动力计算概述.doc

第10章 结构的动力分析
教学提示：本章讨论结构的动力分析，以前各章讨论的都是结构的静力分析。教学时要注意动与静、动力分析与静力分析之间的联系和区别。一方面，进行动力分析要以静力分析的有关知识作为基础。另一方面，与静力分析相比，动力分析又有许多新特点。例如，荷载、内力、位移都是时间的函数，时间是一个新的自变量；质量、惯性力、阻尼力等都是新出现的重要物理量；频率、振型、特征问题、共振现象等都是新出现的重要概念。学习时应着重掌握这些新内容。本章学习的主要内容有动力分析的特点和动力自由度，单自由度体系的自由振动，单自由度体系的受迫振动，阻尼对振动的影响，多自由度体系的自由振动，多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵，多自由度体系在简谐荷载下的受迫振动，多自由度体系在一般动荷载下的受迫振动，无限自由度体系的自由振动，近似法求自振频率。
教学要求：学生要掌握动力分析的基本方法及体系动力自由度数的判别方法；掌握单自由度和两个自由度体系运动方程的建立方法，及其自由振动和在简谐荷载作用下受迫振动的计算方法；了解阻尼的作用；了解多自由度体系在一般动荷载作用下的受迫振动；了解频率的近似计算方法。
10.1 动力分析的特点和动力自由度
10.1.1 结构动力分析的特点
前面各章讨论的是结构的静力分析问题，即结构在静力荷载作用下的内力和位移计算问题；本章讨论结构的动力分析问题，即结构在动力荷载作用下的内力和位移(常称为动力反应)计算问题。
1.动力荷载的特点
(1) 静力荷载：荷载(大小、方向、作用位置)不随时间而变化，或随时间极其缓慢地变化(质点被近似视为在常力作用下作匀速运动，适用于惯性定律，即牛顿第二定律)，以致所引起的结构质量的加速度()及其惯性力()可以忽略不计。如活动人群、雪载、吊车荷载以及在梁上砌砖等。
(2) 动力荷载(也称干扰力)：荷载(大小、方向、作用位置)随时间明显变化(质点在变力作用下作加速运动)，以致所引起的结构质量的加速度()及其惯性力()不可忽略。如机器的振动荷载、地震作用、爆炸荷载等。
(3) 二者的主要区别：是否考虑惯性力的影响。
(4) 实际荷载处理：
荷载随时间变化快慢是相对的，是相对于结构自振周期而言的。
当荷载变化缓慢时，其变化周期远大于结构的自振周期，动力作用很小，为简化计算，将它作为静力荷载处理。
当荷载过于激烈时，动力作用比较明显的荷载，惯性力不可忽略，则按动力荷载考虑。
2.动力反应的特点
动力反应与结构本身的动力特性有关。因此，在计算动力反应之前，必须先分析结构的自由振动，以确定结构的动力特性。
3.动力分析方法的特点
(1) 动力分析要考虑惯性力。
(2) 动内力、动位移统称动力反应，动力反应不仅是位置的函数，同时也是时间的函数。
(3) 在结构振动时，结构物是不平衡的，根据达朗伯原理，在引进惯性力后，可以建立动力平衡方程，将动力分析的问题转化为静力平衡问题来处理。但这只是一种形式上的平衡，仅仅是利用平衡这一手段列出运动方程。
10.1.2 动力荷载的分类
根据动力荷载随时间变化的规律以及对结构作用的特点，工程中常见的动力荷载可分为以下几类。
1.周期荷载
这类荷载随时间作周期性的变化。周期荷载中最简单也是最重要的一种称为简谐荷载，即荷载随时间t的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如图10.1(b)所示。例如具有旋转部件的机器做等速运转时，其偏心质量产生的离心力对结构的影响。具有偏心质量的机器[图10.1(a)]运转时，传到结构上的偏心力随时间t的变化规律可用或表示。

