对数函数及其性质的应用课时作业(十九).doc

课时作业(十九)　对数函数及其性质的应用
A组　基础巩固
1．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a>b>c　　　　　　B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈，c＝log3＝log32∈，故有a>b>c，故选A.
答案：A
2．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是(　　)
A.
B．[－1,1]
C.
D.∪[，＋∞)
解析：由已知得，－≤logx≤，
∴≤x≤－，即≤x≤，故选A.
答案：A
3．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)
A. B.
C．2 D．4
解析：当a>1时，a＋loga2＋1＝a，
loga2＝－1，a＝(舍去)．
当0<a<1时，1＋a＋loga2＝a，
∴loga2＝－1，a＝，故选B.
答案：B
4．已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(2)>0，则此函数的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－3)
B．(1，＋∞)∪(－∞，－3)
C．(－∞，－1)
D．(1，＋∞)
解析：∵f(2)＝loga5>0＝loga1，∴a>1.
由x2＋2x－3>0，得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
设u＝x2＋2x－3，则u在(1，＋∞)上为增函数．
又∵y＝logau(a>1)在(1，＋∞)上也为增函数．
∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D.
答案：D
5．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D．(1，＋∞)
解析：∵(a2＋1)－2a＝(a－1)2>0(a≠1)，
∴a2＋1>2a.
由loga(a2＋1)<loga2a知：0<a<1.
又loga2a<0＝loga1，∴2a>1⇒a>，
综上：<a<1，故选B.
答案：B
6．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
解析：由题设，知a>0，则t＝2－ax在[0,1]上是减函数，又y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，
∴y＝logat是增函数，且tmin>0.
因此∴1<a<2，故选B.
答案：B
7．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)．若A⊆B，则a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
解析：∵log2x≤2＝log24
∴0<x≤4，∴A＝{x|0<x≤4}．
又∵A⊆B，∴a>4，∴c＝4.
答案：4
8．函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.
解析：当a>1时，f(x)max＝f(3)＝loga3＝1，
∴a＝3.
当0<a<1时，f(x)max＝f(2)＝loga2＝1，
∴a＝2(舍去)．
∴a＝3.
答案：3
9．关于函数f(x)＝lg有下列结论：①函数f(x)的定义域是(0，＋∞)；②函数f(x)是奇函数；③函数f(x)的最小值为－lg2；④当0<x<1时，函数f(x)是增函数；当x>1时，函数f(x)是减函数．其中正确结论的序号是________．
解析：由>0知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，则函数f(x)是非奇非偶函数，所以①正确，②错误；f(x)＝lg＝－lg(x＋)≤lg＝－lg2，即函数f(x)的最大值为－lg2，所以③错误；函数y＝x＋，当0<x<1时，函数g(x)是减函数；当x>1时，函数g(x)是增函数．而函数y＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，所以④正确．
答案：①④
10．已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
解析：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)．
故当x<0时，f(x)＝－log(－x)．
(2)由题意及(1)知，原不等式等价于
或，
解得x≥或－4≤x<0.
故原不等式的解集为.
B组　能力提升
11.已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg2)＋f＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln1＋2＝2，由上式关系知f(lg2)＋f＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2.
答案：D
12.已知f(x)＝
是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
解析：∵f(x)＝logax(x≥1)是减函数，
∴0＜a＜1且f(1)＝0.
∵f(x)＝(3a－1)x＋4a(x＜1)为减函数，
∴3a－1＜0.∴a＜.
又∵f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴(3a－1)×1＋4a≥0.∴a≥.
∴a∈.
答案：C
13.已知函数y＝(log2x－2)·，2≤x≤8.
(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
(2)求该函数的值域．
解析：(1)y＝(t－2)(t－1)＝t2－t＋1，
又2≤x≤8，
∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，
即1≤t≤3.
(2)由(1)得y＝2－，1≤t≤3，
当t＝时，ymin＝－；
当t＝3时，ymax＝1，
∴－≤y≤1，
即函数的值域为.
14.已知函数f(x)＝loga(x－1)(a＞0，且a≠1)，g(x)＝loga(3－x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．
解析：(1)要使函数h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x－1)－loga(3－x)有意义，
需有解得1＜x＜3，
故函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为(1,3)．
(2)因为不等式f(x)≥g(x)，
即loga(x－1)≥loga(3－x)，
当a＞1时，有解得2≤x＜3.
当0＜a＜1时，有
解得1＜x≤2.
综上可得，当a＞1时，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为[2,3)；
当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为(1,2]．
15.
已知函数y＝lgx，M、N、P是图象上三点，这三点的横坐标分别为a，a＋2，a＋4(a>1)，记△MPN的面积为S.
(1)求S＝f(a)的表达式；(2)判断f(a)的单调性并求值域．
解析：如图所示．

(1)M、N、P三点坐标分别为
(a，lga)，(a＋2，lg(a＋2))，(a＋4，lg(a＋4))，
S＝S梯形MABN＋S梯形BCPN－S梯形ACPM＝[lga＋lg(a＋2)]·2＋[lg(a＋2)＋lg(a＋4)]·2－[lga＋lg(a＋4)]·4
＝lg(a>1)．
(2)任取a1，a2>1，且a1<a2，则
∵－＝1＋－[1＋]
＝4>0
∴>>0.
又∵y＝lga(a>1)是(0，＋∞)上的增函数，
∴lg>lg即f(a1)>f(a2)，
∴f(a)在a>1的条件下递减，
下面求S＝f(a)(a>1)的值域，
f(a)＝lg(1＋)＝lg[1＋]<lg，
∴S＝f(a)的值域为(0，lg)．