平衡二叉树的生成过程.doc

二叉排序树变成平衡二叉树
对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。
平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1
一棵好的平衡二叉树的特征：
（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)
（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)
一、平衡二叉树的构造
在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树
1.调整方法
（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点
（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。
2.调整方式
（1）LL型
LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转(LL表示的是在做子树的左结点进行插入)

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。
（2）RR型
RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转

由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。
（3）LR型
LR型：插入位置为左子树的右孩子，要进行两次旋转，先左旋转，再右旋转；第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树，调整后的树变成LL型树，第二次再调整最小不平衡子树(根据LL型的调整规则，调整为平衡二叉树)。
由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F，A的平衡因子由1变为了2，成为不平衡的最小二叉树根结点。第一次旋转A结点不动，先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。
（4）RL型
RL型：插入位置为右子树的左孩子，进行两次调整，先右旋转调整为RR型，再左旋转，从RR型调整到平衡二叉树；处理情况与LR类似。

总结：RR型和LL型插入导致的树失去平衡，只需要做一次旋转调整即可。而RL型和LR型插入导致的结点失去平衡，要调整两次。对于RL/LR的调整策略是：
第一次调整，最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树(这个子树是指最小不平衡结点的一颗子树，且这棵子树是插入结点的子树)为RR型或者LL型，第二次再调整最小不平衡子树(调整策略要么是RR型要么是LL型)。

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<malloc.h>
using namespace std;
#define LH 1//左高
#define EH 0//等高
#define RH -1//右高
struct TreeNode
{
int m_nValue;
int BF;//平衡因子
TreeNode *lchild;
TreeNode *rchild;
};
class AVLTree
{
public:
AVLTree(){};
~AVLTree(){};
void CreateTree(TreeNode *&root,int data);//创建AVL
void PreTraver(TreeNode *root);//先序遍历
void RR_Rotate(TreeNode *&r);//右旋转处理
int GetHeight(TreeNode *root);//获得树的高度
int GetBF(TreeNode *root);//获得树的平衡因子
void LL_Rotate(TreeNode *&r);//左旋转处理
void RL_Rotate(TreeNode *&r);//双旋处理，先右旋转，再左旋转
void LR_Rotate(TreeNode *&r);//双旋处理，先左旋转，再右旋转
void LeftBalance(TreeNode *&T);//左平衡处理
void RightBalance(TreeNode *&T);//右平衡处理
};
int Max(int a,int b)
{
if(a>b)return a;
else return b;
}
int AVLTree::GetHeight(TreeNode *root)
{
int len;
if(root==NULL)len=0;
else
{
len=Max(GetHeight(root->lchild),GetHeight(root->rchild))+1;
}
return len;
}
int AVLTree::GetBF(TreeNode *root)
{
int bf;//平衡因子
bf=GetHeight(root->lchild)-GetHeight(root->rchild);
return bf;
}
void AVLTree::CreateTree(TreeNode *&root,int data)
{
if(root==NULL)
{
root=(TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
root->m_nValue=data;
root->lchild=NULL;
root->rchild=NULL;
// root->BF=GetBF(root);
root->BF=EH;//初始叶子结点的平衡因子为等高
}
else if(data<root->m_nValue)
{
CreateTree(root->lchild,data);
switch(root->BF)//检查root的平衡度
{
case LH://原来树root的左子树比右子树高，现在左子树更高
LeftBalance(root);//对树进行左平衡处理
break;
case EH://原来树root的左右子树等高，现在左子树高
root->BF=LH;//root的平衡因子由0变为1
break;
case RH://原来树root的右子树比左子树高，现在左右子树等高
root->BF=EH;

}
}
else if(data>root->m_nValue)
{
CreateTree(root->rchild,data);
switch(root->BF)
{
case LH:root->BF=EH;//原来树root的左子树比右子树高，现在root的左右子树等高
break;
case EH://原来树root的左右子树等高，现在root的右子树更高
root->BF=RH;
break;
case RH://原来右子树比左子树高，现在root右子树高
RightBalance(root);//对树root作右平衡处理

}
}
}
void AVLTree::PreTraver(TreeNode *root)
{
if(root)
{ cout.width(3);
cout<<root->m_nValue;
}
if(root->lchild)
PreTraver(root->lchild);
if(root->rchild)
PreTraver(root->rchild);
}
void AVLTree::LL_Rotate(TreeNode *&r)//插入位置为右子树右孩子，要进行左旋转
{
TreeNode *p;
p=r->rchild;//p指向r的右孩子结点
r->rchild=p->lchild;//r结点左旋转成为p的左子树，p原来的左子树成为r的右子树
p->lchild=r;//r成为p的左孩子
r=p;
}
void AVLTree::RR_Rotate(TreeNode *&r)//插入位置为左子树左孩子，进行右旋转
{
TreeNode *p;
p=r->lchild;
r->lchild=p->rchild;
p->rchild=r;
r=p;
}
void AVLTree::RL_Rotate(TreeNode *&r)//插入位置为右子树左孩子，先进行右旋转，再进行左旋转
{
TreeNode *p;
p=r->rchild;
RR_Rotate(p);//最小失衡树的根结点的右子树根结点进行右旋转
r->rchild=p;//更新最小失衡树根结点的右孩子
LL_Rotate(r);//最小失衡树的根结点进行左旋转