(a)机器运转 (b)简谐荷载
图10.1 周期荷载
2.冲击荷载
这类荷载在很短时间内，荷载值急剧增大[图10.2(a)]或急剧减小[图10.2(b)]。也就是很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行消失的荷载。各种爆炸荷载属于这一类。再如：打桩机的桩锤对桩的冲击，车轮对轨道接头处的撞击等。

(a)地面爆炸 (b)空中爆炸
图10.2 冲击荷载
3.突加荷载
当升载时间趋于零时，即以某一恒值突然施加于结构上并在较长时间内基本保持不变的荷载。如：粮袋卸落在仓库的地板上(包括突加、突卸)，起吊重物等。

图10.3 突加荷载
4.随机荷载
这类荷载的特点是荷载随时间变化的规律很不规则，荷载在任一时间t的数值无法事先确定，要通过记录和统计得到其规律和计算数值。如地震作用的地面运动加速度(图10.4)，以及风力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对建筑物的激振等。

图10.4 随机荷载
10.1.3 动力分析的自由度
动力分析是以质量的位移作为基本未知量的，其分析也需选取一个合理的计算简图，选取计算简图的原则与静力分析基本相同，但由于要考虑惯性力的作用，需要确定质量在运动过程中的状态。
在结构的动力分析中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目。
实际结构的质量都是连续分布的，在分析中常把连续分布的无限自由度问题简化为有限自由度问题。如图10.5(a)所示单位长度的质量为的简支梁，每一微段长度上的质量为[图10.5(b)]，当梁沿竖向振动时，各个质点的位移都是质点位置x和时间t的函数，是一个无限自由度体系。为了使计算得到简化，应从减少体系的自由度着手，常用的简化方法有三种。
1.集中质量法
集中质量法是把连续分布的质量(根据静力等效原则)集中为几个质点(质点：没有大小的几何点，但有质量)，这样，就把无限自由度体系简化成了有限自由度体系，从而使计算得以简化。
本章只讨论平面结构的振动，为了进一步减少振动的自由度，对一般受弯结构的轴向变形忽略不计。

(a)　具有均布质量的简支梁

(b) 无穷多个集中质量的简支梁
图10.5 无限自由度体系
如图10.6(a)所示为具有均布质量的简支梁，可将它分为二等分段或三等分段，将每段质量集中于该段的两端。这样，体系就简化为具有一个或两个自由度的体系。分段越细则计算精度越高。

图10.6 集中质量法
图10.6(b)所示为三层平面刚架，当计算水平力作用下的侧向振动时，常用的简化方法就是将柱子的分布质量简化为作用于上下横梁处，所以刚架的全部质量都作用在横梁上。又由于每层横梁的刚度均很大，各点的水平位移彼此相等，因此每层横梁上的分布质量可用一个集中质量代替，则体系最后简化为具有三个自由度的计算简图，其水平位移分别为y1、y2和y3。
图10.6(c)所示为一弹性地基上的设备基础，分析时可简化成刚体。当考虑基础在平面内的振动时，体系共有三个自由度，包括水平位移x、竖向位移y和转角位移。若仅考虑基础在竖向的振动，则体系只有一个自由度，即竖向位移y。
由以上例子可知，体系的振动自由度与确定质量位置所需独立几何参数的数目有关，与质量的数目并无直接关系，与体系的静定或超静定也无关系。如图10.7(a)所示的静定刚架上只有一个质量，但为两个自由度体系；而图10.7(b)所示的超静定刚架柱顶上有两个质量，但却是一个自由度体系。

(a)一个质点，两个自由度 (b)两个质点，一个自由度
图10.7 质点数不等于自由度数
如图10.8所示的由两段杆件组成的悬臂梁，左段为弹性杆，不计质量；右段为刚性杆，是具有连续分布质量的质块，要用y和两个坐标方可确定质块的位置，即体系具有两个自由度。

