第六讲二次函数的应用及数据统计.doc

第六讲：二次函数应用和数据与统计
一、选择题
1。 如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm／s。若点P，Q同时开始运动，设运动时间为t(s)，△BPQ的面积为y（cm2）.已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是( )

A。AE＝6cm B.sin∠EBC＝ C.当0＜t≤10时，y＝t2 D.当t＝12s时，△PBQ是等腰三角形
2。如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC、BD相较于点O,点E、F分别从B,C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C,D时停止运动.设运动时间为t（s)，ΔOEF的面积为S（cm2)与t（s）,的函数关系可用图象表示为

.
3. （2013甘肃兰州，15,4分）如图,动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为( )
O
S
t
O
S
t
O
S
t
O
S
t
A
B
C
D
A
P
B
第15题图

4。 （2013四川南充,9，3分） 如图1，把矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止,它们运动的速度都是1cm/s,设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时；y=t；③直线NH的解析式为y=－t+27；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒。其中正确的结论个数为 （ ）
A。 4 B。 3 C。 2 D. 1
C
D
（图1）
B
A
E
Q
P
y(cm2))
（图2）
M
10
O

N
H
5
7
t(s))

5. （2013湖北荆门，12,3分)如图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC,且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是( )
x
y
B
A
D
C
(第12题)
x
O
S
x
O
S
x
O
S
x
O
S
A． B． C． D．

6.（2013甘肃白银,10，3分）如图,已知⊙P的圆心在定角(0°<〈180°） 的角平分线上运动,且⊙P与的两边相切，则图中阴影部分的面积S关于⊙P的半径r（r〉0)变化的函数图象大致是( ）

三、解答题
1. (2013四川内江,27，12分)如图，等边△ABC中,AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L.
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x,图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上,当图形L的面积最大时，求⊙O的面积。

【答案】解：(1）过点A作AM⊥BC于N，交DE于点M，∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC，∠ABC=60°.
在Rt△ABM中，AB=3，∠B=60°∵，∴AN=AB·sinB=3×sin60°=。
∴==.∴△ABC的面积为.
(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴即，
以为折线将△翻折，所得的与梯形重叠部分图形L的形状包括以下两种情况：
①当0﹤ 时,图形L是等边三角形,∵BC=3 ∴BC边所对的三角形的中位线长为。∴；
②当﹤3时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分图形L的形状为梯形.∵S△A'DE=S△ADE=，
∴DE边上的高AM=A'M=由已知求得AN=。∴A’N=AA'—AN=x-.
由△A'PQ∽△A’DE知解得
∴。
(3）在函数中∵0﹤x≤ ∴当x=时，y最大值为。
在函数中当时，y最大值为.∵﹤
∴当时，y最大值为.即L为一等腰梯形，且梯形的高为，较长的底边长为2,
由于图形L的顶点都在圆上，设圆心到较长底边的距离为a，依题意 a2＋1＝（—a)2＋（)2，解得a＝0………。
说明圆的圆心在梯形较长的底边上,即圆的直径为2。
所以⊙O的面积＝π×12＝π
2 。如图， 已知抛物线y = ax 2+ bx + c经过 A( - 3, 0） ， B（ 1, 0) , C( 0， 3) 三点, 其顶点为D, 对称轴是直线 l, l 与 x 轴交于点 H.
( 1） 求该抛物线的解析式;
（ 2) 若点P是该抛物线对称轴 l 上的一个动点， 求△PBC周长的最小值;
( 3) 如图（ 2) , 若 E是线段AD上的一个动点（ E 与 A、D不重合) ， 过 E 点作平行于y轴的直线交抛物线于点 F, 交 x 轴于点G， 设点E的横坐标为m， △ADF的面积为S.
① 求S与 m的函数关系式；
②S是否存在最大值? 若存在, 求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在， 请说明理由。

【答案】解： 1) 由题意可知： 得: ∴ 抛物线的解析式为 y = - x2 — 2x + 3
( 2） ∵△PBC的周长为： PB + PC + BC∵BC 是定值
∴ 当 PB + PC 最小时， △PBC的周长最小
∵ 点 A、B关于对称轴 l 对称
∴ 连接AC交l于点 P, 即点P为所求的点 ∵AP = BP
∴△PBC的最小周长是: PB + PC + BC = AC + BC
∵A( - 3， 0） ， B（ 1, 0) , C（ 0， 3)∴AC = 3 2, BC =10
∴△PBC 的最小周长为: 3 2 +10=42
（ 3） ①∵ 抛物线 y = - x - 2x + 3 顶点 D 的坐标为（ - 1， 4)∵A( — 3， 0）
∴ 直线 AD的解析式为 y = 2x + 6
∵ 点 E 的横坐标为 m
∴E( m， 2m + 6） ， F( m， — m2 - 2m + 3)
∴EF=- m - 2m + 3 - （ 2m + 6）
= — m — 4m - 3
∴S=S△DEF + S△AEF
==
=( — m2 - 4m — 3） ×2 = - m - 4m – 3
②∵S=— m2 — 4m - 3= - （ m + 2)2+1∴ 当 m = — 2 时, S 最大, 且 S最 大 值 = 1 此时， 点 E 的坐标为( - 2， 2）
）如图，在△ABC中，∠B=45°,BC=5，高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H.
（1）求证:
(2）设EF=x,当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积。
（3）当矩形EFPQ面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动，（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动的时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围.

