统计与可能性的趣味故事.doc

关于统计的数学趣味小故事两则这两个故事都发生在二战期间，并且都是盟军方面机智的统计学家，数学在二战期间充当了十分重要的角色，今天说的是统计。第一个故事发生在英国，二战前期德国势头很猛，英国从敦刻尔克撤回到本岛，德国每天不定期地对英国狂轰乱炸，后来英国空军发展起来，双方空战不断。为了能够提高飞机的防护能力，英国的飞机设计师们决定给飞机增加护甲，但是设计师们并不清楚应该在什么地方增加护甲，于是求助于统计学家。统计学家将每架中弹之后仍然安全返航的飞机的中弹部位描绘在一张图上，然后将所有中弹飞机的图都叠放在一起，这样就形成了浓密不同的弹孔分布。工作完成了，然后统计学家很肯定地说没有弹孔的地方就是应该增加护甲的地方，因为这个部位中弹的飞机都没能幸免于难。第二个故事与德国坦克有关。我们知道德国的坦克战在二战前期占了很多便宜，直到后来，苏联的坦克才能和德国坦克一拼高下，坦克数量作为德军的主要作战力量的数据是盟军非常希望获得的情报，有很多盟军特工的任务就是窃取德军坦克总量情报。然而根据战后所获得的数据，真正可靠的情报不是来源于盟军特工，而是统计学家。统计学家做了什么事情呢?这和德军制造坦克的惯例有关，德军坦克在出厂之后按生产的先后顺序编号，1，2，N，这是一个十分古板的传统，正是因为这个传统，德军送给了盟军统计学家需要的数据。盟军在战争中缴获了德军的一些坦克并且获取了这些坦克的编号，现在统计学家需要在这些编号的基础上估计N，也就是德军的坦克总量，而这通过一定的统计工具就可以实现。布丰的投针试验公元1777年的一天，法国科学家D布丰（Dbuffon17071788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率的近似值！”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本或然算术试验的书。在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：在上面故事中，针长l等于平行线距离d的一半，所以代入上面公式简化 我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。现在设想把圆圈拉直，变成一条长为d的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为d，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说，当长为d的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。现在再来讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：mkl式中K是比例系数。为了求出K来，只需注意到，对于ld的特殊情形，有m2n。于 戳穿“摸彩”骗局 “天有不测风云，人有旦夕祸福”。这话有对的一面，也有不对的一面，对的是，说出了事物发生的偶然性。不对的是，夸大了偶然的成份，忽视了偶然中的必然规律和量的关系，给人笼罩上一种不可知论的阴影。举例说，在世界上火车与汽车相撞的事件，时有发生。然而，却几乎没有人，由于担心火车与汽车相撞，不去乘火车、汽车而宁愿步行。这是为什么呢？原因是：在现实中，这种相撞的可能性实在是太小了。在世界上千千万万次的车祸中，能找到的也只是极少数几例。又如，人遭遇车祸，这种可能性通常要比火车与汽车相撞的可能性大不知多少倍。然而，在人们亿万次的外出中，遭遇车祸毕竟还是占少数。这潜意识包含了一条极重要的原理小概率原理，即一个概率很小的事件，一般不会在一次试验中发生。下面给你介绍一个有趣的游戏。如果你新到一个班级，那么你完全可以大言不惭地对你班上49名新伙伴，作一次惊人的宣布：“新班级里一定有人生日是相同的！”我想大家一定会惊讶不已！可能连你本人也会感到难以置信吧！因为首先，你对他们的生日一无所知，其次，一年有365天，而你班上只有50人，难道生日会重合吗？但是，我必须告诉你，这是极可能获得成功的。这个游戏成功的道理是什么呢？原来，班上的第一位同学要与你生日不同。