图10.8 两段杆件的悬臂梁
对于比较复杂的体系，可以反过来用限制集中质量运动的方法(即附加支杆的方法)来确定其自由度。如图10.9(a)所示的结构具有两个集中质量，为了限制它们的运动，至少要在集中质量上增设三个附加链杆，如图10.9(b)所示，才能将它们完全固定，因而体系具有三个自由度。又如10.9(c)所示结构具有四个集中质量，但只要加两个附加链杆，如图10.9(d)所示，就可将它们完全固定，因而体系具有两个自由度。

(a)两个集中质量 (b)三个自由度

(c)四个集中质量

(d)两个自由度
图10.9 质点数不等于自由度数
由此可见，为了使体系上所有集中质量完全固定，在集中质量上所需增设的最少链杆数即为体系的动力自由度数。
*2.广义坐标法
集中质量法是从物理角度提供的一个减少动力自由度的简化方法。广义坐标法则是从数学的角度提供的一个减少动力自由度的简化方法。例如，具有分布质量的简支梁的振动曲线(位移曲线)，可近似地用三角级数表示为
(a)
式中，是一组给定的函数，称作位移函数或形状函数，与时间无关； 是一组待定参数，称作广义坐标，随时间而变化。因此，体系在任一时刻的位置，可以由广义坐标来确定的。注意：这里的形状函数只要满足位移边界条件，所选的函数形式可以是任意的连续函数。因此，式(a)也可写成更一般的形式
(b)
式中，是自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取的n个函数，因此，体系简化为n个自由度体系。
广义坐标法将在振型叠加法和能量法中应用。
*3.有限元法
有限元法可看作是广义坐标法的一种特殊应用。和静力问题一样，有限元法是通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。
现结合图10.10所示结构说明有限元法的过程。
第一，将结构离散为有限个单元(图10.10所示结构为三个单元)。
第二，取结点的位移参数和，即y1，θ1和y2，θ2为广义坐标。
第三，分别给出与结点的位移参数(均为1时)相应的形状函数，即、、和，常称为插值函数(它们确定了指定结点位移之间的形状)。
第四，仿照公式(b)，体系的位移曲线可用四个广义坐标及其相应的四个插值函数表示为
(c)
式中，可事先给定，让其满足边界条件。这样，就把无限自由度体系简化为四个自由度(y1，θ1，y2，θ2)体系。有限单元法综合了前面集中质量法和广义坐标法的某些特点。
须强调的是：动力分析中的自由度，一般是变形体体系中质量的动力自由度。而前面第2章几何组成分析中的自由度，是不考虑杆件弹性变形的体系的自由度。

图10.10 有限元法

10.2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系自由振动的分析很重要，这是因为：第一，很多实际的动力问题都可按单自由度体系进行计算，或初步估算。第二，单自由度体系自由振动的分析是单自由度体系受迫振动和多自由度体系自由振动分析的基础。
10.2.1 单自由度体系自由振动微分方程的建立
图10.11(a)表示单自由度体系的振动模型。该悬臂柱在顶部有一质体，质量为m。设柱本身质量比m小得多，可忽略不计，但有弯曲刚度。因此，体系只有一个自由度。