答案：证明：（1)∵在矩形EFPQ中,EF∥PQ．
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C。
∴△AEF∽△ABC．
又∵AD⊥BC,EF∥PQ
∴AH⊥EF．
∴
(2）设矩形EFPQ的面积为．
∵
∴.
∴．
∴
∴
又∵
∴当时,有最大值5。
即当时,矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5。
（3）当矩形EFPQ面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动时，设运动的时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S.
有下列两种情况：
①如图（1)矩形EFPQ与△ABC重叠部分为六边形MGQPHN.
∵△AMN∽△ABC．
∴
∴
∴
∵=
∴ ()
②如图(2）矩形EFPQ与△ABC重叠部分为△AMN。
∵△AMN∽△ABC．
∴
∴
∴
∵
∴（）
综上所述，符合条件的函数关系式是(）、（）

一：【课前预习】
(一):【知识梳理】
1.统计学中的基本概念．
(1）总体： 。 （2）个体： 。
(3）样本: 。 （4）样本容量： 。
（5）样本是从总体中抽出来的,它能在一定程度上反映总体的情况，但样本既然是总体的一部分，用样本反映总体就会有一定的局限性，一般来说,样本容量越大,用样本估计总体就越准确。
2.数据收集方法的选择： 、 .
（1）普查： 。
（2）抽样调查： ;抽样调查时要注意样本的 性和 性。
二：【经典考题剖析】
月用水量（吨)
10
13
14
17
18
户数
2
2
3
2
1
1.为了解某小区居民的用水情况，随机
抽查了该小区10户家庭的月用水情况
结果如表:
这个抽样调查的总体是 ，个体是 ，样本是 ,样本容量是 .
2。为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对80%初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：
A.测量体校中80％男子篮球、排球队员的身高;B.查阅有关外地80％男生身高的统计质料；
C。在本市的市、区、郊、县各选一所高级中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的(1)班中，用抽签的方法分别选取10名男生，然后测量他们的身高。
（1）为准确估计本市初中这三个年级男生身高分布情况，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理？
人数 年级
身高(cm)
七年级
八年级
九年级
总计(频数)
143～153
12

0
15
153~163
18
9
6
33
163~173

33
39
96
173~183
6
15
12

183～193
0
0
3
3
(2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的:

（注意：每组含最低值，不含最高值）,根据表中的数据填写表中的空格。

3.要想了解养鱼池中鱼苗的成活情况，采用了估计的方法。先撒一网到50尾鱼,再将这些鱼做上标记后，又撒一网,捕到40尾鱼,其中做有标记的鱼有2尾，估计池中大约有多少尾鱼？（假设鱼在鱼池中的分布是均匀的）

4.小谢家买了一辆小轿车,小谢连续记录了七天中小轿车每天行驶的路程：
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
路程(km）
46
39
36
50
54
91
34
请你运用统计知识，解答下列问题:
（1）小谢家每月(按30天计算）要行驶多少千米?
（2）若每行驶100千米需汽油8L，汽油每升3.45元。小谢家一年（按12个月计算)的汽油费用是多少元？

5。某农户承包荒山后种了44棵苹果树，现在进入第三年收获期，收获时，先随意摘了5棵树上的苹果，称得每棵树摘得的批改质量如下（单位：千克）：35,35，34,39,37。
(1）在这个问题中，总体是指 ；个体是指 ；
样本是指 ；样本容量是指 。
（2)试根据样本平均数去估计总体情况，你认为该农户共可收获苹果多少千克?
（3)若市场上苹果价为每千克5元,则该农户今年苹果收入将达多少元？

