泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用.pdf

第2 6 卷第4 期重庆交通大学学报(自然科学版)2 0 0 7 年8 月J O U R N A LO FC H O N G Q I N GJ I A 0 7 F O N GU N I V E R S I T Y(N A T U R A LS C I E N C E)V 0 1 2 6N o 4A u g，2 0 0 7泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用严振祥，沈家骅(上海海事大学基础部，上海2 0 0 1 3 5)摘要：利用泰勒公式讨论了函数的凹凸性，并获得一个判别拐点的较为简单的方法关键词：泰勒公式；函数；凹凸；拐点中图分类号：0 1 7 4文献标识码：A文章编号：1 0 0 1 7 1 6 X(2 0 0 7)0 4 一0 16 0 一0 2A p p l i c a t i o no ft h eT a y l o rF o r m u l at oJ u d g i n gt h eC o n c a v i t y，C o n v e x i t ya n dF l e c n o d eo faF u n c t i o nY A NZ h e n x i a n g，S H E NJ i a h u a(B a s i cS c i e n c eD e p a r t m e n t，S h a n g h a iM a r i t i m eU n i v e r s i t y，S h a n g h a i2 0 0 1 3 5，C h i n a)A b s t 糟c t：T h ec o n c a v i t ya x l dc o n v e x i t yo faf u n c t i o nw e r ec o n f i r m e db yu s i n gt h eT a y l o rf o m m l a，a n da l le a s i e ra p p r o a c hf o rj u d g i n gt h ef l e c n o d eo ff u n c t i o nw a sg o t K e yw o r d s：t a y l o rf o r m u l a；f u n c t i o n；c o n c a v i t ya n dc o n v e x i t y：n e c n o d e泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用不少书中利用它来判断函数的单调性、极值尝试利用它来研究函数的凹凸性及拐点引理：若，(x)在 n，b 中任意一个足够小的区间一上为凹向的，则，(*)在 n，b 上也是凹向的证明：取 n，b 中任意二点墨 X：”1，并将，五”1 以分点疋 五 霹一1(墨 墨+粥：墨“平均分成2”个小区间只要n 充分大，便可使得每个小区间足够小设“x)在每一个小区间上都是凹的显然嗣=(蜀+翟“)2 取X=(霹一，+墨)2，马=(驾+E+)2，则 x。，墨 的长度与各小区间相同，(x)在 x。7，置 也是凹向的，所以，(墨)“x，)+，(工：)2(1)而，(X。)，(Y；一。)+，(噩)2，(置)“程)+，(霹+，)2，代人式(】)得，(噩)2 f(X；)+，(髓一)+，(墨+)4即，(霹)(L“x；)+，(墨+)2(2)同理可得“墨。)“噩一：)+八雹)2以雹+，)以墨)+，(霹+：)2，代入式(2)可得厂(X；)叭墨一：)+以E+：)2，以此类推，便可得，(骂)，(墨一。)+“墨+。)2，(X；)0，则以x)在 a，b 上的图形是凹的证明：设c d 为。，b 内任意两点，且 c，d 足够小X。0，即“X，)+“蜀)一矾岛)0，得，()2)若1)n 为奇数，则(以凰)为拐点；2)n 为偶数，则(以)不是拐点证明：写出f”(盖)在凰处的泰勒公式，f”(x)=f”(蜀)+f()(X 一)+“(X o)(X 一)”2(n 一2)!+0 (x X o)”2 因为f(凰)=f”(鼠)一习”()=0，f”(X)=”(凰)(X 一鼠)”2(n 一2)!+0 (I Y一墨)”2 ，同样余项是(x 一)”2 的高阶无穷小，所以，”(x)的符号在岛的6 心领域内与，”(墨)(x 一)”2(n 一2)!相同当n 为奇数时，显然在X。的二边，”(凰)(x 一鼠)”2(n 一2)!符号相异，即-厂”(丑)的符号相异，所以(X o X o)为拐点当n 为偶数时，则，”(x)的符号相同，所以(凰，(凰)不是拐点 证毕例1：判定(o，4)是否是，(x)=e 3+e。+2 c o s X的拐点?解，(X)=e。一e 一2 s i n X，f7(0)=0，”(X)=P。一e 一3 2 c o s X，f”(0)=o，”(x)=e 3 一e 一1+2 s i n X，”(0)=o4(x)=e。一e 一2 c o s X，4(0)=4 0因为n=4所以(0，4)不是“x)的拐点例2：判定(0，0)是否是厂(X)=e。一e 一一2 s i m Y的拐点?解，(X)=e。+e、。一2 e o s X，f(0)=0，”(X)=e 1 一e“+2 s i n X，f”(O)=0，(X)=e 3+e“+2 c o s X，f(O)=4 0因为n=3所以(0，0)是，(x)的拐点从上述2 例看到，要判别X=0 左、右二边，”(x)的符号不易，但用本定理则非常容易参考文献：1 同济大学应用数学系高等数学 M 北京：高等教育出版社，2 0 0 2 2 复旦大学数学系数学分析 M 上海：上海科技出版社，1 9 6 2 万方数据泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用作者：严振祥，沈家骅，YAN Zhen-xiang，SHEN Jia-hua作者单位：上海海事大学,基础部,上海,200135刊名：重庆交通大学学报（自然科学版）英文刊名：JOURNAL OF CHONGQING JIAOTONG UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：2007,26(4)被引用次数：1次 参考文献(2条)参考文献(2条)1.同济大学应用数学系 高等数学 20022.复旦大学数学系 数学分析 1962 本文读者也读过(9条)本文读者也读过(9条)1.刘瑜.陈美燕.于超.冯涛 泰勒公式在n阶行列式计算中的应用期刊论文-内江师范学院学报2008,23(z1)2.王倩.WANG Qian 带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式的推广与应用期刊论文-沈阳建筑大学学报(自然科学版)2005,21(6)3.朱永生.刘莉.ZHU Yong-Sheng.LIU Li 基于泰勒公式应用的几个问题期刊论文-长春师范学院学报（自然科学版）2006,25(4)4.胡格吉乐吐 对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用期刊论文-内蒙古科技与经济2009(24)5.齐成辉 泰勒公式的应用期刊论文-陕西师范大学学报(自然科学版)2003,31(z1)6.郭鑫.林卓 浅议泰勒公式应用期刊论文-黑龙江科技信息2008(2)7.高春香 泰勒公式及其应用期刊论文-科技信息2010(32)8.陈丽.王海霞.CHEN Li.WANG Haixia 泰勒公式的应用期刊论文-廊坊师范学院学报（自然科学版）2009,9(2)9.冯平.石永廷.Feng Ping.Shi Yongtin 泰勒公式在求解高等数学问题中的应用期刊论文-新疆职业大学学报2003,11(4)引证文献(1条)引证文献(1条)1.胡国专 泰勒公式在微分学中的应用期刊论文-赤峰学院学报：自然科学版 2012(15)本文链接：http:/