}
void AVLTree::LR_Rotate(TreeNode *&r)//插入位置为左子树右孩子，先进行左旋转，再进行右旋转
{
TreeNode *p;
p=r->lchild;
LL_Rotate(p);//最小失衡树根结点的左子树根结点进行左旋转
r->lchild=p;//更新最小失衡树根结点的左孩子
RR_Rotate(r);//最小失衡树根结点进行右旋转
}
void AVLTree::LeftBalance(TreeNode *&T)//左平衡处理
{//初始条件：原来平衡的二叉排序树T的左子树比右子树高(T->bf=1)
// 又在左子树中插入了结点，并导致左子树更高，破坏了树T的平衡性
//操作结果：对不平衡的树T作左平衡旋转处理，使树T的重心右移实现 新的平衡
TreeNode *lc,*rd;
lc=T->lchild;//lc指向T的左孩子结点
switch(lc->BF)//检查T左子树的平衡因子
{
case LH://新结点插入在T的左孩子的左子树上，导致左子树的平衡因子为左高，进行右旋转处理
T->BF=lc->BF=EH;//旋转后，原根结点和左孩子结点平衡因子都 为0
RR_Rotate(T);//右旋转处理
break;
case RH://新结点插入在T的左孩子的右子树上，导致左子树的平衡因子为右高，进行LR处理
rd=lc->rchild;
switch(rd->BF)
{
case LH://新结点插入在T的左孩子的右子树的左子树上
T->BF=RH;//旋转后，原根结点的平衡因子为右高
lc->BF=EH;//旋转后，原根结点的左孩子结点平衡因子为等高
break;
case EH://新结点插入到T的左孩子的右孩子（叶子）
T->BF=lc->BF=EH;//旋转后，原根和左孩子结点的平衡因子都为等高
break;
case RH://新结点插入在T的左孩子的右子树的右子树上
T->BF=EH;//旋转后，原根结点的平衡因子为等高
lc->BF=LH;//旋转后，原根结点的左孩子结点平衡因子为左高
}
rd->BF=EH;//旋转后的新结点的平衡因子为等高
//双旋转处理
LL_Rotate(T->lchild);//对T的左子树左旋转处理
RR_Rotate(T);//对T作右旋转处理
}
}
void AVLTree::RightBalance(TreeNode *&T)//右平衡处理
{//初始条件：原来平衡二叉排序树T的右子树比左子树高，又在右子树中插入结点，导致右子树更高
//操作结果：对不平衡的树T作右平衡旋转处理
TreeNode *rc,*ld;
rc=T->rchild;

switch(rc->BF)
{
case RH://新结点插入在T的右孩子的右子树上，导致右子平衡因子为右高,进行左旋转处理
T->BF=rc->BF=EH;//旋转后，原根结点和右孩子结点的平衡因子均为0
LL_Rotate(T);
break;
case LH://新结点插入在T的右孩子的左子树上，导致右子树的平衡因子为左高，进行双旋处理
ld=rc->lchild;
switch(ld->BF)
{
case RH://新结点插入在T的右孩子的左子树的右子树上
T->BF=LH;//旋转后，原根结点的平衡因子为左高
rc->BF=EH;//旋转后，原根结点的右孩子结点平衡因子为等高
break;
case EH://新结点插入到T的右孩子的左孩子（叶子）
T->BF=rc->BF=EH;//旋转后，原根和右孩子结点的平衡因子等高
break;
case LH://新结点插入到T的右孩子的左子树的左子树
T->BF=EH;//旋转后，原根结点的平衡因子等高
rc->BF=RH;//旋转后，原根结点的右孩子结点的平衡因子为右高
}
ld->BF=EH;//旋转后的新根结点的平衡因子为等高
//双旋转处理
RR_Rotate(T->rchild);//对T的右子树作右旋转处理
LL_Rotate(T);//对T作左旋转处理
}
}

int main()
{
const char *file="data.txt";
AVLTree AVL=AVLTree();
TreeNode *root=NULL;
int data;
ifstream fin;
fin.open(file);

if(fin.is_open())
{
while(1)
{
fin>>data;
if(data==-1)break;
AVL.CreateTree(root,data);
}
}

AVL.PreTraver(root);
cout<<endl<<endl;
fin.close();
return 1;

}