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关于三角函数的几种解题技巧

本人在数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下：
一、关于的关系的推广应用：
1、由于故知道，必可推出，例如：
例1 已知。
分析：由于

其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。
解：∵
故：

如果通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（）2=1±2sincos，要进行开方运算才能求出
二、关于形如：的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：
可以从公式中得到启示：式子与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含的式子，由于-1≤≤1，
所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子：

由于。
故可设：，则，即：
∴
无论取何值，-1≤sin(A±x)≤1，
≤≤
即：≤≤
下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：
例1求：函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
分析：，再想办法把变成含的式子：
于是：

由于这里：
∴
设：
∴

无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故≤≤
∴的最大值为，即答案选A。

例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）
在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。
分析：首先，由于，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜边，所对角∠C为直角，又由于，则∠B=
90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为，且要列出有关为未知数的方程，对进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE=，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于的方程。在图中，由于EC=·cosα，则BE=BC-EC=1-·cosα。
而∠B+∠BDE+∠1=180°
∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α
∠B=60°，∠DEF=60°
∴在△BDE中，根据正弦定理：

在这里，要使有最小值，必须分母：有最大值，观察：
∴
设：，则
故：

∴的最大值为。
即：的最小值为：
而取最大值为1时，
∴
即：时，△DEF的边长最短，最短边长为。
从以上例子可知，形如适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与的最值有关；其中最大值为，最小值为。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。
以上三点是在三角函数教学中的一些心得，通过以上方法，使学生能开阔视野，拓展思路，对帮助学生以清晰思路应对，解决上述类型题有一定的作用，因此，对其进行了上述的浅论和总结。