圆在物理解题中的应用.pdf

习 置 研 究 中 教学参考 圆在 物理解题 中的应 用 王金 聚(浙江省温州中学 3 2 5 0 0 0)物理学中经常会涉及用圆的相关知 识求解 的问 题，可 以说 物理 与 圆有 着 不 解 之 缘 本 文 拟通 过 一 些 具体的实例，阐明圆在求解物理问题 中的巧妙应用 一、等 时 圆 何谓等时圆?我们先来看下面的例题：例 I 如图 1所示，a d、b d、c d是 竖直 面 内三 根 固 定 的光滑 细杆，、6、c、d位 于 同 一 圆周上，a点为圆周的最高点，d点 为最 低点 每根 杆 上都 套 着一 个 光 滑小 滑 环(图中未 画 出)，三个 滑 环 分别从 口、b、C处释 放(初 速度 为 O)，用 t 、t 2、t。依次表示各滑环到 达 d所用 的 时间，则()A t 1 2 t 2 t 3 C t 3 t 1 t 2 D f 1 一 t 2 一 t 3 图 1 C 第4 O 卷第6 期 2 0 1 1 年6 月 解析选任一小滑环 为研究对象，分析其受力，如图 2所示，设 圆的直径为 D，细 杆 与 水平 方 向 的夹 角 为，由牛 顿 第二定律得 mgs i n 一 优 应 连接 口、C，则 C=9 0。，所 以细 杆 的长度 z Ds i n 设下 滑 时间 为 t，则 z=丢 ，由以上 三式 得 图 2 C i。丽 可见，滑环下滑时间与细杆 的倾角大小无关，正 确选项为 D 由例 1我们可以得出下面的结论：解析 图 A所示 的是 点电荷 产生的电场，根据 立体几何知识 可知，a、b两点关于正方体 中心对称，产生的电场强度恰好抵消，因此 n、b两点电场方向不 同但电势相同；图 B中 b 点相当于丽异种点电荷的中 垂面上 的点，即 也 可 以看 成 中垂 线 上 的 点，而 a点 距 正 电荷 比较 近，故 两 点 电势 肯定 不 同；图 C 中 a、b两 点也相 当于两点 电荷 中垂线上 的点，场强和电势均是 相同的；而图 D中仅仅根据合场强的方向即可判断是 错误的 所 以，在正方体 中，a，b两点电场强度和电势 均相 同 的是选项 C 选项 C正确 点评本题是正方体中的静电场分布情况，主要考 查的是对立体几何 中的中垂面和中垂线 的基本分析 四、求 中垂 面 上粒 子受 力 问题 例 4 如图 5所示，n、b为两个距离恒 为L、带等 量 正 电荷 q的点 电荷，过 两 电 荷连线的中点 O作此线段的 垂 直平分 面，在 此 平 面上 有 一 个 以 0为、半径 为 的 E-ma i l：p h y c f e 2 1 1 6 3 c o r n 图 5 圆周，圆 周 上 有 一个 质 量 为 m、电荷 量 为 一q的 点 电 荷 C做匀速圆周运动，求点电荷 C 的速率 解析 根据题 意知，电荷 C受力分析 如图 6所 到 0 点 的 距 离 R一 L，所 以三角 形 a b c 是 等边 三角 形，a、b对 c的作 用 力 F。一F。一 晖，合 力 =2 F c。s 3 0。一 7 图 6 志 善，由 牛 第 二 定 律 得 F 台 一 妥，即 是 一 惫 所 以|k 一 4 。点评本题 以带 电粒子做匀速圆周运动的物理 情景为例，以立体几何知识 中的线面垂直为知识背景 设问，构思巧妙，值得借鉴 6、，一、。Vo 1 4 0 NO 6 J u n 2 01 l 中 jb 圣 参考 结论 1 物 体 沿 着位 于 同一 竖 直 圆上 的 不 同光 滑 弦 由静 止 下滑，滑至 圆周 最低 点的 用 时都相 等 所示 明方 的最 C 下滑，滑至 圆周 上各 点 的用 时都 团 相 等 上述 结论 中所 涉及 的竖 直 圆称 之为“等时 圆”将 上述 两个 结论 应 用 于解 题，往 往 能 避 繁 就 简、出奇 制 胜 请 看下 面例 题：例 2如 图 4所 示，在 同 一 竖 直 线 上 有 A、B 两 点，相距 h，B点离地高度 为 H 现 要 在 地 面 上 找 到 一点 C，从 A、B 两 点 分 别 向 C 点 安 放 两 光 滑 直 木 板，使 得 物 体 沿 两 滑 板 由 