集体备课案--抛物线.docx

抛物线
高考要求
掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质

知识点归纳
1抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
注：圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时，表示椭圆；当e=1时，表示抛物线；当e＞1时，表示双曲线

2抛物线标准方程的四种形式：
设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

图形

焦点

准线

范围

对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率

焦半径

3抛物线的图像和性质：
(1)焦点坐标是：，(2)准线方程是：。
(3)顶点是焦点向准线所作垂线段中点，顶点平分焦点到准线的垂线段：。
(4)焦准距：
(5)焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，
(6)焦点弦长公式：过焦点弦长
(7)通径：过焦点垂直于轴的弦长为。这是过焦点的所有弦中最短的
(8)焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。
(9)焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
(10)焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
(11)抛物线上的动点可设为P或或P

4一般情况归纳：
方程
图象
焦点
准线
定义特征
y2=kx
k>0时开口向右
(k/4,0)
x= ─k/4
到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离
k<0时开口向左
x2=ky
k>0时开口向上
(0,k/4)
y= ─k/4
到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离
k<0时开口向下

题型讲解
一 抛物线的方程
例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x－2y－4=0上
分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论
解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0），∵过点（－3，2），
∴4=－2p（－3）或9=2p·2 ∴p=或p=
∴所求的抛物线方程为y2=－x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－
（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）当焦点为（4，0）时，=4，
∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，－2）时，=2，
∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，
对应的准线方程分别是x=－4，y=2
点评：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解
例2 如下图所示，直线相交于点M,,点,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等若为锐角三角形,,建立适当的坐标系,求曲线段 C的方程
分 析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围
解: 以MN中点为原点,MN所在直线方程为x轴建立直角坐标系,设曲线方程为由得:
, 又,,
解得
由锐角为三角形, , ,
又 故所求曲线方程为:
点评：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力