解析几何第三章答案.doc

第3章 平面与空间直线

§ 3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（1）通过点和点且平行于矢量的平面（2）通过点和且垂直于坐标面的平面；
（3）已知四点，，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。
解： （1） ，又矢量平行于所求平面，
故所求的平面方程为：

一般方程为：
（2）由于平面垂直于面，所以它平行于轴，即与所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：

一般方程为：，即。
（3）（ⅰ）设平面通过直线AB，且平行于直线CD：
，
从而的参数方程为：

一般方程为：。
（ⅱ）设平面通过直线AB，且垂直于所在的平面
，
均与平行，所以的参数式方程为：

一般方程为：.

2.化一般方程为截距式与参数式：
.
解： 与三个坐标轴的交点为：，
所以，它的截距式方程为：.
又与所给平面方程平行的矢量为：，
所求平面的参数式方程为：

3.证明矢量平行与平面的充要条件为：.
证明： 不妨设，
则平面的参数式方程为：

故其方位矢量为：，
从而平行于平面的充要条件为：
，共面

.
4.已知：连接两点的线段平行于平面，求里的坐标.
解：
而平行于
由题3知：
从而.

§ 3.2 平面与点的相关位置

1.计算下列点和平面间的离差和距离：
（1）， ；
（2）， .
解： 将的方程法式化，得：
，
故离差为：，
到的距离
（2）类似（1），可求得
，
到的距离

2.求下列各点的坐标：
（1）在轴上且到平面的距离等于4个单位的点；
（2）在轴上且到点与到平面距离相等的点；
（3）在x轴上且到平面和距离相等的点。
解：（1）设要求的点为则由题意

或7.
即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。
（2）设所求的点为则由题意知：

由此，或-82/13。
故，要求的点为及。
（3）设所求的点为，由题意知：

由此解得：或11/43。
所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。
3.已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。
解：地面ABC的方程为：

所以，高。

4.求中心在且与平面相切的球面方程。
解：球面的半径为C到平面：的距离，它为：
，
所以，要求的球面的方程为：
.
即：.
3.3 两平面的相关位置

1.判别下列各对直线的相关位置：
（1）与；
（2）与；
（3）与。
解：（1） ， （1）中的两平面平行（不重合）；
（2） ， （2）中两平面相交；
（3） ， （3）中两平面平行（不重合）。

2.分别在下列条件下确定的值：
（1）使和表示同一平面；
（2）使与表示二平行平面；
（3）使与表示二互相垂直的平面。
解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：

即：

从而：，，。
（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：

所以：，。
（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：

所以： 。

3.求下列两平行平面间的距离：
（1），；
（2），。
解：（1）将所给的方程化为：

所以两平面间的距离为：2-1=1。
（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。

4.求下列个组平面成的角：
（1），；
（2），。
解：（1）设：，：

或。
（2）设：，：

或。

§ 3.4空间直线的方程

1.求下列各直线的方程：
（1）通过点和点的直线；
（2）通过点且平行于两相交平面：

的直线；
（3）通过点且与三轴分别成的直线；
（4）通过点且与两直线和垂直的直线；
（5）通过点且与平面垂直的直线。
解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为：

即：，亦即。
（2）欲求直线的方向矢量为：

所以，直线方程为：。
（3）欲求的直线的方向矢量为：，
故直线方程为：。
（４）欲求直线的方向矢量为：，
所以，直线方程为：
。
（５）欲求的直线的方向矢量为：，
所以直线方程为：
。

２.求以下各点的坐标：
（１）在直线上与原点相距２５个单位的点；
（２）关于直线与点对称的点。
解：（１）设所求的点为，则：

又
即：，
解得：或
所以要求的点的坐标为：。
（２）已知直线的方向矢量为：，或为，
过垂直与已知直线的平面为：，
即，
该平面与已知直线的交点为，所以若令为P的对称点，则：
，，
　　，
即。
３.求下列各平面的方程：
（１）通过点，且又通过直线的平面；
（２）通过直线且与直线

