)(2)()iiiiiiL JLL JLL L JLJLILLL LU 4.8 设光沿z方向传播，在计算菲涅耳衍射时，一种方法是先从平面上的孔径开始，计算与相距并垂直于1P001zz轴的二维平面上的场分布，再由处计算到处，最后计算到观察平面上的场分布。另一种计算方法是由孔径1P1P2PnP0出发直接一次按计算到观察平面。证明上述两种方法是等价的，式中为平面nzz1zz2nPiz1iP 6至平面间的距离，i=1,2,3,。iP,(n)解答：设孔径上的场分布为0U，垂直于的面上由菲涅耳公式得到场分布 1P(1dd),(),(,(101yxyxhU)UU 即 ),(),(),10yxyxyxhU)(2exp221111yxzjkzjejkzh,(yx)(exp)exp(221111yxffzjjkzhHF)U,(yxF1(100),(),(),(),HUhUyxyxyxyxFFF(2U),(),()21yxyxyhU,x 所以 21021),(),()HHUHUyxyxyFFF2(U,x nnyHHUU0),)FFx(yx,(H12)()(exp)exp()exp(),2221210yxnnffzzzjjkzjkzyUFexp(xjkz)(exp),220yxffzjyUFexp(F(nU(x(xjkz,x),(),(),00yxyxyhUHUFF 所以 ),(),()0yxyxyhU 结论成立。4.9 有一波长为的点光源，位于直角坐标系中的),0,0(0z点（）00zxoy平面上球面波的相位分布；(1)求在(2)若以轴为光轴，求该球面波相位因子的二次曲面近似；z(3)在使用了上述二次曲面近似以后，与严格球面波的相位比较，相位是超前还是落后，请说明理由。解答：发散球面波的一般表达式为)(krtjerA（1）在xoy平面上，2220jk，近似表达式为 22020 xyjkjkzzee xyzeejkr（2）发散球面波指数因子的一般表达式为 722222000()|2()xyjkjkxyz zjk z zz zjkreeee（3）krt 1，222002()xytk zzzz 当b为一小量时有展开式 22/181211)1(bbb 因此有 bb211)1(2/1 所以 22210002()xyk zzkrzz 所以相位落后。4.10 有一波长为朝着点会聚的球面波（）。),0,0(0z00z1、求在xoy平面上球面波的相位分布。2、若以轴为光轴，求该球面波相位因子的二次曲面近似。z3、在使用了上述二次曲面近似以后与严格球面波的相位比较，相位是超前还是落后，请说明理由。解答：会聚球面波的一般表达式为 )(krterA（1）在xoy平面上，2022zyxjkjkree，近似式为 02202zyxjkjkzee（2）会聚球面波指数因子的一般表达式为|2|)(02202022zzyxjkzzjkzzyxjkjkreeee（3）krt 1，|2|02202zzyxzzkt 当b为一小量时，有展开式 22/181211)1(bbb 因此有 bb211)1(2/1 所以 0|2|022012krzzyxzzk 所以相位超前。4.11 在图 4-17 中设衍射孔径的宽度为，亮区和暗区之间为过渡区。证明过渡区的边界W2 8由抛物线或来描述。zxW4)(2zxW4)(2证明证明：图 p4-11 教材(4.7-6)式所表示的衍射积分中主要贡献来自于图 4-17 中平面上宽度为4z的正方形部分，该正方形的中心点位于 y x和，面积与成正比，表示观察点(,与zz)x y平面之间的距离。观察点的三维坐标直接决定了(,)x y z平面上对积分有贡献的正方形的中心和边长。在图 p4-11 中共有 4 条曲线，分别用 1，2，3，4 编号，画曲线 1，2 时对应的坐标x0，曲线 1 是亮区与过渡区的交界线，对于亮区来说要求积分区域全部在孔径平面上透光的范围之内。因此由边长为的正方形确定 1)x2(W 1)4z2(Wx 所以21()4Wxz 曲线 2 是暗区与过渡区的交界线，对于暗区来说要求积分区域全部在孔径平面上不透光的范围之内。