弹簧振子模型.doc

动量 二
弹簧振子模型
★如图所示轻弹簧的一端固定，另一端与滑块相连，静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与相同的滑块，从导轨上的点以某一初速度向滑行。当滑过距离时，与相碰，碰撞时间极短，碰后、紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后恰好返回到出发点并停止。滑块和与导轨的动摩擦因数都为，运动过程中弹簧最大形变量为，重力加速度为。求从点出发时的初速度。

★如图8所示，木块B和木块C的质量分别为3/4M和M，固定在长为L，劲度系数为k的弹簧的两端，静止于光滑的水平面上。一质量为1/4M的木块A以速度v水平向右与木块B对心碰撞并粘在一起运动，求弹簧达到最大压缩量时的弹性势能。

★如图所示，为水平气垫导轨，滑块A、B用轻弹簧相连，今将弹簧压紧后用轻绳系在A、B上，然后以恒定的速度v0向右运动，已知A、B质量分别为m1、m2，且m1< m2,滑动中轻绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，滑块A的速度刚好为零。求：(1)绳断开到第一次恢复到自然长度过程中弹簧释放的弹性势能EP ; (2) 在以后运动过程中,滑块B是否会有速度等于零的时刻?试通过定量分析、讨论，来证明你的结论。
A B v0
( Ep=m1(m1+m2)v02/2m2 ； 不可能)

v0
m1 m3 m2
★如图所示，质量为m2 和m3的两物体静止在光滑的水平面上，它们之间有压缩的弹簧，一质量为m1的物体以速度v0向右冲来，为防止冲撞，弹簧将m2 、m3向右、左弹开，m3与m1碰后即粘合在一起。问m3的速度至少应多大，才能使以后m3和m2不发生碰撞？
(

★图6所示，在光滑的水平面上，物体A跟物体B用一根不计质量的弹簧相连，另一物体C跟物体B靠在一起，但不与B相连，它们的质量分别为mA=0．2 kg，mB=mC=0．1 kg．现用力将C、B和A压在一起，使弹簧缩短，在这过程中，外力对弹簧做功7．2 J．然后，由静止释放三物体．求：
(1)弹簧伸长最大时，弹簧的弹性势能．
(2)弹簧从伸长最大回复到原长时，A、B的速度．(设弹簧在弹性限度内)
解析：(1)在水平方向上因不受外力，故动能守恒．从静止释放到恢复原长时，物体B、C具有相同的速度vBC，物体A的速度为vA，则有：
图6
mAvA+(mB+mC)vBC=0
由机械能守恒得：
E弹=mAvＡ２+ (mB+mC)vBC２
解得：vA=6(m/s),vBC=-6 m/s(取水平向右为正)．
此后物体C将与B分开而向左做匀速直线运动．物体A、B在弹簧的弹力作用下做减速运动，弹簧被拉长，由于A的动量大，故在相同的冲量作用下，B先减速至零然后向右加速，此时A的速度向右且大于B的速度，弹簧继续拉伸，直至A、B速度相等，弹簧伸长最大，设此时A、B的速度为v．
由水平方向动量守恒可列式：
mAvA+mBvBC=(mA+mB)v
由机械能守恒可列式：
mAvＡ２+ mBvBC２= (mA+mB)v２+E弹′
解得：v=2 m/s,E弹′=4．8 J
(2)设弹簧从伸长最大回到原长时A的速度为v1，B的速度为v2，由动量守恒可列式：
(mA+mB)v=mAv1+mBv2
由机械能守恒又可列式：
(mA+mB)v２+E弹′= mAv１２+mBv２２
解得：v1=-2 m/s(v1=6 m/s舍去)；v2=10 m/s(v２=-6 m/s舍去)
此时A向左运动，速度大小为2 m/s；B向右运动，速度大小为10 m/s．
答案：（1）4．8 J （2）vA=2 m/s,vB=10 m/s

★质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为h，如图所示，一物块从钢板正上方距离为3h的A处自由下落，打在钢板上，并立刻与钢板一起向下运动，但并不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到o点，若物块质量为2m，仍从A点处自由下落，则物块与钢板回到o点时，还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与o点的距离。
A
m O h 3h