平行的平面；
（３）通过直线且与平面垂直的平面；
（４）通过直线向三坐标面所引的三个射影平面。
解：（１）因为所求的平面过点和，且它平行于矢量，所以要求的平面方程为：

即。
（２）已知直线的方向矢量为，
平面方程为：

即
（３）要求平面的法矢量为，
平面的方程为：，
即。
（4）由已知方程
分别消去，，得到：
，，
此即为三个射影平面的方程。

4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦：
（1） （2）
（3）
解：（1）直线的方向数为：
射影式方程为： ，
即，
标准方程为：，
方向余弦为：，，
。
（2）已知直线的方向数为：，
射影式方程为：，
即
标准方程为：，
方向余弦为：，，
。
（3）已知直线的方向数为：，
射影式方程为： ，
标准式方程为：，
方向余弦为：，，。

§ 3.5直线与平面的相关位置

1.判别下列直线与平面的相关位置：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与。
解：（1），
而，，
所以，直线与平面平行。
（2）
所以，直线与平面相交，且因为，
直线与平面垂直。
（3）直线的方向矢量为：，
，
而点在直线上，又，
所以，直线在平面上。
（4）直线的方向矢量为，

直线与平面相交。

2.试验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角。
解：
直线与平面相交。
又直线的坐标式参数方程为：
设交点处对应的参数为，

，
从而交点为（1，0，-1）。
又设直线与平面的交角为，则：
，
。

3.确定的值，使：
（1）直线与平面平行；
（2）直线与平面垂直。
解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：

即。
（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：

所以：。

4.决定直线和平面的相互位置。
解：在直线上任取，有：

这表明在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。

3.6空间直线的相关位置

1.直线方程的系数满足什么条件才能使：
（1）直线与轴相交； （2）直线与轴平行； （3）直线与轴重合。
解：（1）所给直线与轴相交 使
且
且 ，不全为零。
（2）轴与平面平行

又轴与平面平行，所以

即，但直线不与轴重合，
不全为零。
（3）参照（2）有，且。

2.确定值使下列两直线相交：
（1）与轴；
（2）与。
解：（1）若所给直线相交，则有（类似题1）：

从而 。
（2）若所给二直线相交，则

从而：。

3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。
（1）与；
（2）与；
（3）与。
解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为：

（-2）：3：4=2：（-3）：（-4）
二直线平行。
又点与点（7，2，0）在二直线上，
矢量平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量为：
，
从而平面方程为：，
即 。
（2）因为，
二直线是异面的。
二直线的距离：。
（3）因为，
但是：1：2：（-1）≠4：7：（-5）
所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为，
平面的方程为：。
4.给定两异面直线：与，试求它们的公垂线方程。
解：因为，
公垂线方程为：

即，
亦即。

§ 3.7 空间直线与点的相关位置
1.直线通过原点的条件是什么？
解：已知直线通过原点

故条件为。

2.求点到直线的距离。
解：直线的标准方程为：

所以，p到直线的距离为：
。

§ 3.8 平面束

1.求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面：
（1）通过原点； （2）与轴平行；
（3）与平面垂直。
解：（1）设所求的平面为：
欲使平面通过原点，则须：，即，
故所求的平面方程为：

即：。
（2）同（1）中所设，可求出。
故所求的平面方程为：
即：。
（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须：

从而：，
所以所求平面方程为：。

2.求平面束，在两轴上截距相等的平面。
解：所给的方程截距式为：

据要求： 。
所以，所求的平面为：。

3.求通过直线且与平面成角的平面。
解：设所求的平面为：
则：
从而 ，或
所以所求平面为：
或。
4.求通过直线且与点的距离等于3的平面。
解：直线的一般方程为：

设所求的平面的方程为，
据要求，有：

有
或
即所求平面为：
或
即：或。
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