(b)模型二

(a)模型一 (c)质量隔离体
图10.11 单自由度体系自由振动刚度法模型
假设由于外界的干扰，质量m离开了静止平衡位置，干扰消失后，由于立柱弹性力的影响，质量m沿水平方向产生振动。这种由初始干扰，即初始位移或初始速度，或初始位移和初始速度共同作用下所引起的振动称为自由振动。
在建立自由振动微分方程之前，先把图10.11(a)所示的单自由度体系用图10.11(b)所示的弹簧模型来表示。这时原立柱对质量m所提供的弹性力改用一弹簧来表示。因此，弹簧的刚度系数k，必须等于结构的刚度系数。即图10.11(b)的弹簧刚度系数k(使弹簧伸长单位距离所需施加的拉力)应等于图10.11(a)中立柱在柱顶有单位水平位移时在柱顶所需施加的水平力。
建立自由振动的微分方程，方法有两种：刚度法和柔度法。
1.刚度法
从质量m隔离体的动力平衡方程来建立振动微分方程的方法。
设以静力平衡位置为原点，在任意时刻t、质量的水平位移为的状态中，取出质量m为隔离体，如图10.11(c)所示。如果忽略振动过程中所受到的阻力，则作用在m隔离体上的力有：
(1) 弹性力，它的方向恒与位移的方向相反；
(2) 惯性力，它的方向恒与加速度的方向相反。这里及以后，用表示y对时间t的一阶导数，表示y对时间t的二阶导数。
根据达朗伯原理，可列出隔离体在任一瞬时的动力平衡方程如下
(10-1)
这种直接建立质量m在任意时刻t的动力平衡方程的方法，称为刚度法。
2.柔度法
从结构的位移方程来建立振动微分方程的方法。
根据达朗伯原理，以静力平衡位置为计算位移的起点，当质量m在任意时间水平位移为时，作用在立柱质量m上只有惯性力， [图10.12(a)]，则质量m的位移为

即
(10-2)
式中，为立柱的柔度系数，即单位水平力作用在柱顶时柱顶的水平位移[图10.12(b)]。上式表明：质量m在运动过程中任一时刻的位移等于该时刻在惯性力作用下的静力位移。这是从位移角度建立方程，称为柔度法。

(a)柔度法模型 (b)柔度系数 (c)刚度系数
图10.12 单自由度体系自由振动柔度法模型
因立柱的柔度系数与刚度系数k互为倒数[图10.12(b)和(c)]，即
(a)
将式(a)代入式(10-2)，整理后，知式(10-2)与式(10-1)是相同的。
10.2.2 自由振动微分方程的解答
单自由度体系自由振动微分方程式(10-1)还可写成
(10-3)
式中
(10-4)
式(10-3)是一个二阶常系数齐次微分方程，其通解为
(b)
式中，系数C1和C2可由初始条件确定：
设在初始时刻t=0时，质点有初始位移y0和初始速度v0，即

可求出

代入式(b)，得
(10-5)
由式(10-5)看出，振动由两部分所组成，即
第一部分：单独由初始位移y0引起，质点按规律振动，如图10.13(a)所示。
第二部分：单独由初始速度v0引起，质点按规律振动，如图10.13(b)所示。
为将位移方程写成更简单的单项形式，引入符号a和，如图10.13(c)所示。

(a)初始位移y0引起的位移 (b)初始速度v0引起的位移

(c)引入符号和 (d))总位移
图10.13 自由振动的位移
由图10.13(c)可知
(10-6)
(10-7)
将式(10-6)和式(10-7)代入式(10-5)，得

则式(10-5)改写为单项三角函数表示
(10-8)
其图形如图10.13(d)所示。其中参数称为振幅，称为初始相位角。最大位移——振幅及初始相位角都取决于质量的初始位移y0及初始速度v0。
由式(10-6)、式(10-7)先平方再求和，可得