( h/2 )

m
R
M
★质量为M的小车置于水平面上，小车的上表面由光滑的1/4圆弧和光滑平面组成，圆弧半径为R，车的右端固定有一不计质量的弹簧。现有一质量为m的滑块从圆弧最高处无初速下滑，如图所示，与弹簧相接触并压缩弹簧。求：（1）弹簧具有最大的弹性势能；（2）当滑块与弹簧分离时小车的速度。
（ mgR ； ）

★在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使在不停地坐热熨斗（速率约几百米每秒）的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时间，为此已发明了“激光制冷”技术，若把原子和入射光子分别类比为一辆小车和一个小球，则“激光制冷”与下述的模型很类似。一辆质量为m的小车（一侧固定一轻弹簧），以速度v0水平向右运动，一动量大小为P，质量可以忽略的小球水平向左射入小车并压缩弹簧至最短，接着被锁定一定时间t,再解除锁定使小球以大小为2P的动量水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程，最终小车将停下来。设地面和车厢均为光滑，除锁定时间t外，不计小球在小车上运动和弹簧压缩、伸长的时间，求：
（1）、小球第一次入射后再弹出时，小车的速度的大小和这一过程中小车动能的减少量；
（2）、从小球第一次入射开始到小车停止运动所经历的时间。

（1、3v0P-9P2/2m; 2、mvot/3P）
★（1）如图1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等。现突然给左端小球一个向右的速度μ0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度。
（2）如图2，将N个这样的振子放在该轨道上，最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0。其余各振子间都有一定的距离，现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰.求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。
解析：（1）设每个小球质量为，以、分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度. 由动量守恒和能量守恒定律有 （以向右为速度正方向） 解得
由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解：
（2）以v1、v1’分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律，mv1＋mv1’＝0
解得
在这一过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解： 振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速度仍为，此后两小球都向左运动，当它们向左的速度相同时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大，设此速度为，根据动量守恒定律：
用E1表示最大弹性势能，由能量守恒有
解得
★在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”，这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球和用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板，右边有一小球沿轨道以速度射向球，如图所示，与发生碰撞并立即结成一个整体，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后球与挡板发生碰撞，碰后、都静止不动，与接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知、、三球的质量均为。
(1)求弹簧长度刚被锁定后球的速度。
(2)求在球离开挡板之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

★质量为m的小球B与质量为2m的小球C之间用一根轻质弹簧连接，现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x0，如图所示，设弹簧的弹性势能与弹簧的形变量（即伸长量或缩短量）的平方成正比。小球A从小球B的正上方距离为3x0的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动。已知小球A的质量也为m时，它们恰能回到O点（设3个小球直径相等，且远小于x0,略小于直圆筒内径），问小球A至少在B球正上方多少距离处自由落下，与B球粘连后一起运动，可带动小球C离开筒底。
解析：设小球A由初始位置下落至小球B碰撞前的速度为v0,由机械能守恒得
mg3x0=mv02 (1)
所以v0= (2)
设小球A与小球B碰撞后共同速度为v1,由动量守恒得 mv0=2mv1 (3)
所以v1= (4)
设弹簧初始的弹性势能为EP，则碰撞后回到O点时机械能守恒得
2mgx0=2mv12+EP (5)
由(1)(3)(5)式可得EP=mgx0 (6)
小球B处于平衡时，有（设k为弹簧的劲度系数） kx0=mg (7)
当小球C刚好被拉离筒底时，有kx=2mg (8)
由（7）（8）可知，x=2x0 (9)
根据题中条件可知，小球C刚好被拉离筒底时，弹簧弹性势能E'P=4EP (10)
设小球A至少在B球正上方h处高处下落，且与小球B碰撞前速度为v3,由机械能守恒，得 mgh=mv32 (11)
设小球A与小球B碰撞后共同速度为v4 ，由动量守恒可得： mv3=2mv4 (12)
由机械能守恒得2mv42+EP=E'p+2mg 3x0 (13)
由(6)(10)(11)(12)(13)可得h=15x0 (14)
评分标准：本题共16分。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)各1分，(13)(14)各2分，如有其他正确解答，参照评分标准给分。

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