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极值点偏移问题的两种常见解法之比较
浅谈部分导数压轴题的解法

在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数是连续函数，在区间内有且只有一个极值点，且，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”.
极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数在区间内单调递增，则对区间内的任意两个变量，；若函数在区间内单调递减，则对区间内的任意两个变量，. 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？
两个正数和的对数平均数定义：
对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：，（此式记为对数平均不等式）
下面给出对数平均不等式的证明：
i）当时，显然等号成立
ii）当时，不妨设，
①先证，要证，只须证：，
令，只须证：
设，则，所以
在内单调递减，所以，即，
故
②再证：
要证：，只须证：
令，则只须证：，只须证
设，，则
所以在区间内单调递减，所以，即，
故
综上述，当时，
例1 （2016年高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数有两个零点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是的两个零点，证明：．
解：（Ⅰ）函数的定义域为，
当时，，得，只有一个零点，不合题意；
当时，
当时，由得，，由得，，由得，，
故，是的极小值点，也是的最小值点，所以
又，故在区间内存在一个零点，即
由又，所以，在区间
存在唯一零点，即，
故时，存在两个零点；
当时，由得，，
若，即时，，故在上单调递增，与题意不符
若，即时，易证故在上只有一
个零点，若，即时，易证
，故在上只有一个零点
综上述，
（Ⅱ）解法一、根据函数的单调性证明
由（Ⅰ）知，且
令，则
因为，所以，所以，所以在内单调递增
所以，即，所以，所以，
因为，在区间内单调递减，所以，即
解法二、利用对数平均不等式证明
由（Ⅰ）知，，又 所以，
当时，且，故
当时，，又因为
即
所以
所以
所以
所以 ①
下面用反证法证明不等式①成立
因为，所以，所以
假设，当，,与①矛盾；
当时,与①矛盾，故假设不成立
所以
例2 （2011年高考数学辽宁卷理科第21题）已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若曲线与轴交于两点，中点的横坐标为，证明：
解：（Ⅰ）函数的定义域是

当时，在区间内恒成立，即在区间内单调递增
当时，由>0，得函数的递增区间，
由<0，得函数的递减区间
（Ⅱ）解法一、根据函数的单调性求解
设点的横坐标分别为，则，且
由（Ⅰ）知，当时，
因为函数有两个不同的零点，所以，所以
要证，只须证，即证
令
则，所以在内单调递增
所以，即
因为，所以，所以
又，且在区间内单调递减
所以，即，故
解法二、利用对数平均不等式求解
设点的坐标分别为，则
由（Ⅰ）知，当时，
因为函数有两个不同的零点，所以，所以
因为，所以
所以，即
所以 ，所以
所以，所以.
例3 （2014年高考数学湖南卷文科第21题）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求证：
解：（Ⅰ）函数的定义域为R

由，得，由，得函数的递增区间，由，得函数的递减区间，所以
（Ⅱ）解法一、利用函数的单调性求解
令 ，
则
令
则，则
由得，，故在内单调递增
故，故在内单调递增
故，故，故在上单调递减
所以，
由（1）及知，，故
所以，所以，又在上单调递增
所以，，即
解法二、利用对数平均不等式求解
因为时，，时，，
所以，，，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，①
因为，所以
下面用反证法证明，假设
当时，，与不等式①矛盾
当时，，所以，与不等式①矛盾.
所以假设不成立，所以
例4 （2014年江苏省南通市二模第20题）设函数其图象与轴交于两点，且.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：为函数的导函数）；
（Ⅲ）略.
解：（Ⅰ），，当时，在R上恒成立，不合题意
当时，易知，为函数的极值点，且是唯一极值点，
故，
当，即时，至多有一个零点，不合题意，故舍去；
当，即时，由，且在内单调递减，故在有且只有一个零点；由
令，则，故
所以，即在有且只有一个零点.
（Ⅱ）解法一、根据函数的单调性求解
由（Ⅰ）知，在内递减，在内递增，且
所以，要证，只须证，即证
又，故只须证
令
，
则，所以在区间内递增
所以，即
所以，所以
因为，且在区间内递增
所以，即，故
解法二、利用对数平均不等式求解
由（Ⅰ）知，在内递减，在内递增，且
所以，因为，
，即，所以
所以，要证：，只须证，即
故，，
所以，所以
因为，所以，而
所以成立，所以
从以上四个例题可以看出，两种方法解决的问题相同，即若是函数的两个零点，而是函数的极值点，证明（或），根据函数单调性求解的步骤是：一、构建函数，二、判断函数的单调性，三、证明（或）即（或），四、故函数的单调性证（或）.根据对数平均不等式求解的步骤是：一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出，二、通过等式两边同除以构建对数平均数，三、利用对数平均不等式将转化为后再证明（或）. 两种方法各有优劣，适用的题型也略有差异，考生若能灵活驾驭这两种方法，便能在考场上发挥自如，取得理想的成绩.

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