再由式(10-6)除以式(10-7)，可得

10.2.3 结构的自振周期和自振频率
由式(10-5)或式(10-8)可知，自由振动中位移、速度和加速度等物理量都是按正弦或余弦规律变化的，而正弦和余弦函数都是周期函数，每隔一段时间这些物理量就回到原来的状态。
1.自振周期
式(10-8)右边周期函数的周期为
(10-9)
可以验证，式(10-8)中的位移y满足周期运动的条件，这表明在自由振动中，质点每隔一个周期T又回到原来的位置。
这里的周期T称为自振周期，它表示体系出现前后同一运动状态(包括位移、速度等)所需的时间间隔，也就是体系振动一次所需要的时间，单位为s(秒)。
2.工程频率
自振周期的倒数称为频率f
(10-10)
一般将频率f称为工程频率，它表示体系每秒振动的次数，其单位为s-1(1/秒)或Hz(赫兹)。一般建筑工程用钢为7～8次/s，钢筋混凝土为4次/s，属低频；一般机器为高频。
3.自振频率
由式(10-10)变换，得
(10-11)
这里就是自振频率，它表示体系在2π 秒内振动的次数，因此也称圆频率或角频率(有时也简称为频率)。其单位为rad/s(弧度数/秒)，也常简写为s-1。
是体系固有的非常重要的动力特性。在受迫振动中，当体系的自频与受迫干扰力的扰频很接近时(0.75≤≤1.25区段)，将会产生共振。为避免共振，就必须使与远离。
4.自振周期T和自振频率的计算公式
(1)自振周期
①将式(10-4)代入式(10-9)，得
(10-12a)
②将代入上式，得
(10-12b)
③将代入上式，得
(10-12c)
④令，代入上式，得
(10-12d)
这里，是沿质点振动方向的柔度系数，表示在质点上沿振动方向施加单位荷载时质点沿振动方向所产生的静位移。
表示在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的静力位移。
(2)自振频率
利用式(10-11)和式(10-12)，可得圆频率的计算公式
(10-13)
(3)工程频率

5.自振周期T和自振频率的一些重要特性
(1)自振周期T与自振频率只与结构的刚度k和质量m有关，而与外界的干扰因素无关。因此，自振周期和自振频率反映结构的固有性质，也称固有周期和固有频率。
(2)自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，则周期越大，频率越小；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期越小，频率越大。因此，若要改变结构的动力性能，也就是改变自振周期或自振频率，应从改变结构的质量或刚度(改变截面、改变结构形式)着手。
(3)自振周期T和自振频率是反映结构动力性能的一个很重要的物理量。在动载作用下结构的动力反应，都和结构的固有属性——自振周期和自振频率有关。两个外表相似的结构，如果T、相差很大，则动力性能相差很大；反之，两个外表看来并不相同的结构，如果其T、相近，则在动力荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常发现这样的现象。
【例10.1】图10.14(a)所示为一等截面简支梁，已知E＝206GPa＝206×109N/m2，I＝245cm4=245×10-8m4。在梁上C点处有一个集中质量m=100kg。试求梁的自振周期T和自振频率。
解：(1)质量m沿梁作竖向振动，为了计算柔度系数，在简支梁质量m处，加一竖向单位力，作单位弯矩图图[图10.14(b)]，由图乘法可得

(2)代入式(10-12b)，得

(3)代入式(10-13)，得

(a)简支梁 (b)单位弯矩图图
图10.14 例10.1图
【例10.2】图10.15(a)所示为一等截面悬臂柱，截面面积为A，抗弯刚度EI=常数。柱顶有一重量为W的重物。设柱本身质量忽略不计，试分别求出水平振动和竖向振动的自振周期。
解：(1)水平振动
在柱顶W处加一水平单位力 [图10.15(b)]，由图乘法求得

当柱顶作用水平力W时，柱顶的水平位移为

所以，由式(10-12d)，得

(a)悬臂梁 (b)水平振动时单位弯矩图图 (c)竖向单位力和位移
图10.15 例10.2图
(2)竖向振动
在柱顶W处加一竖向单位力 [图10.15(c)]，求得

当柱顶作用竖向力W时，柱顶的竖向位移为

所以，由式(10-12d)，得

【例10.3】图10.16(a)所示为一单层刚架，横梁抗弯刚度EIb=∞，柱的抗弯刚度EI=常数。横梁总质量为m，柱的质量忽略不计。求刚架的水平自振频率。
m

(a)单层刚架 (b)水平侧移刚度系数 (c)横梁隔离体
图10.16 例10.3图
解：(1)求刚架水平侧移刚度系数k(柱顶产生单位水平位移所需的力)，见图10. 16(b)。
由等截面杆的形常数，可得柱顶的剪力为，以横梁为隔离体[图10.16(c)]，由平衡条件可得