因此由边长为的正方形确定 22()Wx 22()4xWz 所以22()4Wxz 代替1x或2x，将曲线方程表示为 x考虑一般情况，用2()4Wxz 曲线 3、曲线 4 与曲线 1、曲线 2 不同之处在于坐标x取负值，对于曲线 3 来说长度差 33|Wx4Wxz 23()4Wxz 曲线 4 44|()4xWWxz 24()4Wxz 或4x，将曲线方程表示为 2()4Wxz 3xx考虑一般情况，用代替综上所述，过渡区的边界由抛物线或来描述。zxW4)(2zxW4)(2 94.12 在圆孔的夫琅和费衍射图样中设观察平面上的决光能流为E，半径为W的圆面内所分布的光能流占总光能流的百分比为L(W0)，试求出L(W0)的表达式。解答：设衍射圆孔的半径为W，由(4-129)式，夫琅和费衍射的复振幅分布为 zkWrzkWrJzjAeerzkrjjkz122)(2U 观察平面上光强分布为 2102)(zkWrzkWrJIrI 式中20)(zAI，r为观察平面上从光斑中心量起的径向坐标，若以0Wr 为半径画一个圆，用代表落在此圆内的能量百分数，则有)(0WL0002120000021()d()d2dWWwkWrJEIzL WI r r rr rkWrEEEz 令kwrz 则 0022100()8dkWWzwzJEIkW 22100()8dzJEIkW 利用贝塞耳函数递推关系式 )()(dd111xJxxJxxnnnn 取，并乘以，再利用贝塞耳函数另一递推关系式 0n)(1xJ)()(dd1xJxxJxxnnnn 得到 )()(dd21)(d)(d)()()(2120111021xJxJxxJxxJxJxJxxJ 将此式代入和E0wE的表达式，并利用1)0(0J，0)0(1J最后得到 zkWWJzkWWJWL02102001)(10 4.13 有一薄的周期光栅，它的振幅透过率函数由下面复数形式的傅里叶级数给出 kLkjkAeCt2)(式中为光栅的周期，而系数 L222d)(1LLLkjAketLC(1)证明光栅第阶的衍射效率为；k2|kkC(2)又设有一个透过率函数为 LtAcos)(的周期光栅，计算第一级衍射光的效率。解答：（1）由傅氏变换的公式，得振幅透过率函数的傅里叶变换为)(2afexaxjF2()njLAKnxnnntC F eCfL Fn 阶的空间频率为xnfL。假定有一单位振幅的单色平面波垂直照明，所得任一衍射级的光强度正比于该级傅里叶展开系数的平方。更一般地说，对于任意强度的照明光波，某级的衍射效率等于该级函数的傅里叶系数的平方。这就是说衍射效率为 2|kkC（2）先求下述振幅透过率函数的傅里叶展开式的系数()cosAtL 系数 22211coskLjLkLCedLLL Fcosxfk LrectLL 111sinsin222xxxfk LLc LfLc LfLLL 12121sinsin222kkcc 第级的衍射效率为 k2212121sinsin422kkkkCcc 11所以第一级的衍射效率为 2221121131 224sinsin4.5422439Ccc%4.14 有一薄的方波吸收光栅，振幅透过率函数)(t如图 p4-14 所示，一单色平面波垂直照明该光栅，求以下部分占总入射光强的比例。(1)入射光为光栅所吸收的部分；(2)入射光为光栅所透过的部分；(3)透射光中第一级衍射光部分。图 p4-14 解答：在区间2L，图 p4-14 中的振幅透过率函数表示为 1()222Ammttrectt rectLL 根据上式求振幅透过率函数()At的傅里叶展开式系数，与上题中求系数所用的方法相同，得到 kC 22211222nLjLnmmLCtrectt recteLLL d 11222xmmfn Ltrectt rectLLLF 1sin()sin()22mmntc ntc(1)入射光为光栅所吸收的部分等于 1 减去2()xt在一个周期内的空间平均，它就是 22222211111()122224LAmmLLLtdttLL 3mt(2)入射光为光栅所透过的部分等于 1 减去吸收的部分，即 12 2231144mmtt (3)透射光中第一级衍射光部分可由的表达式求出。