专题三 静水压强.doc

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5、请大家注意交流，有好意见提出来，特别跟专业教育有关的哈。
6、字体宋字，正文五号，专题4号，知识点小4
专题三 静水压强

重点：掌握静水压强的特性、基本规律、单位及量测
难点：静水压强的基本规律及其理解；静水压强的量测
液体的静止状态有两种：一是液体相对地球处于静止状态，我们称之为静止状态，如水库、蓄水池中的水；二是指液体对地球有相对运动，但与容器之间没有相对运动，我们称之为相对静止状态，如作加速运动的油罐车中的油。由于静止状态液体质点间无相对运动，黏滞性表现不出来，故而内摩擦力为零，表面力只有压力。
水静力学的任务，是研究静止液体的平衡规律及其实际应用。主要内容是静止水压强的特性及其基本规律，静水压强的测算，平面壁、曲面壁静水总压力的求解方法。

知识点一 静水压强及其特性
一、静水压强的定义
静止液体对于其接触的壁面有压力作用，如水对闸门、大坝坝面、水池池壁及池底都有水压力的作用。就是在液体内部，一部分液体对相邻的另一部分液体也有压力的作用。我们把静止液体作用在与之接触的表面上的压力称之为静水压力，常以大写英文字母表示，受压面积常以字母表示。
在图1上，围绕N点取微小面积，作用在上的静水压力为，则面上单位面积所受的平均静水压力为

称为面上的平均静水压强，它只表示面上受力的平均值，只有在受力均匀的情况下，才真实反映受压面上各点的水压力状态，通常受压面上的受力是不均匀的，所以必须建立点静水压强的概念。
图1
在图1中，当无限缩小趋于N点时，即趋于0时，比值趋于某一极限值，该极值即为M点的静水压强，静水压强以小写英文表示。

静水压力的单位为牛顿（N）或千牛顿（kN），静水压强的单位为或。又称帕斯卡（Pa）。
二、静水压强的特性
静水压强有两个重要特性：
(1) 静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面。
证明：在静止液体中取出一块水体M，如图2所示。
图2
假如其所受静水压强的方向是任意方向，则可以分解成法向力和切向力。由液体的性质知：静止液体不能承受剪切力，也不能承受拉力，的存在必然会使A点的液体油墨N—N面运动，这与静水的前提不符，故只能为0。同理，如不是指向受压面，则液体将受到拉力，静止状态也要受到破坏，也与静水的前提不符，所以静水压强的方向只能垂直并指向受压面。
(2) 静水中任何一点上各个方向的静水压强大小均相等，或者说其大小与任凭面的方位无关。
证明：在处于相对平衡的液体中取一个微小的四面体OABC来研究，见图3。
图3
四面体的三个边OA、OB、OC是相互垂直的，令它们分别与OX、OY、OZ轴重合，长度各为、、。作用于四面体的4个表面OBC、OAC、OAB及ABC上的平均静水压强为、、和，四面体所受的质量力仅重力。以dA代表的面积，由于液体处于静止状态，所以四面体在3个坐标方向上所受外力的合力应等于0，即

当、、向O点缩小而趋近于0时，、、和变为作用于同一点O而方向不同的静水压力，此时属第三阶段无限小值，它相对于前两项可以略去不计，且由于

由以上证明可知 (3-1)
即静水中任何一点各个方向的静水压强大小均相等，与作用面的方位无关。静水压强的第二个特性也表明，静水中各点压强的大小仅是空间坐标的函数，或者说仅随空间位置的变化而改变，即
(3-2)

知识点二 静水压强的基本规律
一、静水压强的基本方程
（1）、静水中任意两点间压强公式
如图4，我们通过力学分析的方法探讨静水压强的变化规律。在所受质量力仅有重力作用的静止液体中，我们研究于水面下铅直线上任意两点1、2处压强和间的关系。围绕1、2两点分别取微小面积，取以为底面积、为高铅直小圆柱水体为脱离体，因是微小面积，故可以认为其上各特点的压强是相等的，如图4(a)所示，图中，为水表面压强；分别为1、2两点的水深；G为小水柱的重量（重力）。
图4
从脱离体受力分析知，铅直方向共受3个力：
圆柱上表面的静水压力
圆柱下表面的静水压力
小水柱体的重力
因是静止水体，铅直方向合力必为O，取向上方向为正，列力的平衡方程，得