(2)由式(10.13)得，刚架的自振频率为

10.3 单自由度体系的受迫振动
10.3.1 单自由度体系受迫振动微分方程的建立
结构在动力荷载(也称干扰力)作用下的振动，称为强迫振动或受迫振动。图10.17(a)表示一单自由度体系在荷载作用下的受迫振动，可以用图10.17(b)的模型来表示，质量为m，弹簧刚度系数为k，并作用有外荷载。

(b)模型二

(a)模型一 (c)质量隔离体
图10.17 单自由度体系受迫振动模型
取质量m为隔离体，受力如图10.17 (c)所示。
质量m上作用力有：弹性力、惯性力，以及动力荷载，由此可建立动力平衡方程，即

或写成
(10-14)
式中，。式(10-14)就是单自由度体系受迫振动的微分方程。
10.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应
设体系承受简谐荷载，表达式为
(a)
式中，θ为简谐荷载的频率(扰频)；F为荷载的最大值(动力荷载幅值)。将式(a)代入式(10-14)，得
(b)
1.简谐荷载作用下方程的解答
式(b)是二阶常系数非齐次微分方程，其通解y由两部分组成：一部分为齐次解()，一部分为特解()。即

(1)齐次解
相当于体系作自由振动的解答，已在本章第10.2节中求出
(c)
(2)特解
采用待定系数法求。观察原式(a)右端项，由于只要满足方程的解都叫特解，故设特解为
(d)
于是有

代入式(b)，得

由此得

因此，特解为

于是，方程的通解为
(e)
(f)
系数C1和C2由初始条件确定。
设t=0时，初始位移与初始速度均为零。
将t=0代入式(e)：
t=0，，即得 C2=0
将t=0代入式(f)：
t=0，，即得
将C1和C2代入式(e)即得振动微分方程(b)在初始位移和初始速度均为零时的通解
(10-15)
它由两部分组成：第一部分按自振频率振动，是伴随干扰力的出现而产生的，称为伴生自由振动，仍属自由振动(按自频振动)，但由于在实际振动过程中存在阻尼(参看本章第10.4节)，这一部分将很快衰减消失；第二部分是按干扰力的频率进行的振动，振幅和频率都是恒定的。人们把振动刚开始两部分振动同时存在的阶段称为“过渡阶段”，而把后来伴生自由振动衰减以后只按干扰力频率振动的阶段称为“平稳阶段”，此时的振动称为纯受迫振动，或稳态受迫振动。
2.简谐荷载的动力系数
平稳阶段任一时刻的位移，由式(10-15)的第二部分确定
(g)
由于

所以

引入符号，令
(h)
这里，——荷载幅值F作为静力荷载作用时，结构所产生的位移。
将式(h)代入式(g)，则得
(10-16)
最大动位移(即受迫振动的振幅A)，为

令最大动位移与荷载幅值所产生的静位移的比值为动力系数，以表示，则
(10-17)
则受迫振动的振幅

所以有
(10-18)
的物理意义是：表示动位移的最大值 (即振幅A)是最大静力位移的多少倍，故称为动力系数。
对于单自由度体系，当在简谐荷载作用下，且干扰力作用于质点上时，结构中内力与质点位移成比例。所以动力系数既是位移的动力系数，又是内力的动力系数。
3.简谐荷载作用下稳态振动的讨论
由式(10.17)可以看出，动力系数与频率比值有关，随变化的规律，如图10.18所示，其中横坐标为频比，纵坐标为动力系数。
(1) <<1 (→0)，→1：这说明简谐荷载的数值变化很缓慢(<<)，动力作用不明显，干扰力接近于静力，因而可当作静荷载处理。一般当时，可当作静力计算。
(2) →∞，→0，以轴为渐近线。这说明简谐荷载的数值变化非常快时(>>，高频荷载作用于质体)，质体基本上处于静止状态，相当于没有干扰力作用(自重除外)。

