《理论力学》静力学典型习题+答案.doc

1-3 试画出图示各结构中构件AB的受力图

1-4 试画出两结构中构件ABCD的受力图

1-5 试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图
1-5a

1-5b

1- 8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。

解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)
假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：
F2
FBC
FAB
B
45o
y
x
FBC
FCD
C
60o
F1
30o
x
y

由共点力系平衡方程，对B点有：

对C点有：

解以上二个方程可得：
解法2(几何法)
FBC
FCD
60o
F1
30o
F2
FBC
FAB
45o
分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。

对B点由几何关系可知：
对C点由几何关系可知：
解以上两式可得：

2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。

解：BC为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：

其中：。对BC杆有：
A，C两点约束力的方向如图所示。

2-4

解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：
对AB杆有：
对OA杆有：
求解以上三式可得：， ，方向如图所示。 //

2-6求最后简化结果。

解：2-6a
坐标如图所示，各力可表示为:
， ，
先将力系向A点简化得（红色的）：
，
方向如左图所示。由于，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A点的距离，位置如左图所示。
2-6b
同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：

其作用线距A点的距离，位置如右图所示。
简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？ 是

2-13

解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：

选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：

求解以上五个方程，可得五个未知量分别为：
（与图示方向相反）
（与图示方向相同）
（逆时针方向）

2-18

解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

求解以上两个方程即可求得两个未知量，其中：

未知量不一定是力。

以下几题可看一看！
2-27
解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：（运用力对轴之矩！）

由和可求出。平衡方程可用来校核。
思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？

2-29
解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：

(受拉)
(受压)

(受压)
(受拉)

本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。

2-31 力偶矩
解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:

补充方程：
五个方程，五个未知量，可得方程：

解得。当时有：

即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数。

2-33
解：当时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程：

附加方程：
四个方程，四个未知量，可求得。

2-35

解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程：

如果棱柱不滑动，则满足补充方程时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量，其中：
(1)
当物体不翻倒时，则：
(2)
即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。

FCx
FCy
FBx
FBy
3-10
解：假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对
象，受力如右图所示，列平衡方程：

取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平
衡方程：

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
(与假设方向相反)
(与假设方向相反)
(与假设方向相反)

3-12
FCx
FCy
FD

解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

解得，命题得证。
注意：销钉A和C联接三个物体。

FA
FB
3-14

解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：

即必过A点，同理可得必过B点。也就是和是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。
取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

解得：(方向如图所示)
3-20
解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：
(受压)
D
F3
F2
F1
x
y

选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：
(受压)
(受拉)

选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(与假设方向相反)

(逆时针)
FAx
FAy
FBx
FBy
3-21
解：选整体为研究对象，受力如右图所示。
列平衡方程：

(1)

由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：。
取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

代入公式(1)可得：
3-24

解：取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程：

取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。

3-27
解：取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：
(1)
取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(2)
FAx
FAy
FN
Fs
P
P

补充方程：，
将(1)式和(2)式代入有：，即。
3-29（…………………………）
证明：（1）不计圆柱重量
法1：
取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则等值，反向，共线。由几何关系可知，与接触点C，D处法线方向的夹角都是，因此只要接触面的摩擦角大于，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。
FND
FSD
o
FAx
FAy

法2（解析法）：
首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为R，列平衡方程：

由补充方程：，可得如果：

则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。

证明：（2）圆柱重量P时
取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P，C点和D点处的全约束力。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D点（如图所示）。全约束力与C点处法线方向的夹角仍为，因此如果圆柱自锁在C点必须满足：
(1)
该结果与不计圆柱重量时相同。只满足(1)式时C点无相对滑动，但在D点有可能滑动(圆柱作纯滚动)。再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得，由几何关系可得：
(2)
法1（几何法）：
P
φ
FRD
FRC

圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知：
将(2)式代入可得：
因此如果圆柱自锁在D点必须满足： (3)
即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。

法2（解析法）：

取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

解得：，
代入补充方程：，
可得如果圆柱自锁在D点必须满足： (3)
即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。

