第一章作业参考解答.pdf

1.1 试画出正弦序列16sin()5n的波形，它是不是一个周期序列？若是，其周期长度是多少？解-10-8-6-4-20246810-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81nx 显然，周期 N=5 另解：根据定义求解，假设该序列为周期序列，周期为 N，则有：1616sin()sin()55nnN=+又根据 1616sin()sin(2)55nnk=+所以 若存在 N，k 满足1625Nk=，则该序列为周期性的。162/()5/85Nkk=显然，当 k=8 时，N=5，该序列的最小周期为 5。1.3 试画出如下序列的波形。(1)()3(3)2(1)4(1)2(2)x nnnnn=+(2)5()0.5()nx nR n=解：（1）-4-3-2-101234-4-3-2-10123nx（2）-10123456700.10.20.30.40.50.60.70.80.91nx 1.4 今对三个正弦信号1()cos(2)axtt=，2()cos(6)axtt=，3()cos(10)axtt=进行理想采样，采样频率为8s=，求这三个采样输出序列，比较其结果。画出1()axt、2()axt、3()axt的波形及采样点位置并解释频谱混叠现象。解：-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-101txa1xa1(t)=cos(2*pi*t)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-101txa2xa2(t)=-cos(6*pi*t)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-101txa3xa3(t)=cos(10*pi*t)图 1 连续信号-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-101txa1xa1(t)=cos(2*pi*t)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-101txa2xa2(t)=-cos(6*pi*t)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-101txa3xa3(t)=cos(10*pi*t)图 2 对连续信号进行采样-4-3-2-101234-101nxa1xa1(t)=cos(2*pi*t)以 角 频 率 8pi rad/s 采 样 后 的 序 列-4-3-2-101234-101nxa2xa2(t)=-cos(6*pi*t)以 角 频 率 8pi rad/s 采 样 后 的 序 列-4-3-2-101234-101nxa3xa3(t)=cos(10*pi*t)以 角 频 率 8pi rad/s 采 样 后 的 序 列 图 3 采样后得到的序列-60-40-200204060-200204060omegaXa1(omega)xa1(t)=cos(2*pi*t)以 8pi rad/s采 样 后 序 列 的 幅 频 响 应-60-40-2002040600204060omegaXa1(omega)xa1(t)=cos(2*pi*t)的 幅 频 响 应 图 4 连续信号 xa1(t)及采样后信号的幅频响应-40-30-20-100102030400510omegaXa3(omega)xa3(t)=cos(10*pi*t)的 幅 频 响 应-40-30-20-100102030400510omegaXa3(omega)xa3(t)=cos(10*pi*t)以 8*pi rad/s 频 率 采 样 后 序 列 的 幅 频 响 应 图 5 连续信号 xa3(t)及采样后信号的幅频响应 对连续信号进行采样，设采样频率为s，则采样后的信号对应的频谱会以s为周期进行周期延拓，当原连续信号最高频率小于/2s，则通过带宽为/2s的理想低通滤波器就能把原信号恢复出来。如图 4，原连续信号 xa1(t)的角频率为 2rad/s，采样频率为 8rad/s=4*（2），大于原连续信号频率的 2 倍，观察采样后的频谱可发现，通过带宽 4rad/s 的低通滤波器就能恢复原信号。而当原信号最高频率大于/2s时，在采样频率中，各调制频率会互相交叠起来，这就是频谱混叠现象。如图 5，原连续信号 xa1(t)的角频率为10rad/s，采样频率为 8rad/s=4*（2），为原连续信号频率的 4/5，小于原信号最高频率的 2 倍，这时采样后的信号则发生了频谱的混叠现象。1.5 一个采样周期为 T 的采样器，开关导通时间为，0T，若采样器的输入信号为()ax t，求采样器的输出信号?()()()paxtx t p t=的频谱结构。式中，1,0()(),()0,ntp tr tnTr t=其他 解：这题为实际采样模型 由于()p t为周期函数，故仍可展成傅里叶级数 ()sjmtmmp ta e=其中：/2/20sin()112()2ssssTjmtjmtjmmTsmap t edtedtemTTT=?/2/2()/2()()()sin()2()()2sin()2()()2sin()2()()2()2sssssj tpasjmjmtj tasmsjmjmtasmsjmassmsXjx t p t edtmx teeedtmTmex t edtmTmeXjjmmTmSaT =/2)()sjmasmeXjjm=1.6 令 x(n)和()jX e表示一个序列及其 DTFT，并且 x(n)为实因果序列，利用()jX e求下面各序列的 DTFT。(1)()kx n,k为任意常数 解：n=-n=-DTFT()=()()()j nj njkx nkx n ekx n ekX e=(3)()(2)g nxn=解：()DTFTg(n)jG e=n=-n=-=()(2)j nj ng n exn e=2mn=令 /2/2/2m=-,m=-/2/2/2(/2)m=-m=-/2/21()()()(1)()211()()()()221()()2jj mj mmj mmj mj mj mj mjmjjG ex m ex m ex m ex m eex m ex m ex m eX eX e+=+=+=+=+为偶数注：该题反映了对原序列 2 倍抽取后的频谱变化。