静止下滑 的时间相等，求 C 点到 0点 的距 离 图4 解析 由结论 1可 知，题 中的 A、B、C三 点 应 处 在 同一竖 直 圆周 上，且 C点 是 圆周 的最 低 点，AC、BC 是 该 圆 的两条 弦 画 出AB C 的外接 圆，圆与地 面相 切于 c点，过 0 点作o D上AB，由几何关系可得 圆的 半 径为 R=H+h 在矩 形 O C O D 和直 角三 角形 0 DB 中，可得 一 一 二 一 二、相交 圆 当把一个 已知矢量分解 为两个大小一定而方 向 未知 的矢量 时，我们 可 以通过 画 圆 的方 法确 定 两个 分 矢 量 的具体 方 向 例 3 如 图 5所 示，有 一 水平 向右 的力 F一7 N，现 将它 分解 为大 小分 别 为 F 一3 N、F 一5 N 的两 个 分 力，试 通 过 作 图 法 确 定 这 两 个 分力 的方 向 解 析 以线段 的长 短来 表 0 F 图 5 示力的大小，选取合适 的标度，作出力 F的图示，分别 以矢量 F的箭头、箭尾为圆心，以分力 F 、F。的大小 为半 径 画 圆 如 图 6所 示，两 圆相 交 于 M、N 点，则 O M、MF就 是力 F 的一 组 分 力 F 、F。，O N、NF就是 力 F 的 另一组 分力 F 、F 习 蠢 研 究 图 6 图 7 需要注意的是，千万别以为力 F的分解只有上述 两种情况 实际上，力 F的分解方式有无 限种 在图 6 中，我们 只 需把 图 中的 0MF 以 0 F 边 为轴 旋转，如 图 7所示，转 动 成 两 个 同底 同轴 的 圆锥 面，则 两 锥 面 上任 一相 连 的母线 0 M、MF都 能 表 示力 F 的两 个 分 力，所 以说力 F 的分解 方式 有无 限种 三、相切 圆 我们 知道，带 电粒 子可 以在 匀强 磁 场 中做 匀速 圆 周 运 动 当带 电粒 子 垂 直 穿 越 两 相 邻 的、方 向相 反 的 匀强磁场区域时，其旋转的方 向会发生变化，在两磁 场 中所 形成 的两 个 轨迹 圆相外 切，切 点 与两 轨迹 圆所 对应 的圆 心 在 同 一 条 直 线 上，两 圆心 位 于 切 点 的 两 侧 利用这“三点一线”的关系，往往能顺 利解 决粒 子 穿越 反 向磁 场 的问题 例 4(2 0 0 7 年 全 国 高考 理 综 卷)两平 面荧 光 屏 互相 垂 直 放 置，在 两 屏 内 分别取 垂 直 于两 屏 交 线 的 直线 为 轴 和 Y 轴，交 点 0为 原点，如 图 8所 示，在 0、0 0、z 口区域 有 一：0 0 图 8 垂 直于 纸 面向外 的匀 强磁 场，两 区域 内 的匀强 磁 场 大 小均为 B 在 0点处有一小孔，一束质量为 m、带电量 为 q(q 0)的粒子 沿 z轴经 t J,L 射人 磁 场，最 后 打在 竖直 和水 平 的屏 上，使 荧 光 屏 发 亮 入 射 粒 子 的速 度 可取从零到某一最大值之间的各种数值 已知速度最 大 的粒子 在 O(x(a区域 中运动 的 时间与在 n的 区域 中运 动 的时 间 之 比为 2：5，在磁 场 中 运 动 的 总，7 时间 为 T，其 中 T为该 粒 子在磁 感应 强度 为 B 的匀 1 厶 强 磁场 中做 圆周运 动 的周期 试求 两 个荧 光 屏上 亮 线 的范 围(不计 重 力 的影 响)解 析该题 的难 点 是 如 何 确 定 速 度 最 大 的 带 电 粒 子做 圆周 运 动时 圆心 的位 置 粒 子在 磁 感 应 强 度 为 B 的 匀 强 磁 场 中运 动 半 径 为 翡 E-ma il：p h y c f e 2 1 s in a c o r n 。翻完 下火 不 醐脘 姒轿 蚶栅 舭 物 闱 静 图况 2 由 习 怎 研 究 中 jb 理 参考 u 速度小的粒子将在 xa区域走完半周，射到竖 直荧光屏上 半圆的直径在 轴上，半径范 围从 0到 口，竖 直屏 上发 亮范 围从 0到 2 n 轨道 半径 大于 a的粒 子 将 进 入右 侧 磁 场，考 虑 r 一。