令nC1n，得 1211sin(1)sin()22mmmtCtctc 第一级衍射光部分的相对份额为 22124mtC 4.15 正弦型振幅光栅的振幅透过率函数 (,)t=01cos(2)()()22mfrectrectll,0f为光栅的空间频率,、为物平面上的坐标。求上述光栅的线色散/dx d和分辩本领/，x为像平面上的坐标。解答：（1）参考(4-137)式，有),(0yxI)(sin4)(sin4sinsin20220222222zfxzlcmzfxzlcmzlxczlyczl（2）图 p4-15 由次极大点的x坐标所满足的关系式00 zfx得到线色散0ddzfx，分辨本领的求法如下：设1和11是按照瑞利判据恰好能分开的两个波长，它们1级最大值的位置对应为和1xlzx11，将它们分别代入00 zfx得方程组 0)(001111011zflzxzfx 13解之得 Nlf01 （为光栅的总线条数）N 4.16 将两个正弦形振幅光栅G，G按条纹方向垂直地紧密地迭放在一起，设它们的振幅透过率函数分别是 G:010()cos(2)xt xttf x G:010()cos(2)yt yttfy 当用单位振幅的单色平行光垂直照明时求夫琅和费衍射斑的方向角。解答：入射的单位振幅的单色平面波的复振幅为1iU，设两正交重叠光栅后方的光场的复振幅为，则有 tU)()(),(ytxtyxitUU 由(4-119)式),()(exp)exp(),(22yxFffzjzjjkzfftyxyxUU)()(2)()()(exp)exp(10100022yyxyxyxfffttffttffzjjkzzj)()(2)()(200010yxxyyxfffttffftt)()(4)()(400110011yyxxyyxxffffttfffftt)()(4)()(20011001yyxxyxxffffttffftt)()(40011yyxxfffftt 2|),(|),(yxffyxIU结果有 9 项对应于 9 个不同的方向，这 9 个不同方向所对应的方向余弦列于下表之中。xfyf 0 0 xf0 xf 0 0cos 0cos 1cos 0cosxf 0cos 2021cosxf 0cosxf 0cos 2021cosxf 14 0cos 0cosyf 2021cosyf 0cosxf 0cosyf 2022021cosyxff0cosxf 0cosyf 2022021cosyxff0yf 0cos 0ycosf 2021cosyf 0cosxf 0cosyf 2022021cosyxff0cosxf 0cosyf 2022021cosyxff0yf 4.17 单位振幅的单色平面波垂直照明如图 p4-17 所示的 N 个全同狭缝，缝宽为，周期为d，证明其夫琅和费衍射的强度分布为 ax)=)(sin)(sin)(sin2222yxdyNxdyaxca I(式中x为观察平面上的坐标，y为观察平面与狭缝所在平面的距离，为光波波长。图 p4-17 解答：振幅透过率函数 adNadadat)1(rect2rectrectrect)(10rectnnand 不计(4-119)式中傅里叶变换式前的系数得到该光栅夫琅和费衍射的复振幅为)()()(0tFfxxUU 运用傅里叶变换的相似性定理和相移定理（见附录 A）得到 10100)2exp()sinc()2exp()sinc()(NnxxNnxxxndfjafandfjafafU 15)sin()sin()1(exp)sinc(dfdNfdfNjafaxxxx)(sin)(sin)(sinc|)(|)()(2222200dfdNfafaffIxIxxxxxU 将)(zxfx代入上式得到 zxdzNxdzxaaxI2222sinsinsinc)(4.18 正弦型相位光栅的振幅透过率函数 0(,)expsin(2)()()2mtjfrectrectll 证明上述光栅的分辩本领为/=,式中为贝塞耳函数的阶数。