那么他的生日只能在一年365天中的另外364天，即 如此等等，得到全班50名同学生日都不同的概率为：用计算器或对数表细心计算，可得上式结果为：P（全不相同）=0.0295由于50人中有人生日相同和全不相同这两件事，二者必居其一，所以P（有相同）P（全不相同）1因而 P（有相同）1-P（全不相同）1-0.02950.9705即你的成功把握有97，而失败的可能性不足3，根据小概率原理，你完全可以断定这是不会在一次游戏中发生的。目前，在一些小市镇可以看到一种“摸彩”的招徕广告。这实际是一种赌博，赌主利用他人无知和侥幸心理，有恃无恐地把高额的奖金设置在极小概率的事件上。赌客纵然一试再试，仍不免一次次败兴而归，结果大把的钞票，哗哗流进了赌主的腰包。我们应当戳穿这种骗局。有人见过一个“摆地摊”的赌主，他拿了八个白、八个黑的围棋子，放在一个签袋里。规定说：凡愿摸彩者，每人交一角钱作“手续费”，然后一次从袋中摸出五个棋子，赌主按地面上铺着的一张“摸子中彩表”给“彩”。这个“摸彩”赌博，规则十分简单，赌金也不大，所以招徕了不少过往行人，一时围得水泄不通。许多青年不惜花一角钱去碰“运气”，结果自然扫兴者居多。下面我们深入计算一下摸到“彩”的可能性。（读者如果一时弄不清计算的方法，可以只看结果），现在按摸1000次统计；赌主“手续费”收入共100元，他可能需要付出的连纪念品在内的“彩金”是：P（五个白）2+P（四个白）0.2+P（三个白）0.0510000.01282+0.12820.2+0.35890.05100069.19（元）赌主可望净赚30元。我想看了以上的分析，读者们一定不会再怀着好奇和侥幸的心理，用自己的钱，去填塞“摸彩”赌主那永填不满的腰包吧！ -从歧路亡羊谈起 歧路亡羊是列子中一篇寓意深刻的故事。文如下：杨子之邻人亡羊，既率其党，又请杨子之竖追之。杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路。”既返，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”曰：“奚亡之？”曰；“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也。”下面我们就来研究一下杨子的邻人，找到丢失的羊的可能性有多大。假定所有的分叉口都各有两条新的歧路。这样，每次分歧的总歧路数分别为21，22，23，24，到第n次分歧时，共有2n条歧路。因为丢失的羊走到每条歧路去的可能性都是相等的，所以当羊走过n个三叉路口后，一个人在某条歧路上 例如，当n5时，即使杨子的邻人动员了6个人去找羊，找到羊的可能性也只有还不及五分之一。可见，邻人空手而返，是很自然的事了！现在我们再设想道路是这样特殊：从第二次分歧起，邻近的歧路相连通成一个新的“丫”字叉口，像下图所示那样。显然，当丢失的羊在这种特殊的歧路网上，走到第一个三叉口时，它既可能从东边，也可能从西边走入不同的两条南北走向的街。这样情形我们记为：（1，1）。接着往下有三条南北走向的街：只有一直向左转时，羊才会进入东边的那条；羊进入中间的一条街有两种可能，第一次向左而第二次向右，或第一次向右而第二次向左；只有两次都向右时，羊才能进入西边的那条街，概括三种情形，我们记为（1，2，1）。同样分析可以得知，再接下去的四条南北走向街的情形可记为：（1，3，3，1）记号中的每一个数字，都代表到达相应街的不同的路线数。如此下去，我们可以得到一个奇妙的数字表。这个三角形表的每行两端都是1，而且除1以外的每个数都等于它肩上两个数字的和。这是因为。它实际上表明了丢失的羊到达该数字地点的路线数，所以应等于两肩路线数的累加。类似的数字表早在公元1261年就出现在我国数学家杨辉的著作中，所以我们称它为：“杨辉三角”。在欧洲，这种表的出现要迟上四百年，发现者就是前些节故事中提到过的法国数学家巴斯卡。因此国外常把这种表叫做“巴斯卡三角形”。杨辉三角第n排的数字和，实际上就是歧路亡羊中第n次分叉后的总的歧路数，所以应当等于2n。例如，表最后一排的数字和：1+61520156126为方便起见，我们把杨辉三角中第n排的除开头“1”以外的第k个数字记为Ckn。