等式两端同除以，可得
任意两点静水压强的基本关系式为
（3-3）
上式表明，在（质量力）仅有重力作用的静水中，任意两点的静水压强关系为：下面一点的压强等于上面一点的压强加上水容重与两点之间的水深差的乘积；或者是上面一点的压强等于下面一点的压强减去水容 重与两点之间的水深差的乘积（特殊情况下，如两点位于同一水平面，，则）。显然，水深越大，压强越大。水深每增加1m，静水压强就增大。
（2）、静水中任意一点压强公式
如把铅直小圆柱向上移至上表面于水面上，如图4（b）所示，,则式（3-3）可写成
　　　 （3-4）
这是常用的静水压强基本方程式，它表明：（质量力）仅有重力作用下的静水中任一点的静水压强，等于水面压强加上液体的容重与该点水深的乘积。
特别指出的是，当液体表面的压强（大气压）时，为简化计算，式（3-4）中的按零计，即，只计算液体产生的压强。则静水压强方程式可写为
(3-5)
式(3-5)表明静水中任一点的压强与该点在水下淹没的深长成线性关系。
（3）、静水压强第二表达式
我们也可以采用物理学中取基准面0—0的方法，来表示静水中任一点所处的位置。静水中任一点距0—0基准面的高度，称为该点的位置高度。则式(2-3)中，见图4(a)，可得

即 (3-6)
式(3-6)是静水压强分布规律的另一表达形式。它表明在静水液体中，位置高度与压强的关系，即位置高度愈小，静水压强愈大；位置高度愈大，静水压强愈小。
二、静水压强第二表达式的意义
（1）、静水压强方程式的几何意义
在图5的容器中，任取两点1点和2点，并在该高度边壁上开小孔并外接垂直向上的开口玻璃管，通称测压管，可看到各测压管均有水柱升起，测压管中的水面必升至与容器中的水面处于同一水平面。
图5
因液体面上为大气压，故容器内1、2两点的静水压强分别为

因此，测压管中水面上升的高度

水力学中，通常称为位置高度（或位置水头），为测压管高度（或压强水头）。为测压管水头。
显然，图5中当0—0基准面确定后，水表面到0—0基准面的距离是不。因变的此式(3-6)的几何意义在于：静止液体内任何一点的测压管水头等于常数（质量力仅受重力作用）即
(3-7)
C值的大小，取决于基准面的选取，基准面选定，C值即确定。
式(3-7)也表明了连通器原理：均质、连通的静止液体中，水平面必是等压面，即时，必然。
（2）、静水压强方程式的物理意义
物理学中，质量为的物体在高度为的位置，具有的位置势能为。同理，质量为的液体在距0—0基准面高度为的位置上，也具有位置势能(图5)。在研究液体时常取单位重量的液体作为研究对象，则单位重量的液体在某点所具有的位置势能简称单位位能：。
液体除具有位置势能外，其压力也具有做功的本领，称为压力势能，如图5。质量为的液体在1点所受的静水压强为，在的作用下，液体在测压管内上升高度为，压力势能转化为高度为的位置势力。所以，其压力势能为，单位重量液体在某点具有的压力势能简称为单位压能，即。
单位重量的液体在某点所具有的总势能，简称单位势能。
同理，2点的单位势能为。
任何一点的单位势能为。
由式(3-6)可知 (3-8)
所以静水压强方程式的物理意义为：静止液体内任何一点对同一基准面的单位势能为一常数。这反映了静止液体内部的能量守恒定律。
静水压强基本方程则反映了帕斯卡定律，它表明：在静止液体中，表面的气体压强，可不变大小地传递到液体中的任何一点。油压千斤顶、万吨水压机等很多机械设备，就是根据这一定律制作的。
例题1 求水库中水深5m、10m处的水深的静水压强。
解：因水库表面压强为大气压强，故
水深5m处
水深10m处
例题2 有水、水银两种液体，求深度各为1m处的液体压强。已知液面为大气压作用，且。
解：