(4)(),()20nxng nn=为偶数，为奇数 解：()DTFTg(n)jG e=22n=-n=-,m=-,=()()()()2j nj njmjnng n exex m eX e=为偶数 注：该题反映了对原序列 2 倍内插后的频谱变化。1.7 求以下序列的 z 变换、收敛域及零极点分布图（1）0()nn 解：000n=-()()nnnnnn zz=ROC：若00n,则0|z，在 z=0 处存在极点；若00n=，则0|z，无零极点（2）0.5()nu n 解：n=-0.5()0.5()nnnu nu n z=1n=010.51 0.5nnzz=，0.5|z 零极点图如图所示，在 z=0 处有个零点，极点在 z=0.5。-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part （4）0.5 ()(10)nu nu n 解：101091n=-n=01 0.50.5 ()(10)0.5 ()(10)0.51 0.5nnnnnzu nu nu nu nzzz=ROC：0|z 零极点图如图所示，该序列的 z 变换在 z=0 处有 9 重极点，在 z=0.5 处出现 1 个极点。半径为 0.5 的圆周上有 10 个零点，在 z=0.5 处零极点相互抵消。-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.819Real PartImaginary Part 1.10 求以下函数的逆 z 变换。(1)111(1)(1 2)zz,1|2z 解：部分分式法 X(z)=1111112(1)(1 2)(1)(1 2)zzzz=+()()2 2(1)nx nu nun=+1()2(1)nu nun+=1.13 下列系统中，y(n)表示输出，x(n)表示输入，试确定系统是否是线性系统？是否是时不变系统？(1)()2()5y nx n=+解：y(n)=Tx(n)Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+bx2(n)+5=2ax1(n)+2bx2(n)+5 aTx1(n)+bTx2(n)=a2x1(n)+5+b2x1(n)+5=2ax1(n)+2bx2(n)+5a+5b 所以，Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)则，该系统为非线性。Tx(n-n0)=2x(n-n0)+5 y(n-n0)=2x(n-n0)+5 所以，y(n-n0)=Tx(n-n0)则，该系统是时不变的。（2）2()()y nxn=解：2()()()y nT x nxn=2222212121212()()()()()()2()()T ax nbx nax nbx na xnb xnabx n x n+=+=+221212()()()()aT x nbT x naxnbxn+=+1212()()()()T ax nbx naT x nbT x n+所以，该系统为非线性。200()()T x nnxnn=200()()y nnxnn=所以，00()()y nnT x nn=则，该系统是时不变的。（5）()()y nnx n=解：()()()y nT x nnx n=121212()()()()()()T ax nbx nn ax nbx nanx nbnx n+=+=+1212()()()()aT x nbT x nanx nbnx n+=+所以，1212()()()()T ax nbx naT x nbT x n+=+则，该系统为线性系统 00()()T x nnnx nn=000()()()y nnnn x nn=00()()y nnT x nn 则，该系统为时变系统 1.14 试用直接计算法求下面两个序列的线性卷积12()()()y nx nx n=，并画出卷积过程图。（1）1()()2(2)(4)x nnnn=+2()2(1)(3)x nnn=+解：-2-101234-1012nx1x1-2-10123400.511.52nx2x2-4-202468-2-101234nyy （2）1()0.5()nx nu n=，25()()x nR n=解：-2-10123456700.51nx1x1-2-10123456700.51nx2x2-4-20246810121400.20.40.60.811.21.41.61.82nyy 1.16 确定下列系统的因果性与稳定性(1)()()()y ng n x n=，()g n有界 解：任取某一时刻 n,则输出()()()y ng n x n=，可见系统的输出只取决于此刻的输入，与其他时刻的输入无关，所以该系统是因果的。由于()g n有界，所以()g nM（M 为一个有限的正数）。()()()()y ng nx nM x n=，因而系统是稳定的。(3)0()()y nx nn=解：如果 n0,y(n)取决于0()x nn,则系统是因果的；否则 y(n)取决于0()x nn+，系统是非因果的。已知 x(n)有界，则0()x nn也是有界的，所以该系统是稳定的。(4)()0.5()nh nu n=解：因为()0,0h nn=，所以该系统为因果的。因为01()0.5()0.521 0.5nnnnnh nu n=有界，所以该系统是稳定的。（6）()2()nNh nRn=解：因为()0,0h nn=fs/f=a/b 2（采样定律）(a/b 为有理分数）=T/Ts=a/b 2 则：采样后离散时间信号周期为 N=(2pi*Ts/T)*N=2pi*k (k 为任意整数）=(Ts/T)*N=k(k 为任意整数)=N=k*(T/Ts)=k*（a/b）2k T？3、DTFT：当 x(n)为实序列时，X(ej)的幅值|X(ej)|在 02区间内是偶对称函数，相位 argX(ej)是奇对称函数。（图示）证明：一个 2N 点实数序列 hn的频谱具有关于纵轴（w0）幅度呈偶对称、相位呈奇对称的特点，而且是以 2为周期的频谱。证明：()()()cos()()sin()jj nnnnH eh n eh nj njh nj n=R(w)j X(w)，n02N1 R(w)=R(w)，偶对称；X(w)X(w)，奇对称。因为 hn是实的，cos（wn）与 sin（wn）都是 2的周期，其线性组合还是同周期的。