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三角函数与解三角形
教学目标：
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,.
3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)内的单调性.
4.了解函数的物理意义；能画出的图象，了解对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换
知识梳理：
一、三角恒等变换与三角函数
1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:
(1)方程思想:, ,三者中,知一可求二;
.函数的问题:
(1)“五点法”画图:分别令、、、、，求出五个特殊点；
(2)给出的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是,一般从“五点法”中取靠近轴较近的已知点代入突破;

二、解三角形
1．正弦定理
已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．
2．余弦定理
已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝，另外两个同样．
3．面积公式
已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则
(1)三角形的面积等于底乘以高的；
(2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝(其中R为该三角形外接圆的半径)；
(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；
(4)若p＝，则三角形的面积S＝.
例题讲解：
考点一 三角函数的概念、诱导公式
例1、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝_______.
【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；
2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件.
考点二 三角函数的性质
例2、已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．

【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．
(2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间常用换元法：将ωx＋φ作为一个整体，若求单调增区间，令ωx＋φ∈(k∈Z)；若求单调减区间，则令ωx＋φ∈(k∈Z)．值得注意的是，若ω<0，则需要利用诱导公式将其转换为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再用换元法求单调区间.
考点三图像
例3、已知函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像经过点(0,1)，如图所示．

(1)求f1(x)的表达式；
(2)将函数f1(x)的图像向右平移个单位长度得到函数f2(x)的图像，求y＝f1(x)＋f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．

考点四 三角变换及求值
例4、已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.
(1)求f (0)的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝.
求sin(α＋β)的值．

考点五 正、余弦定理的应用
例5、△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0.
(1)判断△ABC的形状；
(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(－m＋n)＝14，求a，b，c.
.
考点 六 解三角形与实际应用问题
在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的方位角等问题，都可通过解三角形解决．
例6、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．

高考真题
1.函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.
（1）若，点P的坐标为（0，），则 ;
（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .

2【2012高考真题湖北理11】设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角 ．
3.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
①若；则 ②若；则
③若；则 ④若；则
⑤若；则
4.【2012高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.
5.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为，且，,则
6.【2012高考江苏11】（5分）设为锐角，若，则的值为 ．
三、解答题
7. 已知分别为三个内角的对边，
（1）求 （2）若，的面积为；求.

8. 已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.

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