正余弦函数的性质教师改进版.doc

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正、余弦函数的性质及其应用

知识清单：
函数解析式

图像

最小正周期

单调性
在上递增
在上递减
在上递增
在上递减
最值
当时，
当时，
当时，
当时，
奇偶性
奇函数
偶函数
对称性
对称中心

对称轴

考向1 正、余弦函数的周期性、单调性
例1. （2013.安徽，16,12分）已知函数的最小正周期为①求的值
②讨论在区间 上的单调性
解析：(2) ①

因为的最小正周期为，且，所以，故
②由①知，
若，则
当，即时，单调递增
当，即时，单调递减
综上可知，在上单调递增，在上单调递减。
例2.(2012.北京，15,13分)已知函数
（1） 求的定义域及最小正周期
（2） 求的单调增区间
解：（1） 函数的定义域为

（3） 函数的单调增区间为
由，，
得，，
所以的单调增区间为
变式：求例1中函数在上的单调区间。
方法总结：
1. 求形如或（其中）的函数的周期性的求法 公式：
2. 正、余弦函数单调区间的求法
求形如或（其中）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答。列不等式的原则是：①把“（）”视为一个整体,设为；②时，将带入，的单调增（减）区间，解此不等式解集即为所求函数的单调增（减）区间；时，将带入，的单调增（减）区间，解此不等式解集即为所求函数的单调减（增）区间.
若，只需用诱导公式将的系数变为正数，再利用上述方法求其单调区间即可。
拓展：
1. （2012.课标全国，9）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（A ）
A. B. C. D.
2.已知是锐角的三个内角，,则的夹角是（ ）A
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定

考向2 正、余弦函数的值域与最值
例3. （2012.湖北，17,12分）：已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且.
(1)求函数的最小正周期
(2)若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围
解(1)

由直线是图象的一条对称轴，可得：
所以，即
又，所以，故，所以的最小正周期是
（2）由的图象经过点，得
即，故.
由，得，所以
得
故函数在上的取值范围为
方法总结：形如的三角函数化为的形式，再求最值（值域）

考向3 正余弦函数的奇偶性、对称性
例3.（1）（2012.大纲全国，3）若函数是偶函数，则=（ C ）
A. B. C. D.
（2）（2014.湖南，9）已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是（ A ）
A. B. C. D.

方法总结：
（1） 形如或（其中）的函数的对称性满足“轴最心零”准则：
①求形如或（其中）的函数的奇偶性
为
为
②求形如或（其中）的函数的对称性
l 分别令即求得的
l 分别令即求得的
拓展
1. （2010.福建，14）已知函数和的图象的对称轴完全相同.若，则的取值范围是
2.如果函数的图象关于直线对称，则实数的
值为 -1
3.已知函数，其中，若对恒成立，则下列命题正确的是①②③
① ② ③既不是奇函数也不是偶函数
④的单调增区间是
试真题
1.（2014.课标I,7）在函数①，②，③中，最小正周期为的所有函数为（ A ）
A.①②③ B.①③ C.② D. ②③
2.(2014.辽宁,9)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ B ）
A.在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增
3. 已知函数和的图象的对称轴完全相同.若，则的取值范围是
4.（2013.北京，3）“”是“曲线过坐标原点”的（A ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.（2011.湖北，3）已知函数,若，则的取值范围为（B ）
A. B.
C. D.
6.（2012.课标全国，9）已知，直线和是函数的图象的两条相邻的对称轴，则=( )A
A. B. C. D.
7．（2013.湖北卷，4,5分）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ B ）
A. B. C. D.
8.（2014.北京，14）设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为
9. （2013.陕西，16,12分）已知向量，，,设函数
①求函数的最小正周期
②求在区间上的最大值和最小值
解析：（1）由辅助角公式得，其中
，既，

(2)
①
②
由正弦函数的性质知，当，即时，取得最小大值 当，即时，取得最大值1

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