0qlfqNq证明：参考教材中（4-150）式，衍射光强分布为 qqzlyzqfxzlmJzlyxI202222sinc)(sinc2),(由上式可以看出，波长为1的光所产生的级衍射分量的峰值偏离衍射图样中心的距离为qzqfx10，波长为1的光所产生的q级衍射分量的第一个零点位置满足 1)(202zqfxzl 即应有 zqflzx202 根据瑞利判据，我们认为波长为1的光产生的q级谱线峰值与波长为2的光产生的级谱线的第一个零点相重叠时两条谱线刚好分辨，于是 q10201zqfzqfzl 1021()zqf zl 令 21 整理后得到 10qlfqM 16式中M为光栅空间周期条纹的总数。4.19 图 p4-19(a)为一菲涅耳直边衍射的示意图，图 p4-19(b)为在观察平面上的光强分布图，它是由图 p4-19(c)所示的考纽蜷线得到的。请画出在确定图 p4-19(b)中 A、B、C、D 四点的光强值时在考纽蜷线上所作的线段，并写出对应线段的名称。线段及相应字母标图p4-19(c)上，注明该线段与图 p4-19(b)中哪一点相对应。图 p4-19 解答：观察屏上某点的光强计算公式：2(21线段长度）I（b）图中 A 点：CQ，B 点：CR，C 点：CB，D 点：OC 4.20 有一圆对称的物体，在范围上无限，其振幅透过率函数)4(4)2(2)(00rJrJrtA 式中是第一类零阶贝塞耳函数，0Jr为二维平面上的半径。设有一单位振幅的单色平面波垂直照明物体。假设近轴条件成立，在该物体之后什么距离上除了一个复常数因子外，我们能够得到与物分布形式上相同的场分布。解答：该问题具有圆对称性，将)2(0rJF表示成)2(0rJB)1(21)2(0rJB 式中 zr)2(11221)2(2)4(00rJBrJB),(),(),(10yxhyxUyxU),(),(),(),(),(110yxffHyxUyxhyxUyxUFFFF 由（4.7-10）式 exp)exp()(2zjjkzH所以 )exp()exp()4(4)2(2),(),(200zjjkzrJrJffyxyxiiFFFHUU 17)exp()exp()2(4)1(2zjjkz)2(4)1()exp(4zjzjeejkz)4(4)2(2)exp(0401rJerJejkzzjzjiiUUFF 所以 )3cos()4()2(16)4(4)2(2|0022020zrJrJrJrJiU令mz23，得到 32mz，式中,2 ,1 ,0m 4.21（1）设有一个一维周期性物体，其振幅透过率为2()sintX，其中X为周期性物的空间周期，物体所在平面垂直于 z 轴，并位于 z=0 处，试计算在任一平面 z 处菲涅耳衍射的场分布和强度分布。（2）z 取什么值时重现原物体。解答：运用(4.7-11)式，注意本题是一维问题。（1）02()()()sintXUU 设单位振幅的平面波垂直照明，即0()1U，运用求菲涅耳衍射的公式，得 22exp()2()expd()expexp22jkzkxkxjjj zzzzjxUU 22exp()exp()exp22jkzkxkjFjj zzzU 22exp()exp()2kjzjkzkxjFF ej zzU 其中()FU可查表。22expexp()2xkFjj zjzfz 最后得到 xfzfjezjxjkz0202sin)exp()(U 式中 Xf10 xfzxxI0222sin1|)(|)(U 18（2）在任一常数的面上都可以看到物体的象。z 4.22 利用菲涅耳衍射积分（4-103）求圆形孔径的菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布，设单位振幅的单色平面波垂直照明孔径。解答：圆形孔径的透过率函数 22circ),(t 孔径受到单位振幅的单色平面波垂直照明，孔径平面上透射光场分布为 220circ),(),(),(),(ttUU 由菲涅耳衍射积分（4-103）式 2222exp()2(,)exp()(,)exp()exp()d d22zjkzkkx yjxyjjxyj zzzz UU 当，时，得到轴上光场的复振幅分布 0 x0y 2222exp()(0,0)circexp()d d2zjkzkjj zz U （P4.23-1）上式积分得到轴上不同点的复振幅分布 z(0,0)exp()1expexp()expexpexp244zkkkjkzjjkzjjjzzz U4kzzkzkjjkzj4sin4exp)exp(2 光强度分布 222(0,0)|(0,0)|4sin4sin42zzkIzzU 由此可见，圆孔菲涅耳衍射图样随着距离的增大中心有亮暗的变化，这一结论与用波带法作出的解释是一致的。