北京市西城区2012届高三数学第二次模拟试题-理-(2012西城二模)北师大版.doc

北京市西城区2012年高三二模试卷
数 学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合，，其中．若，则的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①； ②；
③； ④．
则输出函数的序号为（ ）
（A）① （B）②
（C）③ （D）④

3．椭圆 是参数的离心率是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

4．已知向量，，其中．则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分又不必要条件

5．右图是，两组各名同学体重（单位：）
数据的茎叶图．设，两组数据的平均数依次
为和，标准差依次为和，那么（ ）
（注：标准差，其中为的平均数）
（A），
（B），
（C），
（D），

6．已知函数，其中实数随机选自区间．对，的概率是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

7．某大楼共有层，有人在第层上了电梯，他们分别要去第至第层，每层人．因
特殊原因，电梯只允许停次，只可使人如愿到达，其余人都要步行到达所去的楼层．假设这位乘客的初始“不满意度”均为，乘客每向下步行层的“不满意度”增量为，每向上步行层的“不满意度”增量为，人的“不满意度”之和记为，则的最小值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

8．对数列，如果及，使
成立，其中，则称为阶递归数列．给出下列三个结论：
① 若是等比数列，则为阶递归数列；
② 若是等差数列，则为阶递归数列；
③ 若数列的通项公式为，则为阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9．在△中，，，，则 _____．

10．已知复数满足，则_____．

11．如图，△是⊙的内接三角形，是⊙的切
线，交于点，交⊙于点．若，
，，，则_____；
_____．

12．已知函数是上的偶函数，则实数_____；不等式 的解集为_____．

13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图
是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，该几何体
的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面
上，则球的表面积是_____．

14．曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出
下列三个结论：
① 曲线关于轴对称；
② 若点在曲线上，则；
③ 若点在曲线上，则.
其中，所有正确结论的序号是____________．

三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．

16．（本小题满分14分）
如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．

17．（本小题满分13分）
甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

18．（本小题满分13分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）若，求直线的斜率；
（Ⅱ）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．

19．（本小题满分14分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．

20．（本小题满分13分）
若或，则称为和的一个位排列．对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至．
对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作．例如，则， ．
若，则称为最佳排列．
（Ⅰ）写出所有的最佳排列；
（Ⅱ）证明：不存在最佳排列；
（Ⅲ）若某个是正整数为最佳排列，求排列中的个数．

北京市西城区2012年高三二模试卷
数学（理科）参考答案及评分标准
2012.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D； 2．D； 3．B； 4．A； 5．C； 6．C； 7．C； 8．D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．； 10．； 11．，；
12．， 13．，； 14．① ② ③．
注：11、12、13第一问2分，第二问3分；14题少填不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：． ………………5分
（Ⅱ）解： ………………7分
………………8分
． ………………9分
因为 ，所以 ， ………………10分
所以当 ，即 时，取得最大值． ………………11分
所以 ， 等价于 ．
故当 ，时，的取值范围是． ………………13分

16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：取中点，连结，．
因为，所以． ………………1分
因为四边形为直角梯形，，，
所以四边形为正方形，所以． ……………2分
所以平面． ………………3分
所以 ． ………………4分
（Ⅱ）解：因为平面平面，且 ，
所以平面，所以．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． …………5分
因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以．
所以 ，平面的一个法向量为． ………………7分
设直线与平面所成的角为，
所以 ，
即直线与平面所成角的正弦值为． ………………9分
（Ⅲ）解：存在点，且时，有// 平面． ………………10分
证明如下：由 ，，所以．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得． ………………12分
因为 ，且平面，所以 // 平面．
即点满足时，有// 平面． ………………14分

17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为，则的可能取值为．………………1分
； ；
； ． ………………5分
乙得分的分布列如下：

………………6分
． ………………7分
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.
则 ， ………………10分
． ………………11分
故甲乙两人至少有一人入选的概率． ……13分

18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，设直线方程为． ………………1分
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得． …………3分
设，，所以 ，． ① ………………4分
因为 ，
所以 ． ② ………………5分
联立①和②，消去，得． ………6分
所以直线的斜率是． ………………7分
（Ⅱ）解：由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，
所以四边形的面积等于． ……………… 9分
因为 ………………10分
， ………………12分
所以 时，四边形的面积最小，最小值是． ………………13分

19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：当时，，． ………………2分
由 ， 得曲线在原点处的切线方程是．…………3分
（Ⅱ）解：． ………………4分
① 当时，．
所以在单调递增，在单调递减． ………………5分
当，．
② 当时，令，得，，与的情况如下：

↘

↗

↘

故的单调减区间是，；单调增区间是． ………7分
③ 当时，与的情况如下：

↗

↘

↗

所以的单调增区间是，；单调减区间是
………………9分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 时不合题意． ………………10分
当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．
设为的零点，易知，且．从而时，；时，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
………………12分
当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
综上，的取值范围是． ………………14分

20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：最佳排列为，，，，，． ………………3分
（Ⅱ）证明：设，则，
因为 ，
所以，，，，之中有个，个．
按的顺序研究数码变化，由上述分析可知有次数码不发生改变，有次数码发生了改变．
但是经过奇数次数码改变不能回到自身，
所以不存在，使得，
从而不存在最佳排列． ………………7分
（Ⅲ）解：由或，得
，
，
……
，
．
因为 ，
所以 与每个有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不
同，因此有
，
，
……，
，
．
以上各式求和得， ． ………………10分
另一方面，还可以这样求和：设中有个，个，则．
………………11分
所以 解得或
所以排列中的个数是或． ………………13分

12
用心 爱心 专心