3-30
解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力，以及B和C处的约束力和，由三力平衡汇交，可确定约束力和的方向如图所示，其中：，杆AC受压。

取轮A为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：

取轮B为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：

解以上六个方程，可得：
， ，
，
若结构保持平衡，则必须同时满足：
，，，
即：，
因此平衡时的最大值，此时：
，
3-35
解：由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

(受拉)
(受拉)
(受压)
3-38
解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(受压)

取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

其中：，解以上两个方程可得：(受压)
3-40
解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
A
B
C
3
4
5
FAy
FAx
FB
C
S
S

用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：
(受拉)
(受拉)

4-1

解：
1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为。
2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。
3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角δθ，相应的各点的虚位移如下：
，，
，，
代入可得：
4.由虚位移原理有：

对任意有：，物体所受的挤压力的方向竖直向下。

4-4
解：4a
1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。
2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知：
杆的质心坐标可表示为：

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度
δθ，则质心C的虚位移：

4.由虚位移原理有：

对任意有：

即杆AB平衡时：。

解：4b
1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。
2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知：
杆的质心坐标可表示为：

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度
δθ，则质心C的虚位移：

4.由虚位移原理有：

对任意有：

即平衡时角满足：。
4-5

解：
1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力，且，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有，以及重力。
2. 该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知：

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移δθ，则质心的虚位移为：

弹簧的长度，在微小虚位移δθ下：

4.由虚位移原理有：

其中，代入上式整理可得：

由于，对任意可得平衡时弹簧刚度系数为：

4-6

解：解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。
1．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如图所示。由虚位移原理有：

对任意可得：
2．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如下图所示。由虚位移原理有：
(1)

由几何关系可得各点的虚位移如下：

代入(1)式：

对任意可得：，方向如图所示。

3．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如上图所示。由虚位移原理有：
(2)
有几何关系可得各点的虚位移如下：

代入(2)式：

对任意可得： ，逆时针方向。

4-7
解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷，大小为。

1.求支座B处的约束力
解除B点处的约束，代之以力，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角为广义坐标。给定虚位移，由虚位移原理有：
(1)
各点的虚位移如下：

代入(1)式整理可得：

对任意可得： ，方向如图所示。

2.求固定端A处的约束力
解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。

2a.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理有：
(2)
各点的虚位移如下：

代入(2)式整理可得：

对任意可得： ，方向如图所示。
2b.求

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理有：
(3)
各点的虚位移如下：

代入(3)式整理可得：

对任意可得： ，方向如图所示。

2c.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理有：
(4)
各点的虚位移如下：

代入(4)式整理可得：

对任意可得： ，顺时针方向。
4-8
解：假设各杆受拉，杆长均为a。

1．求杆1受力
去掉杆1，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有，且：

滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转，且：

对刚性杆CD和杆CE，由于，因此。由虚位移原理有：

代入各点的虚位移整理可得：

对任意可得： （受压）。

2．求杆2受力
去掉杆2，代之以力，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有，且：

同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转，且：

杆AD绕A点转动，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且：

同理可知。由虚位移原理有：

代入各点的虚位移整理可得：

对任意可得： （受压）。

3．求杆3受力
去掉杆3，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，，且：

同理可知B点不动，，且：

由虚位移原理有：

代入各点的虚位移整理可得：

对任意可得： （受拉）。
θ
4-12铅垂力F为常力
解：F大小和方向不变，常力也是有势力。取
杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保
守系统，有一个自由度，选为广义坐标，如
图所示。取为零势能位置，则系统在
任意位置的势能为：

由平衡条件可得：

有： 和
即： 和
也就是： 和两个平衡位置。
为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：

当时，
，即时是不稳定平衡。
当时，

由上式可知：
1． 当且时，即是稳定平衡位置；
2． 当且时，即是不稳定平衡位置。
O
x
y
h
C
θ
θ
β

4-15

解：取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中。由于半圆柱作纯滚动，有：
（1）
取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：

代入（1）式有：

由平衡条件可得为平衡位置。势能V的二阶导数：

由上式可得当，是稳定的。