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关于函数值域与最值问题的求法

摘要：　　关于函数的值域与最值的求法，是高中数学教学中的一个难点，也是一个重点。在现行高中教材中没有专门安排有关内容作出介绍，但在高中数学教学中、练习、习题中，乃至高中毕业会考题中、高考题中，却处处可遇到求函数值域与最值的问题。因此，我们有必要对求函数的值域与最值的方法作出充分的归纳与认识。本文就高中数学的要求，对常见的一些方法作出下列归纳与介绍。
关键词：　　函数的值域，函数的最值，方法。
函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，归纳起来，常用的方法有：⑴配方法；⑵反函数法；⑶判别式法；⑷换元法（含式代换、三角代换等）；⑸单调性法；⑹不等式法；⑺数形结合法等。下面就这些方法逐一说明它们的运用。
⒈　配方法
利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a≠0)的函数的值域与最值。
例1、求函数 y = x2 - 6x + 2的值域。
解法一：∵　y = x2 - 6x + 2＝( x - 3)2－7
　　　　又∵( x - 3)2≥0
　　　　　∴( x - 3)2－7≥－7
　　　　∴函数的值域是［－7，＋∞）＃
这里用到了配方法求函数的值域。
解法二：二次函数y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)＝－7。
　　∴函数的值域是［－7，＋∞）＃
这里运用了二次函数的图象和性质求值域。
一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。例如，在例1中将题目改为：y = sin2x - 6sinx + 2，则函数的值域就不是［－7，＋∞）了。因为当x∈R时，sinx∈[- 1, 1]，而sinx取不到3，则函数值取不到－7。
解法一：∵　y = sin2x - 6sinx + 2
　　　　　　 ＝( sinx - 3)2 - 7　　（配方法）
　　　又∵sinx∈[- 1, 1]，
　　　　∴函数的值域是［－3，9］＃
解法二：令sinx = t，则 y = t2 - 6t + 2 t∈[ - 1, 1]
它的图象是抛物线的一段（如图）

　　　∴函数的值域是［－3，9］＃

在此方法中用到了数形结合的方法。
⒉　反函数法
由互为反函数的两个函数具有的性质，可以通过求反函数的定义域来确定已知函数的值域。
例2、求函数 y = 的值域。
解：由于函数　y =　　的映射是一一映射（证明略）故反函数存在，其反函数为y= (x≠ )
∴函数的值域为{ y | y≠ ，且y∈R}＃
说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用于形如 y = (c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法（见方法5）。

⒊　判别式法
一般地，求形如 y = 的有理分式函数的值域，可把原函数化成关于x的一元二次方程：　f(y)x2 +g(y)x+ψ(y) = 0,根据方程的判别式Δ＝g2(y) - 4f(y)ψ(y)≥0求出y的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：
⑴在Δ≥0中，应考虑“＝”能否成立；
⑵由于在变形过程中涉及到去分母，故应考虑函数的定义域是否为R；
⑶f(y)≠0，应验证f(y)＝0的情况。
否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。
例3、求函数 y = 的值域。
解：视y为参数，解关于x的方程，得
　　　(y - 2)x2 + ( y +3) x + (y - 1) = 0 ...... (＊)
∵原函数的定义域为R
　　当y≠2时，方程（＊）有解的充要条件为
　　　　Δ＝( y + 3)2 - 4( y - 2)( y - 1)≥0
解此不等式，得.
又当y=2时，x=
∴函数的值域是
⒋　换元法
当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向。换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换。
例4、求函数 y = 的最值。
解:令 = t ( t≥0)，则x= t 2 - 2 ，从而y = ≥0
当t=0，即x= -2时，ymin = 0
当t＞0时，y =（当且仅当t =时，上式等号成立）
于是当x= ()2 - 2 = －时，ymax=＃
这里用到了式代换及均值不等式的方法。
例5、求函数 y = x +的值域。
分析：注意到sin2θ+cos2θ=1，故此可令x = sinθ.
解：∵ 1 - x2≥0, ∴|x|≤1, 设x = sinθ(θ∈)，则
　　　y = sinθ+cosθ=sin(θ+)
∵
#
这里用到了三角代换。
⒌　单调性法
利用所学基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域与最值，在求函数的值域与最值中，是一种比较简捷、巧妙的方法。
例6、求函数y =的值域。
本题可用反函数法求解（见例2）。下面我们用单调性法来求解。
解：
　　　 (此方法也叫做分离系数法）
根据函数y = k/x的性质，可知上式中　y≠1/3
∴函数的值域为（－∞，1/3)∪(1/3, +∞) ＃
例7、求函数y = ( 1/3) - x　+2x +3的值域。
解：令u = - x2 +2x +3，则u∈( - ∞, 4]
　　根据指数函数y = (1/3)u的单调性可知
　　　y∈[ (1/3)4, +∞)
　　∴函数的值域为［3－4，＋∞）＃
⒍　不等式法
运用均值不等式可解决：如果n个正数的积（或和）为常数，则当且仅当这n个相等时，它们的和（或积）有最小（或最大）值。在此，由于篇幅有限，不再举例说明。可参看例4。
⒎　数形结合法
数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法。数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映。
例8、已知x+y+1=0,则 ( x - 1)2 +( y - 1)2的最小值是　　　　　。
分析：可由x+y+1=0代入 ( x - 1)2 +( y - 1)2 消去变量x或y，从而减少变量，再运用有关函数的性质必可求解。但是，想象得出，这种方法的计算量是不小的。我们注意到　( x - 1)2 +( y - 1)2可以看作直线x+y+1=0上的点(x, y)与点（1，1）间的距离，从而可以简捷求解。如图。
∴min = =

例9、若复数z满足，则|z|max= ，|z|min= 。
分析：本题如果用单纯的代数方法求解，需设z = x + yi，代入条件，用定义求解，比较繁琐，不易求得。但注意到的几何意义：复数z表示以点（－　，－　）为圆心，以1为半径的圆面（包括边界），如图。

由图观察，易知
|z|max=3, |z|min=1
参考文献：①《中学数学方法与能力培养》, 贾士代　主编
　　　②《高中总复习教学参考》天津教育出版社
　　　③《中学数学教材分析》云南教育出版社　④《中学数学教与学》93年第1期

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