z4.23 一单位振幅的单色平面波垂直照明如图 p4-23 所示的圆环形孔径。求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布 图 p4-23 解答：圆环形孔径的振幅透射率函数 19)1(011),(22aat其它地方 同单位振幅的单色平面波垂直照明，孔径平面上透射光场分布为),(),(),(),(0ttUU 在极坐标系中计算菲涅耳衍射积分，得到轴上不同的复振幅分布 z21220exp()(0,0)dexpdexp()expexp22za2jkzkjkkjrr rjkzajj zzzzU 强度分布 22(0,0)|(0,0)|2exp(1)exp(1)22zzkk2IjajazzU)1(2sin4)1(2cos22222azazk 由上式看到，当逐渐增大时，衍射图样有亮暗的变化。z当naz)1(22（），即,2 ,1nnaz212时，(0,0)0zI为极小值。当2)12()1(22naz时（,2 ,1n），即)12(12naz时，为极大值。(0,0)4zI本题中圆环形孔径的振幅透射率函数可以表示为 arrrtcirc)circ()(求出)(),(rtU以后，代入菲涅耳衍射公式可得到相同的结果。4.24 设有一圆形孔径，半径为R，孔径中心的坐标为，一单色球面波照明孔径，并向点 会聚，光波波长为)0,0,0(),0,0(0z。观察屏离孔径的轴向距离为，证明在一般情况下，照明球面波取近轴近似计算相位产生的误差和在菲涅耳衍射积分中采用二次曲面近似时产生的误差部分互相抵消，在什么情况下这种误差会完全抵消。z证明：2/12022)(zr将r展开，取展开式的前两项，并设 102202zzr（01）由（4-102）式 2222/12222)(2)()()(01zyzxzyxzejkr 20 将它们代入方程（4-103）时，21部分抵消了误差，当0zz 时，对于点的场分布来说误差完全抵消。),0,0(0z 4.25 设透镜的半径a=2cm，f=20cm,0.6 m,求焦平面上中央爱里斑的半径及焦点公差(景深)的大小。解答：由（4-269）式 020244sin21cos224)0,(IuuIuuuI 通常认为，对于接收面来说光强度值比中心强度低大约 20%还是允许的。2)4/()4/sin(uu减小 20%所对应的u值变化范围可由上式计算出来，结果由中心位置的移到，因此焦点公差或景深近似为 0u2.3um306.02cmcm20212122.3222afafz 021)(2),0(IvvJvI 第一个零点处 v22.1，rfav2，rfa222.1 由此解得 m66.361.0afr 4.26 如图 p4-27 所示不透明的屏上有一孔径0，单色点光源 S，孔径的中心 O 及屏上的O点均在同一轴线上，O为 S 的像点，i0与i之间的距离为 D（设 D0）1 求在孔径平面上入射波波前的二次曲面近似的表达式。2 设孔径0上到包含i平面上所考察区域的范围中满足菲涅耳衍射条件。0孔的形状为一半径为a的圆孔，在上述照明情况下，i面上所看到的光强分布。（解题过程中所用的题中未给定的参数如k、等均可自行假设）图 p4-26 21解答：zzzDr22222/1222 孔径平面上入射波波前的二次曲面近似表达式为)(222),(DjkjkDjkrieeDAerAU 孔径函数at22circ),(因此紧靠衍射孔径的后方光的复振幅分布为),(),(),(titUU 利用（4-103）式，求得面上的复振幅分布为 idd)()(2exp),(),(22yxDkjDjeyxtjkDiUU DyDxeDjAyxDjk,)(2222T 式中 ),(,tDyDxFT 光强分布 )(,|),(|),(2222222TTUDADyDxDAyxyxIi 式中 )2(circ)(1aaJarBT 其中 Dr，2/122)(yxri面上所看到的光强分布 DarJDrAaaJDAarI2)2()(2122122 22