图10.18 位移反应谱
(3) 0<<1，为正，且>1，又随的增大而增大。
此时y与同号，即质点位移与干扰力的方向每时每刻都相同(同相位)。
(4) >1，为负，其绝对值随的增大而减小。
此时y与异号，即质点位移与干扰力的方向相反(相位相差π)。
(5) →1，→∞，即当荷载频率接近于结构自振频率时，很大，振幅会无限增大，这种现象称为共振。但实际上由于阻尼的影响，共振时也不会出现振幅为无限大的情况，但共振时的振幅比静位移大很多倍的情况是可能出现的。
防止共振的措施：一是调整干扰力的频率；二是改变体系的自振频率(改变的思路，不外就是改变k，即改变截面形式、结构形式，或是改变m)。但“共振”也是可以利用的，如利用时，结构振幅突出大的这一特点，不断改变机器(激振器)转速，可以测定结构的自振频率。
以上分析了单自由度体系在简谐荷载作用下的位移幅度随的变化情况。对于结构的内力、应力也可作类似分析。
4.单自由度体系在简谐荷载作用下受迫振动的计算
【例10.4】对于图10.19(a)所示体系，已知下列各值：质量m=123kg，离心力FP=49N，发电机转速n=1200 r/min，梁的长度l=5m，弹性模量E=2.06×1011N/m2，惯性矩I=78cm4。求梁的最大动位移A(∆动)和梁的最大动内力Md,max(M动) 。
解：(1)求自振频率ω
利用图乘法求出，故梁的自振频率

16.33

(a)计算简图 (b)Md,max图(Nm)
图10.19 例10.4图
(2)求干扰频率

(3)求动力系数

(4)求最大动位移A

负号表示最大动位移与方向相反。
(5)求最大动内力Md,max：将作为静力作用在体系上，在B点施加，按静力法计算，绘弯矩图，如图10.19(b)所示，图中Md,max＝16.33Nm。
【例10.5】设有一简支钢梁，如图10.20所示。跨度l=5m，型号为22b号工字钢，惯性矩I=3750cm4，E=2.058×105MPa，=120MPa。其上安装一台质量为m=2000kg的电动机，由于具有偏心，转动时产生离心力FP=1960N。试验算当发动机转数为400～500r/min时梁的强度。

图10.20 例10.5图
解：(1)求自振频率ω
利用图乘法可求出，故梁的自振频率

(2)求干扰频率
当转数为400r/min时，
当转数为500r/min时，
由以上计算结果发现，梁的自振频率ω接近于干扰频率，故应加以避免。
现尝试改变梁的截面尺寸，选用25a号工字钢(I=5023.54cm4)替代原22b号工字钢(I=3750cm4)，此时自振频率为

由于此频率介于41.9s-1和52.4s-1之间，说明增大梁的截面尺寸会使其工作条件恶化。所以改为选用小一点的截面，以期降低梁的自振频率ω。现选用20b号工字钢(I=2500cm4，W=250cm3)进行试算，求得自振频率为

考虑较为不利的情况时，动力系数为

故梁内的最大应力为

可见，此处采用较小截面的梁既可以避免共振，又能获得较好的经济效果。
10.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应
现在讨论结构在一般动荷载作用下所引起的动力反应。讨论分两步：先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般动荷载的动力反应。
1.瞬时冲量的动力反应
设体系在t＝0时处于静止状态。在质点上施加瞬时冲量[图10.21(a)]。这将使体系产生初速度，但初位移仍为0，即y0＝0(可以证明，y0系二阶微量，可略去不计)。
将y0＝0代入式(10-5)，有
(10-19)

上式就是在t=0时作用瞬时冲量S所引起的动力反应。
如果瞬时冲量S从开始作用[图10.21(b)]，则式中的位移反应时间t，应改成，即式(10-19)应改为
(10-20)