的临界情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与 轴在 D 点相 切(如 图 9所示 中 的虚线 圆)，O D=2 a，D点 是 水平 屏 上 发 亮 范 围 的 左 边 界 速 度最 大粒 子 的 轨 迹如 图 9中 实 线 所 示，如何确 定 这 一 临 界 状 态 下 粒 子 打 在 屏 上 的 位 图 9 置?找 到粒 子的轨 迹 圆心是 关键 它 的轨迹 由两 段 圆 弧组成，即两 圆相切于 M 点，根据相切圆的特点，两 相切圆的圆心与切点必在 同一直线上 由此 可知，两 段圆弧的圆心必在过 M 点的直线上，设圆心分别为 C和 C ，又 由于左边 圆弧 的 圆 心在 轴 上，两 圆弧 半 径相 等，由对称 性可 知 C 在 一2 a直线 上 设 t。为 粒 子 在 0 za在 区域 中的运动 时 间，由题 意 可知 一孝 _，+z 一 T，一 ，1 十 2 一 ，个 解 得 一 言，z 一 T 由上述所 得结 果和对 称性 可得 OCM=6 0。，M C N 一 6 0。，M C P 一 1 5 0。，所 以 NC P一1 5 0。一6 0。一9 0。，即NP为圆周 因此，圆心C 必在z轴上 设 速度 最大值 粒子 的轨 迹 半径 为 R，由直 角 三角 形C O C，可 得2 R s i n 6 0。一 2 口，则R 一 半 日 由 图可知 O P一2 a+R，因 此 水 平 荧 光 屏 发 亮 范 围的右边界坐标为 厅 一 2(1+)口 0 四、参考 圆 我们知道，做匀速圆周运动的物体在其直径方 向 上 的投影所 做 的运 动是 简 谐 运 动 既然 如 此，我 们 不 妨把它倒过来看：任何的简谐运动都必然有一个匀速 圆周运动与之相对应 因此，当我们研究简谐 运动的 问题遇到困难时，不妨转换一下 思路，去探究 它所对 E-ma i l：p h y c f e Z 1 1 6 3 c o r n 第4 O 卷第6 期 2 0 1 1 年6 月 应 的那 个匀 速 圆周运 动 的情况 例 5 一水平方向做简谐运 动的弹簧振子，振幅 为 A，周期为 T，平衡位置 4望 一 ，为 O，如 图 1 0所 示，求 质 点从：=：处 沿 z轴负 方 向运 动 到。一 一 A 处 所 用 时 间(这 一 过 程 中速 度 的方 向没有改 变)图1 O 解析我们先作 出该 振动所对应的参考圆 如图 1 O所示，与简谐运动所对 应的参考圆的圆心为 0，以振 幅 A为半径，作 o0 当振 子从 一百A运 动 到。：一 百A 的 同时，其对应 的 圆周 运 动的质 点也 从 M 沿 圆弧运 动 到 了 M 点，设 转 过的圆心角为，质点从 z 到 z 所用时间等于对应 质点 沿 圆弧从 M 到 M 点所 用 的 时 间，设 此 段 时 间 为 由参 考 圆可得 CO S l一署 一 专，一 6 0。，CO S z一署 一 一 寺 一 1 2 0。，0=0 2-0 l 一 1 2 0。一 6 0。一 6 0。由于质点做匀速圆周运动的角速度保持不变，则 一 有 些 同学会 想 当然地 这 么推 导：简谐 运 动 的质 点 在一个周期 T内走过的路程为 4倍 的振 幅，即 4 A，则 在的时间走过的路程应为一个振幅A 题 目中质点 从 运动到一 处的路程刚好等于一个振幅，所 以它 所用的时间也应该为 这显然是错误的，因为简谐 运 动 的质 点做 非 匀 变 速 运 动，并 非 匀 速，所 以路 程 与 所用的时间当然也不会是简单的正比关系 五、区域 圆 利用磁场可以调整带电粒子的运动方 向，适当调 控磁场的区域范围，可以让带电粒子按照我们的要求 加以偏转 有的题 目要求我们确定的是 圆形磁场区域 的大小 例 6(1 9 9 4年全 国高考物理卷)一质量为 的 带电质点，电量为 q，以平行于 O x轴的速度 从 轴 上的口点射人图 1 1中第一象 限所示 的区域，为了使 VO1 40 N0 6 J un 20l 1 中 三 jb 学参考 该 质点 能从 z轴上 的 b点 以垂直 于 O x轴 的 速度 射 出，可在适 当的地方加一个垂直于 