抛物线（有答案）.doc

抛物线
一、考点分解
1、 掌握抛物线的定义，会熟练地求抛物线的标准方程
2、掌握抛物线的简单几何性质
3、会用方程组思想、弦长公式、点差法等方法处理直线与抛物线相交问题
二、考点分类
（一）抛物线的定义
1、（湖南卷文5）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ B ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
2、抛物线的焦点到准线的距离是（ C ）]
(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8
3、设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为L,P为抛物线上一点,PA⊥L, A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=（B ）
(A) (B)8 (C) (D) 16
4、已知动圆M与直线y =3相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

方法归纳：当题中出现一定点和一定直线时，要先考虑是否满足抛物线的定义，抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，两者可转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。
（二）抛物线的标准方程
5、抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为
6、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ B ）
A．m B． 2m C．4.5m D．9m
7、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

方法归纳：抛物线的标准方程的特点是：一次项定对称轴，一次项的系数定开口方向，焦点在对称轴上。求抛物线的方程时要特别注意焦点的位置和开口方向。

（三）焦点弦
8、已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，｜AF｜＝2，则｜BF｜＝2
9、过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ A ）
A．8 B．10 C．6 D．4
10、过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （ C ）
A．2a B． C．4a D．
方法归纳：若为抛物线的焦点弦，A(x1, y 1)、 B(x2, y 2) ,弦的中点M(x0,y0)，则有下列结论：①x1 x2 = ② y 1 y 2 =- p 2
③弦长L= x1 + x2 + p ，x1 + x2≥= p，（当x1 = x2时，通径最短为2P）
④弦长L=（θ为直线AB的倾斜角） ⑤ +=
⑥以AB为直径的圆与准线相切。
（四）直线与抛物线
11、过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 （ C ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
12、已知抛物线与直线，“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的 （ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件；
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13、已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ B ）
A. B. C. D.
14、（福建卷文19）已知抛物线C的方程C：y 2 =2 p x（p＞0）过点A（1，-2）.
（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L 的距离等于？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。

方法归纳：直线与抛物线的位置关系一般用几何法或判别式法来判断。直线与抛物线相交问题，一般用设而不求或点差法处理，其弦长公式与椭圆及双曲线相同。

（五）向量与抛物线
15、把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（ C ）
A． B．[来源:Z,xx,k.Com]
C． D．
16、（全国Ⅱ5文15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则
17、（全国Ⅰ卷理21文22）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程 .

18、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．
解：（1）设椭圆C的方程为，
抛物线方程化为，其焦点为，
椭圆C的一个顶点为，即， …………………………………………3分
由，得，
∴椭圆C的方程为．……………………………………………………6分
（2）由（1）得， …………………………………………………………7分
设 ，，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，代入，并整理得
， ………………………………………9分
∴． ………………………………………10分
又，
，
由，，得
，，
∴， ………………………………………………12分
∴． ………………14分
方法归纳：一般将圆锥曲线中的向量关系转化为几何关系或坐标关系。

（六）和抛物线有关的最值问题
19、抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）
A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）
20、已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值．

方法归纳：解决有关抛物线的最值问题时：1、一般方法是由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法求解，也可用基本不等式求解。2、具备定义背景的最值问题，可用定义转化为几何问题用判别式求解。

三、练习：
1、已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为____ 2-或2+
2、已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则x2+y2+3的最小值是 __4
3、若点（3，1）是抛物线y2=2px (p>0)的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则2
4、若=，则点M(x,y)的轨迹为________(填曲线的类型)抛物线
5、过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若=2，则直线AB的斜率为____±
6、过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作倾角为30°的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则=____
7、已知圆C的圆心与抛物线y2=4x 的焦点关于直线y=x对称.直线4x-3y-2=0 与圆C相交于两点，且|AB|=6,则圆C的方程为_____ x2+(y-1)2=10.
8、若曲线y2=|x|+1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 k=0且b∈(-1,1)
9、已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线- =1(a>0,b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 （ B ）.
A． B．+1 C．+1 D．
10、已知、是抛物线y2=2px(p>0)上异于原点的两点，则“·=0”是“直线恒过定点(2p,0)”的（ B ）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
11、已知抛物线C:y=2x2的图象与抛物线C的图象关于直线y=-x对称，则抛物线C的准线方程是(B)
（A）x=- （B）x= （C）x= （D）x=-
12、已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=－1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（ A ）
A．2 B．2 C． 4 D． 4
13、若点到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点的轨迹方程为 （A）
A.x2=12y B.y2=12x C.x2=4y D. x2=6y
14、过抛物线y2=x的焦点F的直线l的倾斜角θ≥,直线l交抛物线于A,B两点，且点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是（ A ）
A（,1+] B. （,1] C .[ ,+∞) D.[,+∞)
15、抛物线y2=4x的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在抛物线上，且存在实数λ，使+λ=，||=．
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．
解：（1）抛物线y2=4x的准线方程为x=-1·······1分
∵+λ=，∴A，B，F三点共线．·········2分
由抛物线的定义，得||= x1+x2+2． ··········3分
设直线AB：y=k(x-1)，而k=,x1>x2,y1>0,y2<0,∴k>0 ······4分
由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0
∴·········6分
||=x1+x2+2=+2=|
∴k2=········8分
从而k=，故直线AB的方程为y=(x-1)，即4x-3y-4=0········9分
（2）由得A（4,4），B（,-1）·········10分
设△AOB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则
解得 ·········14分

故△AOB的外接圆的方程为x2+y2-x-y =0．·········15分
16、在直角坐标系xOy中，椭圆C1：+ =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2. F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=。
（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足= +，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。

解：（Ⅰ）由：y2=4x知F2(1,0). ·········1分
设，在上，因为，所以， 得，．·········2分

在上，且椭圆的半焦距c=1，于是·········4分
消去并整理得，解得（不合题意，舍去）．·········6分

故椭圆的方程为．·········7分
（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，·········8分

因为，所以与的斜率相同，故的斜率．·········9分
设的方程为．设，，

由消去并化简得．
．·········11分
因为，所以．

．
所以． 此时·········14分，
故所求直线的方程为，或．·········15分

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