(a)t =0时瞬时冲量 (b)时瞬时冲量 (c)冲量集成
图10.21 一般动荷载的动力反应
2.一般动荷载的动力反应(总效应)
现在讨论一般动荷载作用[图10.21(c)]时的动力反应。
一般动荷载可看作由一系列瞬时冲量组成，在时刻作用荷载为，其在时间微分段内的冲量为

由式(10-20)，此微分冲量作用引起的动力反应为
() (a)
对加载过程中产生的所有微分反应进行叠加，即对上式进行积分，可得总反应如下
(10-21)
式(10-21)称为杜哈梅(J.M.C.Duhamal)积分，这就是初始处于静止状态时单自由度体系在一般动荷载作用下的位移公式。
如果(在O点)初始位移y0和初始速度v0不为0，则总位移还应叠加式(10-5)的结果，总位移应为
(10-22)
下面讨论两种特殊形式动荷载作用时的动力反应。
(1)突加荷载
体系原处于静止状态，在t=0时，突然加上荷载，并一直作用在结构上。吊装重物时的吊装荷载即为此种荷载，其表示式为
(b)
突加荷载的曲线如图10.22(a)所示。
当t >0时，将式(b)中的荷载表达式代入式(10-21)，得到动位移
(10-23)
式中，，为静荷载作用下产生的静力位移。
根据式(10-23)作出的动力位移图如图10.22(b)所示。可以看出，质点是围绕其静力平衡位置作简谐运动，动力系数为
(10-24)
由此看出，突加荷载作用引起的最大位移比相应的静位移增大一倍，应该引起注意。

(a)荷载-时间关系曲线 (b)位移-时间关系曲线
图10.22 突加荷载示意图
(2)线性渐增荷载
在一定时间内()，荷载由0增至，然后荷载值保持不变[图10.23(a)]。荷载表达式为

(a)荷载-时间关系曲线 (b)动力系数反应谱
图10.23 线性渐增荷载示意图

这里，为升载时间。
这种荷载引起的动力反应同样可以利用杜哈梅积分求解，分两阶段：
①第I阶段(≤)

(≤) (10-25a)
②第II阶段(≥)

(≥) (10-25b)
对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间的长短有很大关系。图10.23(b)所示曲线表示动力系数随升载时间比值而变化的情形，这种关系曲线叫动力系数的反应谱曲线。
由图10.23(b)所示的动力系数反应谱可看出：
1) 动力系数介于1与2之间。
2) 如果升载时间很短，如当<0.25时，动力系数接近于2.0，即相当于突加荷载的情况。
3) 如果升载时间很长，如当>4时，动力系数接近于1.0，即相当于静荷载的情况。
4) 图10.23(b)中所示的外包虚线，可作为设计中选用动力系数的依据。
10.4 阻尼对振动的影响
以上各节是在忽略阻尼影响的条件下研究单自由度体系的振动问题。所得出的结果大体上能够反映实际结构的某些振动规律，例如结构的自振频率是结构本身固有值的结论，以及在简谐荷载作用下有可能出现共振现象的结论等。但实际结构总是有阻尼的，有些结论就不尽相符，例如自由振动时振幅永不衰减，共振时振幅可趋于∞等结论。因此，为进一步了解结构的振动规律，有必要对阻尼这个因素加以考虑。
10.4.1 关于阻尼的定义
阻尼是使振动衰减的因素，或使能量耗散的因素。振动中的阻尼力有多种来源，例如：结构与支承之间的摩擦、结构材料之间的内摩擦、周围介质(空气、液体)的阻力等等。
10.4.2 粘滞阻尼理论
关于阻尼的理论有多种，通常采用的是粘滞阻尼理论，该理论最初用于考虑物体以不大的速度在粘性液体中运动时所遇到的抗力，称为粘滞阻尼力。
该理论假设阻尼力的大小与质点速度成正比，其方向与质点速度的方向相反。即阻尼力

式中，c为阻尼系数；为质点速度。负号表明的方向恒与质点速度的方