第六讲：函数的综合应用.doc

第六讲：函数的综合应用【例题精讲】【例1】函数满足：对任意的，恒有，当时，则 若函数的最大值是正整数，则= 定义在区间上的偶函数,当时单调递减,若，则实数的取值范围是 若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是 【例2】已知函数（为实常数），（1）若，求的单调区间；（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围【例3】某企业实行裁员增效，已知现有员工人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每年可多创收万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工人数的，设该企业裁员人后纯收益为万元。（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）【例4】已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.【课堂演练】1.已知函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则 2.已知函数的定义域为，值域为，若区间的长度为，则的最小值为 3.函数的图像先作关于轴对称得到图像，再将向右平移一个单位得到图像，则的解析式为 4.函数的零点有 个 5.已知函数在是单调递减函数，则实数的取值范围是 . 6.已知函数，若，则实数的取值范围是 7.已知函数（1）判断并证明的奇偶性；（2）求证：；（3）已知，且，求的值8已知二次函数= ，满足（1）求的解析式；（2）求函数的零点，并写出0时，x的取值集合；（3）设有最大值14，试求的值。第六讲：函数的综合应用【例1】函数满足：对任意的，恒有，当时，则 ；2定义在区间上的偶函数,当时单调递减,若，则实数的取值范围是 3若函数的最大值是正整数，则= 若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是 4设函数的定义域为，若满足：在内是单调函数；存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是 【例2】已知函数（为实常数），（1）若，求的单调区间；（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围解析：(1),的单调增区间为()，(-,0) 的单调减区间为(-)，() (2)由于，当1,2时，10 即 20 即 30 即时 综上可得 (3) 在区间1,2上任取、，且则 (*) (*)可转化为对任意、即 10 当20 由 得 解得30 得 所以实数的取值范围是 【例3】某企业实行裁员增效，已知现有员工人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每年可多创收万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工人数的，设该企业裁员人后纯收益为万元。（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）解：（1）由题意可得因为，所以，即的取值范围是中的自然数（2）因为且，所以，若为偶数，当时，取最大值；当为奇数，当或时，取最大值。因为要尽可能少裁人，所以。综上所述，当为偶数时，裁员人；当为奇数时，裁员人【例4】（本小题满分16分）已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围. 解：（1）是偶函数，对任意，恒成立 2分即：恒成立， 5分（2）由于，所以定义域为，也就是满足 7分函数与的图象有且只有一个交点，方程在上只有一解即：方程在上只有一解 9分令则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解 10分 当时，解得，不合题意； 11分 当时，记，其图象的对称轴 函数在上递减，而 方程（*）在无解 13分 当时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立此时的范围为 15分综上所述，所求的取值范围为 16分【课堂演练】1.已知函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则 ； 2.已知函数的定义域为，值域为，若区间的长度为，则的最小值为 ； 3.函数的图像先作关于轴对称得到图像，再将向右平移一个单位得到图像，则的解析式为 4.函数的零点有 个5.已知函数在是单调递减函数，则实数的取值范围是 . 6.已知函数，若，则实数的取值范围是 7.已知函数（1）判断并证明的奇偶性；（2）求证：；（3）已知，且，求的值解：（1）为奇函数因为所以，定义域为，所以定义域关于原点对称，又，所以为奇函数（2）因为，所以（3）因为，所以，又，所以，由此可得：8已知二次函数= ，满足（1）求的解析式；（2）求函数的零点，并写出0时，x的取值集合；（3）设有最大值14，试求的值。 （4）设为常数，试讨论的零点个数。解：(1) = ，满足 ， 即 ， 2分 解得 4分(2) 由=0得函数的零点为0，1 5分又函数的图象是开口向下的抛物线，时，；当时，；当时，若，即，则；若，即，则；若，即，则综上所述，20（本小题16分）已知函数，。（1）若，求使的的值；（2）若对于任意的实数恒成立，求的取值范围；（3）求函数在上的最小值.20. （1）；（2）即恒成立，得，即对恒成立，因，故只需，解得，又，故的取值范围为。（3）当时，由（2）知，当时，。当时，故。 时，； 时，； 时，由，得，其中，故当时，；当时，.因此，当时，令，得，且，如图，()当，即时，；() 当，即时，；() 当，即时，。综上所述，