三：【课后训练】
1。下列调查方式不合适的是（ ）
A.为了解全市初中生每周阅读课外书的时间，采取抽样调查的方式。
B。为了解全班同学的睡眠状况，采用普查的方式.
C。为了解人们保护水资源的意识，采取抽样调查的方式。
D。对载人航天器“神州六号"零部件的检查,采取抽样调查的方式。
2.为检查一批零件的长度是否符合要求,从中抽取50个进行检测，在这个问题中，个体是（ )
A.每个零件； B。每个零件的长度； C.50； D.50个零件的长度
3.为考察某地区12000名学生的中考数学成绩，从中抽取40袋试卷,每袋试卷30份,在这个问题中，样本容量是（ ）
A。40； B.30； C.12000； D.1200
4。为了解台湾水果在大陆民众中受欢迎情况，采用 方式调查.
5.某市上学期共有7500名初中毕业生，为调查分析毕业考的数学成绩，从中抽取50所学校共500份毕业数学试卷，在这次抽样分析中,样本是 ， 样板容量是 。
6.为了完成下列任务，你认为应采用什么调查方式更合适？
①了解你们班同学假期时间是如何安排的；
②考察一批汽车的抵抗碰撞的情况；
③了解某市2005年内发生的交通事故；
④了解某汽车站出入人员的SARA病毒感染情况。

7。为掌握某轮渡码头今年内每天的客运量，在一周内作了详细统计如下表：
（1）求这一周平均每天的客运量．
（2）本周哪几天的客运量超过了平均客运量？

8。为了保护环境，某校环保小组成员小明收集废电池，第一天收集1号电池4节,5号电池5节，总质量为460克，第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总质量240克．
（1）求1号电池和5号电池每节各重多少克；
（2）学校环保小组为了估计四月份收集电池的总质量，他们随机抽取了该月某5天收集废电池的节数如上表,分别计算这5天两种废电池每天平均收集多少节？并由此估计4月份环保小组收集废电池的总质量是多少克?

(二)统计
1。描述数据集中趋势和平均水平特征的数
（1)平均数：
(2）加权平均数:
（3）中位数：
（4）众数：
2.描述数据波动大小（离散程度）特征的数
（1）方差：
计算公式： 。
（2）标准差： 。
计算方法是 。
（3）极差： .
二：【经典考题剖析】
1。银河公司10名销售员，去年完成的销售额情况如下表：
销售额（万元）
3
4
5
6
7
8
10
销售人数(人)
1
3
2
1
1
1
1
(1）求销售额的平均数、众数、中位数。
（2)今年公司为了调动员工的积极性，提
高销售额,准备采取超额有奖的措施，请
根据(1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少元?

2.一家饭庄所有工作人员的月收入（单位：元）情况如下：
职位
经理
领班
领位员
厨师
人数
1
2
2
2
收入（元）
4000
1200
800
1500
职位
厨师助理
服务员
洗碗工

人数
3
8
2

收入（元）
800
700
500

(1）该饭庄所有员工的平均收入
是多少？
(2）该饭庄所有员工收入的中位
数是多少?
（3）该饭庄所有员工收入的众
数是多少？
(4）你觉得用以上三个数中的哪
一个数来代表饭庄员工收入水平更恰当？说说你的理由.
(5）某天,该饭庄全体人员有一名辞职，如果其他员工月收入不变，那么全体人员的平均工资就会降低。如果知道辞职的人是厨师或厨师助理,你能确认辞职的是哪个岗位上的员工吗？

3。甲、乙两人在相同的条件下个射击10次，成绩如图所示。
分类
平均数
方差
中位数
命中9环以上
甲
7
1。2

1
乙

(1）填写下表：
（2）从四个不同的角度进行分析：
① 从平均数和方差结合（分析偏离程度)
② 从平均数和中位数结合看（分析谁的成绩好些)
③ 从平均数和命中9环以上的
次数相结合看(分析谁的成绩好些）
④从折线图上两人射击命中环数及走势看
(分析谁更有潜力）