x Oy平面、磁感应 强 度 为 B 的 匀 强 磁 场，若 此 磁 场 仅 分 布 在 一 个 圆形 区域 内，试求 这 个 圆 形 磁场 区域 的最 小半 径，重 力忽 略不 计 解 析 设 带 电 质 点 在 洛伦 兹 力 作 用 下 的 轨 道半 径为 尺，则 图 1 1 q B 一 丢 由 题 意 知，质 点 在 磁 场 区 域 中 的 轨 道 为 丢 圆 周，该段 圆弧两 端应 分别 与入 射速 度 方 向、出射 速度 方 向 相切 过 a点作平行于x轴的直线，过 b点做平行于y 轴 的直线，则 与这 两 条直 线 相距均 为 R 的点 0 就 是 轨 道 圆 的 圆 心，如 图 1 2所 示 显 然，M、N 两 点既 是轨 道 圆上 的点，也 是 圆形 磁 场 区 域 边 界 上 的点，所 以，M N 是 磁 场 图1 2 圆 的一 条 弦 在 以 M N 为 弦 的所 有 圆 中以 MN 为 直 径的圆最小 由几何关系得，最小圆的半径为 r一寺 丽一 一 尺 一 等 一 所求 磁场 区域 为 图 中的虚线 所 围 的区域 六、同心 圆 在光的折射现象中，如果已知入射光线 的方 向和 两种介质的折射率，我们可 以用几何作图法，借 助画 同心圆来作 出折射光线的方向 当光线 由介质射人空 气 中时，入射 角增大到一 定程度就会发 生全 反射现 象，对 于发 生全 反 射 现 象 的 临 界 角 的 大 小，类 似 地 可 以用 画 同心 圆 的办法 求得 1 利 用 同心 圆求作折 射 光线 例 7如 图 1 3所示，一 束光 由真 空射 向折 射率 为 的某种介 质，入 射 点 为 0，试 用、圆规、刻度尺、三角板等工具，作 ：出折 射光 线 的方 向 u；解析 作 图法作 折射光 线 图1 3 的步 骤如 下：(1)以入射点为圆心，以 1和介质 的折射率 为 半径 做两 个 圆oP 和oQ，如 图 1 4所示；习 爱 研 究(2)延 长入 射光线，与(三)P交 于点 D，过 D 点做 界 面直线的垂线(或法线的平行线)，交oQ于 c点；(3)连 接 O C 即 为 折 射 光线 上述 作 图法 的证 明：由图 1 4中 的几 何 关 系 可 知入射角 i 等于 ODE，折射 角 r 等 于 O C E 在 直 角 0 ED 和 直 角 0 E C中，可得 图 1 4 s i n LODE=面O E=O E，(OD=1)，s i n OCE-OE一 OE，(0c)，所 以 s i n OE，n s i n r OE，s i n i n s i n r 即 一，符合 折射定律，所作 O C线 是折射 S1 n r 光 线 2 利 用 同心 圆作 全反 射 的 临界 角 如图 1 5所 示，一 折 射 率 为 n的 介 质，介 面 为 A A，其 上 为 真 空，当光 线 由 介质 内射 向介 面 AA 时，它 发 生全反 射 现象 的临 界 角怎 样用 几何 作 图法作 出 呢?方法：(1)作 出 过。点 的 法 线 0 N；(2)以 0为 圆心，分别 以 1 和 为半径作两个同心圆oM 和(三)Q；(3)过 介 面 与 内圆 的 交 点 P 作 介 面 AA 的 垂 线 交 外 圆于 D 点；(4)连接 D 0，则 DoN 就是我们所要求作的临 界 角 C 证 明：在 图 1 5中，由直 角三 角形 O DP 可 以得到 nD 1 s i n oDP一 一二，而 OD_ P一 DON，Uu f I 1 所 以，s i n DON=，即 DO N 为临 界角 C 7f 应用数学工具解决物理问题 的能力是高考重点 考 查 的解 题能 力 之 一 从 以 上几 例 不 难 看 出，圆 在 物 理解题 中起着相 当重要的作用，恰 当地使用可以起到 事半功倍的效果，而且有的问题若不借 助于圆的话，解起来相当复杂 因此，在 日常的教学活动中，我们要 注意灵活运用数学知识来解决物理 问题，多角度、全 方 位地 锻炼 学生 运用 数学 工具 解决 物理 问题 的能 力 E ma l t：p h y c fe 2 s in a c o m