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关于函数值域与最值问题的求法摘要：关于函数的值域与最值的求法，是高中数学教学中的一个难点，也是一个重点。在现行高中教材中没有专门安排有关内容作出介绍，但在高中数学教学中、练习、习题中，乃至高中毕业会考题中、高考题中，却处处可遇到求函数值域与最值的问题。因此，我们有必要对求函数的值域与最值的方法作出充分的归纳与认识。本文就高中数学的要求，对常见的一些方法作出下列归纳与介绍。关键词：函数的值域，函数的最值，方法。函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，归纳起来，常用的方法有：配方法；反函数法；判别式法；换元法（含式代换、三角代换等）；单调性法；不等式法；数形结合法等。下面就这些方法逐一说明它们的运用。配方法利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如 y = a f(x)2 + b f(x) + c (a0)的函数的值域与最值。例1、求函数 y = x2 - 6x + 2的值域。解法一：y = x2 - 6x + 2( x - 3)27又( x - 3)20( x - 3)277函数的值域是7，）这里用到了配方法求函数的值域。解法二：二次函数y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)7。函数的值域是7，）这里运用了二次函数的图象和性质求值域。一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。例如，在例1中将题目改为：y = sin2x - 6sinx + 2，则函数的值域就不是7，）了。因为当xR时，sinx- 1, 1，而sinx取不到3，则函数值取不到7。解法一：y = sin2x - 6sinx + 2 ( sinx - 3)2 - 7（配方法）又sinx- 1, 1，函数的值域是3，9解法二：令sinx = t，则 y = t2 - 6t + 2 t - 1, 1 它的图象是抛物线的一段（如图）函数的值域是3，9在此方法中用到了数形结合的方法。反函数法由互为反函数的两个函数具有的性质，可以通过求反函数的定义域来确定已知函数的值域。例2、求函数 y = 的值域。解：由于函数y =的映射是一一映射（证明略）故反函数存在，其反函数为y= (x ) 函数的值域为 y | y ，且yR说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用于形如 y = (c0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法（见方法5）。判别式法一般地，求形如 y = 的有理分式函数的值域，可把原函数化成关于x的一元二次方程：f(y)x2 +g(y)x+(y) = 0,根据方程的判别式g2(y) - 4f(y)(y)0求出y的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：在0中，应考虑“”能否成立；由于在变形过程中涉及到去分母，故应考虑函数的定义域是否为R；f(y)0，应验证f(y)0的情况。否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。例3、求函数 y = 的值域。解：视y为参数，解关于x的方程，得(y - 2)x2 + ( y +3) x + (y - 1) = 0 . () 原函数的定义域为R当y2时，方程（）有解的充要条件为( y + 3)2 - 4( y - 2)( y - 1)0解此不等式，得.又当y=2时，x= 函数的值域是换元法当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向。换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换。例4、求函数 y = 的最值。解:令 = t ( t0)，则x= t 2 - 2 ，从而y = 0当t=0，即x= -2时，ymin = 0当t0时，y =（当且仅当t =时，上式等号成立）于是当x= ()2 - 2 = 时，ymax=这里用到了式代换及均值不等式的方法。例5、求函数 y = x +的值域。分析：注意到sin2+cos2=1，故此可令x = sin.解： 1 - x20, |x|1, 设x = sin()，则y = sin+cos=sin(+) #这里用到了三角代换。单调性法利用所学基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域与最值，在求函数的值域与最值中，是一种比较简捷、巧妙的方法。例6、求函数y =的值域。本题可用反函数法求解（见例2）。下面我们用单调性法来求解。解： (此方法也叫做分离系数法）根据函数y = k/x的性质，可知上式中y1/3函数的值域为（，1/3)(1/3, +) 例7、求函数y = ( 1/3) - x+2x +3的值域。解：令u = - x2 +2x +3，则u( - , 4根据指数函数y = (1/3)u的单调性可知y (1/3)4, +)函数的值域为34，）不等式法运用均值不等式可解决：如果n个正数的积（或和）为常数，则当且仅当这n个相等时，它们的和（或积）有最小（或最大）值。在此，由于篇幅有限，不再举例说明。可参看例4。数形结合法数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法。数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映。例8、已知x+y+1=0,则 ( x - 1)2 +( y - 1)2的最小值是。分析：可由x+y+1=0代入 ( x - 1)2 +( y - 1)2 消去变量x或y，从而减少变量，再运用有关函数的性质必可求解。但是，想象得出，这种方法的计算量是不小的。我们注意到( x - 1)2 +( y - 1)2可以看作直线x+y+1=0上的点(x, y)与点（1，1）间的距离，从而可以简捷求解。如图。min = =例9、若复数z满足，则|z|max= ，|z|min= 。分析：本题如果用单纯的代数方法求解，需设z = x + yi，代入条件，用定义求解，比较繁琐，不易求得。但注意到的几何意义：复数z表示以点（，）为圆心，以1为半径的圆面（包括边界），如图。由图观察，易知|z|max=3, |z|min=1参考文献：中学数学方法与能力培养, 贾士代主编高中总复习教学参考天津教育出版社中学数学教材分析云南教育出版社中学数学教与学93年第1期第 5 页