这样做的优点是，今后如若需要了解到达上述位置会有多少可能的路线时，无需思考，立即知道是Ckn条。下面要讲的是概率论中颇为重要的课题独立重复试验。我们很快就会看到：将要得到的结果，与杨辉三角之间的联系是很密切的。以掷币为例。如果我们把掷币中出的正面和反面的可能，比喻成杨辉三角中向左和向右的路线，那么，杨辉三角中的第一排（1，1），就相当于掷第一枚币时出现的（正，反）可能；而第二排的（1，2，1），就相当于重复掷两枚币时出现的（两正，一正一反，两反）可能；而第三排中的（1，3，3，1），就相当于重复掷三枚币时出现（三正，二正一反，二反一正，三反）的可能，如此等等。这样，杨辉三角中第n排各数，与掷n枚币出现的各种可能性的数目有以下对等关系。于是，我们得出，重复n次掷币，出现k次正面或反面的概率为：例如，掷6次币，出现三次正面的概率式中的C3620，是从杨辉三角表中相应位置查到的。上面我们讲的掷币，每次出现正、反机会都是均等的。假如某事件出现的的概率是P，那么在n次试验中，该事件恰好出现k次的概率又如何呢？这只要注意到一个事实，即在杨辉三角中，任何到达“Ckn”的路线，都必须是恰好向右走k次，向左走n-k次，这里，假如我们把向右走相当于事件发生，向左走相当于事件不发生，那么，任何一条到达“Ckn”位置线路的概率均为Pk（1-P）n-k，其中（1-P）是事件不发生的概率。由本节开头的分析知道，到达“Ckn”的线路数即为Ckn，所以我们即得n次试验中，事件出现k次的概率公式：Pn（k）=CknPk（1-P）n-k2005-8-27 3:39:00 jhez001 游戏的公平性统计概率教学中的小故事我在上求简单事件发生的可能性那一课时，所必须的数据的收集、整理、分析的过程，老师们都已熟悉，我就不多说了。为了让学生更好的体会求简单事件发生可能性我设计了游戏的公平性一堂课，课堂主要以游戏的形式呈现。 第一个游戏：掷硬币游戏，小明和小丽做如下游戏： 任意掷出两枚均匀且完全相同的1元人民币硬币，若朝上的面相同，则小明获胜；若朝上的面不同，则小丽获胜。小丽认为：朝上的面相同有“两个正面”和“两个反面”两种情况；而朝上的面不同只有“一正一反”一种情况，因此游戏对小丽不公平。让学生先进性思考，并且小组讨论。学生的结论主要分为“公平”与“不公平”两大派，我从中各选取了一个代表，让他们阐述理由，然后再让学生们重新做出判断，这时候有的学生的观点发生了改变，于是我特别让改变观点的学生说说自己的想法，在这一过程中我更多的了解到了学生在求简单事件的可能性过程中对于“所有可能发生的结果”这一概念理解的误区，认为游戏不公平的学生认为所有可能发生的结果是“一正一反”、“两个正面”、“两个反面”三种，于是我提出了一个问题：如果把两个硬币编上1号和2号，“一正一反”会有几种情况出现？学生很容易的回答出“1号正2号反”和“1号反2号正”于是我接着问他：“这两个是同一种结果么？”“这么看就不是了”于是我总结到，我们所认为“一正一反”的结果中实际上是两种结果相同的表现形式。因此所有可能出现的结果实际上一共有四个，“一正一反”的有两个，“两个正面”和“两个反面”各一个。对于所有可能出现的结果是列举出个数，而不是种类，给相同的实验对象编号可以避免出现遗漏和重复。 根据这个游戏有些学生似乎恍然大悟，于是我又给出了另一个形式类似的游戏：三枚硬币，小明对小华说：“我向空中扔3枚硬币，如果它们落地后全是正面朝上，我就给你10角钱。如果它们全是反面朝上，我也给你10角钱。但是，如果它们落地时是其它情况，你得给我5角钱”。小华想：“至少有两枚硬币必定情况相同，因为如果有两枚硬币情况不同，则第三枚硬币一定会与这两枚硬币之一情况相同。而如果两枚硬币情况相同，则第三枚硬币不是与这两枚情况相同，就是与它们情况不同。第三枚与其他两枚情况相同或不同的可能性是一样的。因此，3枚硬币完全相同或完全不相同的可能性是一样的。但是，小明是以10角钱对我的5角钱来赌，这分明对我有利。好吧，小明，我跟你打这个赌！”小华接受这样的打赌明智吗？学生这个时候想到了，对三枚硬币标上号，列出3枚硬币落地时的所有可能出现的结果，3枚硬币落地时的所有可能出现的结果有8个，且每种结果出现的可能性相等。3枚硬币落地时的完全相同的结果有2个，从长远的观点看，小华接受这样的打赌不明智。