福建省南安一中高三数学上学期期末试题-文-新人教A版.doc

南安一中2012-2013年度高三上学期期末考试
数学科试卷
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本试卷考试内容为：集合、函数、不等式、三角、向量、数列、立体几何、解释几何。分第I卷（选择题）和第II卷，共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。
第I卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题四个选项中只有一项符合要求）
1．复数=( )
A. B. C. D.
2．已知A＝｛｝，B＝｛｝，则A∪B＝（ ）
A．[0, 1] B．(2, ＋∞) C．[0, 2] D．
3．若直线与直线垂直，则的值是（ 　　）
A.或 B.或 C.或 D.或1
4．在中，若,，，则的面积为 （ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为（　 　）
A． B． C． D．
6．等比数列的各项均为正数，且，则（　 　）
A. B. C. D.
7．设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )
A．6 B. 4 C. 8 D. 12
8.已知直线丄平面，直线平面，则“”是“”的 （ ）
A．充要条件 B.必要条件 C.充分条件 D.既不充分又不必要条件
9.要得到函数的图象，只需将函数的图象 ( )
A．左移个单位 B．右移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位
10．已知当椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等比时称椭圆为“黄金椭圆”，请用类比的性质定义“黄金双曲线”，并求“黄金双曲线”的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
11.将直线绕着其与轴的交点逆时针旋转得到直线m，则m与圆截得弦长为 （ ）
A. B. C. D.
12． 对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”．现有四个函数：①； ②，
③ ④．其中存在“稳定区间”的函数有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
第II卷（非选择题，共90分）
二．填空题（本大题共4小题，共16分。）
13. 如图所示一个空间几何体的三视图(单位)则该几何体的
体积为 _______
14．已知m>0,n>0,向量，且，则的最小值是
15．点是不等式组表示的平面区域内一动点，定点是坐标原点，则的取值范围是 。
16．如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位.依此规律,则第个几何体的表面积是__________个平方单位.
16题图

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三．解答题（本大题共6小题，共74分。）
17. （本小题满分12分）
在数列中，为常数，，且成公比不等
于1的等比数列.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求数列的前项和

A
B
C
D
E
F
18．（本小题满分12分）在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1
（Ⅰ）求证：DC∥平面ABE；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求证：平面AFD⊥平面AFE．

19. （本小题满分12分）已知函数．
(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．

20．（本小题满分12分）椭圆：的左、右焦点分别为，焦距为2，，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过的直线l交椭圆于两点．并判断是否存在直线l使得的夹角为钝角，若存在，求出l的斜率k的取值范围。

21．（本小题满分12分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第个月的当月利润率，例如：．
(Ⅰ)求； （Ⅱ）求第个月的当月利润率；
（Ⅲ）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

22（本小题满分14分）已知函数处取得极值2。
(Ⅰ)求函数的表达式；
（Ⅱ）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？
（Ⅲ）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点P，求直线的斜率的取值范围

南安一中2012-2013年度高三上学期期末文科数学试卷答案
一．选择题
CDB ABB ACC DDB
二．填空题
13. 14． 15. 16．
三．解答题
17.解：（Ⅰ）∵为常数，∴. ………………2分
∴.
又成等比数列，∴，解得或.…4分
当时，不合题意，舍去. ∴. …………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，. ………………………………………………6分
∴ …………9分
∴
…………………………………………12分A
B
C
D
E
F

18．解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC
∴DC//EB，
又∵DC平面ABE，EB平面ABE，
∴DC∥平面ABE………………………………………………（4分）
(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AF，
又∵AF⊥BC，DC交BC于C
∴AF⊥平面BCDE……………………………………………………（8分）
(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE，
∴AF⊥EF，在直角梯形BCDE中，计算DF=,EF=,DE=
在三角形DEF中DF⊥EF，AF⊥EF，DF交AF于F
∴EF⊥平面AFD，又EF平面AFE，
∴平面AFD⊥平面AFE．…………………………………………（12分）
19．解：(Ⅰ)
……………………………………3分
∴ 的最小值为，最小正周期为. ………………………………5分
（Ⅱ）∵ ， 即
∵ ，，∴ ，∴ ． ……7分
∵ 共线，∴ ．
由正弦定理 ， 得 ①…………………………………9分
∵ ，由余弦定理，得， ②……………………10分
解方程组①②，得． …………………………………………12分
20．解：(Ⅰ)依题意 2分
解得，∴椭圆的方程为： 4分
（注：也可以由，椭圆定义求得）
（Ⅱ）（i）当过直线的斜率不存在时，点，；则；5分
(ii)当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
设, 由 得：
7分

10分
当的夹角为钝角时，<0， 11分
情形（i）不满足<0， 12分
21．解: (Ⅰ)由题意得
∴． ………………………2分
（2）当时，
∴． ----------4分
当时，

7分
∴当第个月的当月利润率为
……………………………8分
（Ⅲ）当时，是减函数，此时的最大值为 9分
当时，
当且仅当时，即时，，又，
∴当时， ……………………………………11分
答：该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为 …12分
22．解：(Ⅰ)因为 ·················2分
而函数在处取得极值2，
所以， 即 解得
所以即为所求 ····················4分
（Ⅱ）由（1）知
令得：
则的增减性如下表：

（-∞，-1）
（-1，1）
（1，+∞）

负
正
负

可知，的单调增区间是[-1，1]， ·········6分
所以
所以当时，函数在区间上单调递增。 ·········9分
（Ⅲ）由条件知，过的图象上一点P的切线的斜率为：
11分
令，则，
此时，的图象性质知：
当时，；
当时，
所以，直线的斜率的取值范围是 ··············14分

9