例3 图6中，画出AB面BC面B点的压强方向。
解：B点是平面AB和平面BC转折处的一点，又称拐点，对AB平面上B点的压强通过B点，垂直于AB平面；BC面上B点压强通过B点，垂直指向BC平面，且。
图6

知识点三 绝对压强、相对压强、真空压强及真空高度
地球表面大气所产生的压强称为大气压强，试验测定为1.033 6kgf/cm2，用国际单位制表示为101.3kN/m2，称为一个标准大气压，以atm表示。在水力学计算及工程中，为计算方便，一般取1.0kgf/cm2，即大气压为98kN/m2，为工程大气压，以表示。因为自然界中一切水力设施都受到大气压的作用，例如闸门的上、下游面，同时受一个大气压作用，所以为简化水力计算，两侧都可以不计入大气压，即视=0，而只计算液体压强。
一、绝对压强
计算大气压强时，因起算基准的不同，可表示为绝对压强与相对压强。以没有空气的绝对真空为零基准计算出的压强，称绝对压强。也就是说，在水力计算中要计入大气压，即在计算中碰到大气压就按=98kN/m2计算。绝对压强用符号表示。
二、相对压强
以大气压作为零基准计算出的压强，称相对压强。也就是说，在水力计算中不计入大气压，按=0计算。若不加特殊说明，静水压强即指相对压强，直接以表示。
对同一点压强，用计算和用计算虽然其计算结果数值不同，但却表示的是同一个压强，压强本身的大小并没有发生变化，只是计算的零基准发生变化。用计算比用计算少加了一个大气压。
显然，二者关系为
(3-9)
例题4 求水库水深为1m处A点压强。
解：基本方程
相对压强计算不计入大气压，即==0，
绝对压强计算则计入大气压，即==98kpa，
同是A点压强，没有计入大气的压力，因此使计算简化。
三、真空压强及真空高度
绝对压强值总是正的，而相对压强值则可正可负。当液体某处绝对压强小于当地大气压强时，该处相对压强为负值，称为负压，或者说该处存在着真空。
先从试验来认识真空现象。在水池里插入两端开口玻璃管，管内外液面必在同一水平面上；再把玻璃管一端装上橡皮球，并将球内气体排出，再放入液体中，管内的液面就会上升而高于容器内的液面。管内液面下B点与管外水面处于同一水平面，为等压面即，由静压方程可得

即 （3-10）
式中——大气压。如按绝对压强计算，得

表明小于大气压，我们把绝对压强小于大气压的那部分压强，称真空压强，有表示，也称真空值，即
（3-11）
式（3-10）如按相对压强计算，则

表明相对压强出现了负值，或称负压。当相对压强出现负压时，负压的绝对值称为真空压强，即
（） （3-12）
真空值也可以有所相当的液体斑岩度来表示，称真空高度：
(3-13)
图7表明了绝对压强、相对压强和真空值之间的关系。
图7
例题2-5 A点相对压强为24.5kpa，B点相对压强为-24.5kpa，求、和。
解：根据
得

知识点四 静水压强的单位及量测
一、压强的单位
(1)用一般的应力单位表示，即从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示，如Pa（帕）、kPa（千帕）。
(2)用大气压强的倍数表示，即大气压强作为衡量压强大小的尺度。工程上为便于计算，常用工程大气压来衡量压强。一个工程大气压=98kPa。
(3)用液柱高表示。由于
h= (3-14)
上式说明：任一点的静水压强p可化为任何一种重度为γ的液柱高度h，因此也常用液柱高度作为压强的单位。例如一个工程大气压，如用水柱高表示，则为
h===10m(水柱)
如用水银柱表示，则因水银的重度取为γH=133230Pa/m，故有=
h===0.7356m(水银柱)
例题6 A点压强为24.5kpa，B点压强为2.5m水柱高，各用另两类单位表示。
解：A点为大气压 水柱
B点为大气压
二、压强的量测
测量液体、气体压强的仪器较多，这里介绍一些利用水静力学原理设计的液体测压计。
（1）测压管
最简单的测压管就是图8中所示的一端开口的玻璃管，管中液体柱高度就反映了所测点的相对压强为测压管内液面上升的垂直高度，为管内液体的容重。图8
如果测点压强较小，为提高测量精度，可以加大标尺读数的方法。将测压管倾斜放置。
此时用于计算压强的测压管高度点的相对压强为