三:【课后训练】
1.某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按5 0%20 0％、30%的比例计人学期总评成绩，9 0分以上为优秀,
甲、乙、丙三人的各项成绩如下表(单位：分）,
学期总评成绩优秀的是（ ）
A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙
2。下列说法中，错误的有（ )
①一组数据的标准差是它的差的平方；②数据8，9，10,11,1l的众数是2；③如果数据x1,x2，…，xn的平均数为，那么（x1－）＋(x2－)+…（xn－）=0；④数据0，－1，l，－2，1的中位数是l．
A．4个 B．3个 C．2个 D．l个
3.已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差=0．055，乙组数据的方差0。105，则（ ）
A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲、乙两组数据的波动大小不能比较
4.刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定,则教练需要知道刘翔这10次成绩的( )
A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数
5. 下表是一文具店6～12月份某种铅笔
销售情况统计表：
观察表中数据可知,平均数为 、中位数为 和众数为 ．
6。已知数据a，c，b，c，d，b，c，a且a＜b ＜c＜d，则这组数据的众数为________,中位数为________，平均数为__________。
7。公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下（单位：岁）
甲群:13，13,14，15，15，15，15,16，17，17；
乙群:3,4,4,5，5，6,6,6,54，57．
⑴甲群游客的平均年龄是多少？中位数、众数呢?其中能较好反映甲群游客年龄特征的是什么？
⑵乙群游客的平均年龄是多少?中位数、众数呢？其中能较好反映乙群游客年龄特征的是什么？
8.个体户王某经营一家饭馆，下面是饭馆所有工作人员在某个月份的工资：王某3000元，厨师甲450元，厨师乙 400元，杂1320元，招待甲 350元，招待乙 320元，会计410元．
⑴计算工作人员的平均工资；
⑵计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收人的一般水平?
⑶去掉王某的工资后，再计算平均工资；
⑷后一个平均工资能代表一般帮工人员的收人吗？
⑸根据以上计算，从统计的观点看，你对（3）、(4）的结果有什么看法？
次数
姓名 成绩
1
2
3
4
5
小王
60
75
100
90
75
小李
70
90
80
80
80
9。某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如表.根据右表解答下列问题：
姓名
极差
平均成绩
中位数
众数
方差
小王
40
80
75
75
190
小李

（1）完成下表：
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含 80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少?
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分)就很有可能获奖，成绩达到90分以上(含90分)就很有可能获得一等奖，那你认为应选谁参加比赛比较合适？说明理由
10.如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．
（1）请根据图中所提供的信息填写下表:

(2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙，的体能测试成绩较好．
（3）依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果好
（三）概率及应有
1.简单事件
（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这类事件称为必然事件;
（2）不可能事件：有一些事件我们事先能肯定它一定不会发生，这类事件称为不可能事件；必然事件与不可能事件都是确定的。
（3）不确定事件： .
2.概率： 。
P必然事件=1，P不可能事件=0，0＜P不确定事件＜1
3。概率的计算方法
（1）用试验估算：
（2)常用的计算方法：① ；② 。
4.频率与概率的关系:对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动,这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在;而频率是通过实验得到的,它随着实验次数的变化而变化,但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动,为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来
估计事件的概率。
二：【经典考题剖析】
1。从26张不同的英语字母卡片中随机地同时抽出三张，下列事件哪些是不可能事件，哪些是必然事件,哪些是随机事件？为什么？
(1）三张卡片可以排成“top"；（2）三张卡片可以排成“see”;（3）三张卡片可以排成“xyz”；

2.小铭和小浩在玩摸球的游戏，已知口袋中有两个红球和一个黄球，（1）如果将摸出的第一个球放回袋中，充分摇匀后再摸出第二个球，若两次摸出的球都是红球，小铭得1分，否则小浩得1分，问该游戏对双方公平吗?(2）如果是不放回地从袋中取两次球，若两次摸出的球都是红球，小铭得1分,否则小浩得1分，问该游戏对双方公平吗？

3。甲袋中有红球16个、黑球10个和白球24个,乙袋中有红球54个，黑球70个和白球32个,如果你想取出一只白球，取哪个袋子中，的球成功的机会大？请说明理由．如果你想取一个红球，取哪个袋中的球成功的机会大?如果从两袋中各取走10个白球后,此时再取一个白球，选哪个袋成功的机会大？

5.如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A上，转盘A被均
匀地分成4等份，每份分别标上1，2，3，4四个数字；转
盘B被均匀地分成6等份，每份分别标上1,2，3，4,5，
6六个数字，有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如
下：(1）同时自由转动转盘A与B；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字(如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次,直到指针指向某一数字为止）把所指的两个数字相乘,如果得到的积是偶数，那么甲胜;如果得到的积是奇数，那么乙胜(如转盘A指针指向3,转盘B指针指向5，3×5=15，按规则乙胜)．你认为这样的游戏是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由

1.某号码锁有2个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当2个拨盘上的数字组成某一个二位数字号码(即：开锁号码）时,锁才能打开．如果不知道开锁号码,问：试开一次就能把锁打开的概率是（ )
A。 B. C。 D．以上结论都不对

2.甲、乙两人一起玩转盘游戏，如图,甲先转动转盘一，若指针指向黄色部分,则甲胜．否则，由乙转动转盘二，若指针指向红色部分，则乙胜，否则甲胜，你觉得这个游戏公平吗？为什么？

3.如图若紫色、黄色、绿色区域面积分别为1、5、10，点D为线段BC中点.
有一只猫在三角形ABC内随意走动，求小猫停留在黑色区域的概率是多少?

4。两个袋中分别放有5个球，各球上分别标有l～5这五个数中的一个，这五个球除数字标号外没有任何区别，现从中各摸出1球，其数字之差的绝对值为3的概率为多少?