也可以用较小的轻质液体，以便获得较大的测压管高度。
（2）U形水银测压计
当测点压强较大时，可利用值较大的U形水银测压计，用表示水银的容重。
如图9。
求被测点点的压强，过程如下：第一步先找出U形管中的等压面1—1，第二步对等压面列静水压强方程，第三步解方程求得。由静压方程得

(按相对压强计算)
因
则
（3）压差计（比压计）
为测输水管道上两断面的压强差，可在两断面之间连接压差计。压差计一般并不直接测出任意两点间压强的大小，而直接找出两点间压差。压差小时用空气差计，如图10；压差大时用水银压差计，如图11。一般空气压差计管内的气压，计算中认为空气中各点都相等。压差的求解仍是先找等压面，再列静水压强基本方程。
图10
图10为一空气比压计，顶端连通，上装开关，可使顶部空气压强p0大于或小于大气压强pa。当水管内液体不流动时，比压计两管内的液面齐平。如有流动，比压计两管液面即出现高差，读取这一高差Δh，并结合其他数据：如zA和zB，即可求出A、B两点的压差和测管水头差。
忽略空气柱重量所产生的压强(20℃标准大气压下空气的重度为11.82N/m3，只是水的，故一般可不考虑空气柱重量压强)，则顶部空气内的压强可看作是一样的。即两管液面上的压强均为p0，故有：
pA=p0+γh1, pB=p0+γh2
所以 pA-pB=γ(h1-h2)

图11
又图11中的等压面1—1，由静压方程得

因 得
（4）金属压力表
除了液体测压计外，在工农业生产、生活中的各种给排水设施上，常装有各种类型的金属压力表，测量液体的压强，其中使用较多的一种是管环式压力表（又称弹簧管式压力表）。该表因装卸方便，读数直观，所以应用较普遍。在锅炉房、泵站、自来水公司等各种输水管道上常可见到。其构造见图2-11，
图12主要有弹簧管、指针、连杆、表盘、机座等几部分组成。其弹簧管是由椭圆形横剖面的铜管或钢管制成，并弯曲成具有弹性的环状管，管的一端固定且与被测量的液体相连，管的另一端为封闭的自由端，通过连杆、传动系统与表指针相连。当大于大气压的液体进入弹簧管后，由于环管具有弹性，其自由端受压而发生变形向外伸张，带动指针转动，在表盘的刻度上指示压力读数；当进入弹簧管的压力液体为负压时，原理一样，只是作用方向相反，弹簧管变形向内收缩，表针指示真空值读数。
压力表盘上标有压强单位和精度等级，如普通压力表2.5级，表示该表的测值与实际值的误差不超出实际值的±2.5%。
另有弹簧式压力表、隔膜式压力表、风箱式压力表，原理与此相同，不再介绍。一般说来，金属压力表精度不高，灵敏度偏低，需定期率定才可使用。须指出，金属压力表所指示的压强读数，都是相对压强。
例题7
利用u型测压计量测容器中液体某点A点的压强，只要测出和A点相连支管中的水银面和A点的高差a，两管之间的液面差h，即可求出A点的压强。如图2-12所示，h=20cm，a=25cm，=10cm，求A点压强、液面压强。如h=0,其他数据不变，、又是多少？真空度和真空高度是多少？
图13
解：取等压面1-2，知，
根据静压方程，
则。得，
又
则，
当h=0，当其他数据不变时，

A点和液面都出现负压，当相对压强出现负压时，其绝对值就是真空值。则
真空值
则真空高度

本专题小结
习题