高斯平面直角坐标系.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.9,高斯平面直角坐标,正形投影的一般条件,高斯投影的要求,高斯投影的方法,高斯投影的正反算,平面子午线收敛角,方向改化,距离改化,1,1,正形投影的一般条件,本质：正形投影中长度比与方向无关,P,3,2,上式中,q,为等量纬度，计算公式为,引入等量纬度后，使相同的,dq,与,dl,所对应的椭球面上的弧长相同。,也就是,dq,与,dl,看成是相互独立的变量,3,引入等量纬度后，投影公式为：,求微分，得：,其中：,l,=,L-L,0,代入,4,则，长度比公式为：,令,5,上面是长度比公式,我们再来看方向,它是用方位角表示的,本质是它与方向无关,也就是与方位角无关,6,要使长度比与方向无关，只有：,F=0,E=G,，,椭球面到正形投影平面的柯西,_,黎曼条件,(Kauchi-Rimann,方程,),，,满足该方程的函数,可写成复变函数关系：,7,则长度比公式简化为,:,其反函数也是复变函数，可以写成：,正形投影平面到椭球面的一般条件,(,自己下去推导,),8,柯西,_,黎曼条件的几何意义,AB?,AC?,AB?,BB?,CC?,AC?,同样推出柯西,_,黎曼条件，同时得到,子午线收敛角公式,9,2,高斯投影的要求,1,等角投影（正形投影）。,好处：,角度观测元素不变；,微小范围内形状相似，,m,只与点位有关,2,长度和面积变形小，可以用简单的公式计算变形改正数,3,投影后可以按带计算,4,带间互相换算方便,10,3.,高斯投影的方法,与一条子午线相切,椭圆柱中心通过椭球体中心,中央子午线两侧各一定经差范围,柱面展开成平面,11,我国采用,6,、,3,度带。中央子午线与带号的关系,6,度带,0,度开始，自西向东编号,3,度带,6,度带基础上形成,高斯平面直角坐标以中央子午线为纵坐标轴，赤道为横坐标轴,Y,通用坐标,=,带号,+500Km+y,自然坐标,12,3.,高斯投影的正反算,P,坐标,(B,l),PC,中央子午线,C,坐标,(B,0,0),PP,1,平行圈,P,1,坐标,(B,0),X,为赤道至纬度,B,的子午线长,P(x,y),C(x,0),P,1,坐标,(X,0),13,椭球面归算到高斯投影面的内容,1.,检核正反算,2.,大地方位角计算,3.,椭球面上三角形内角归算到高斯投影面上由直线组成的三角形内角,;,方向改化实现,4.,距离改化,总之工作包括,:,坐标、曲率改正、距离改正、子午线收敛角、,换带计算,14,高斯投影正算,(,待定系数法,),1.,中央子午线投影后为直线；,得出对称关系,2.,中央子午线投影后长度不变；,3.,投影具有正形投影的性质,即正形投影条件,按,l,展开级数,其中,m,i,是,B,的函数,对,l,和,q,求导,15,代入柯西条件,同次项相等,16,关键在于,根据,2.,中央子午线投影后长度不变；得到,x,为投影前赤道到,该点的子午线长；即,17,其各阶导数为：,18,得到高斯投影正算公式如下：,19,为便于编程计算，可将正算公式改写成如下形式：,20,高斯投影反算,(,待定系数法,),1.X,坐标轴投影后成中央子午线,是投影的对称轴,2.X,坐标轴上的长度投影保持不变,3.,正形投影条件,其中,n,i,是,x,的函数,对于反算公式,21,关键在于,根据,2.X,坐标轴上的长度投影保持不变,;,即,22,其各阶导数为：,23,得到高斯投影反算公式如下：,24,为便于编程计算，可将正算公式改写成如下形式：,25,高斯投影正反算公式的几何解释,B,X,26,x,X,B,f,27,高斯投影特点：,中央子午线为直线，,x,轴,赤道为直线，,y,轴,中央子午线和赤道交点，原点,L,不变，,B,；,x,，,y,其他子午线均向中央子午线弯曲，向两极收敛,B,不变，,l,；,x,，,y,纬圈投影与子午线投影互相垂直，凹向两极,距中央子午线愈远，投影后弯曲愈厉害，长度变形愈大,大地线形状,28,球面三角形的内角和大于度（也就是弧度制的,）。,假如这个球面三角形内角和（弧度制）与,之差是,，那么这个球面三角形的面积 就等于,。如果是单位球面，也就是，那么这个测地三 角形的面积就等于,。换句话说，在单位球面上，任意测地三角形内 角和与,之差正好等于其面积。四边形同样成立。,勒让德定理：,对于较小的球面三角形，可用平面三角公式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去三分之一的球面角超，而边长保持不变。,A,B,C,a,b,c,29,得出：大地线形状是弯向纵轴的,高斯投影曲线的形状是向,x,轴弯曲，并向两极收敛。,30,作业,已知某点的坐标：,B=30,30,L,=114,20,计算：1).该点的3 带和6 带带号；,2).该点的3 带高斯投影坐标并反,算检核,（按,1975,国际椭球）,；,31,5,平面子午线收敛角和长度比,5.1,平面子午线收敛角的计算公式,平行圈,子午线,沿平行圈纬度不变，求微分得：,32,5.1,平面子午线收敛角的计算公式,对高斯投影公式求偏导数，得：,33,5.1,平面子午线收敛角的计算公式,代入上式，得：,将,展开成,tg,的级数，得：,34,5.1,平面子午线收敛角的计算公式,由此可见，,是经差的奇函数，在,x,轴为对称轴，东侧为正，西侧为负。,子午线收敛角在赤道为,0,，在两极等于经差,l,，,其余点上均小于,经差,l,。,35,5.1,平面子午线收敛角的计算公式,子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式。,平行圈,L,=,常数,L+dl,=,常数,P,点沿,y,轴变化微分长度到,P,点，子午线收敛角可表示为：,沿,y,坐标的微分，得：,36,5.1,平面子午线收敛角的计算公式,代入子午线收敛角公式，得：,由高斯投影反算公式求出偏导数，得：,37,5.1,平面子午线收敛角的计算公式,代入上式子午线收敛角计算公式，得：,将,展开成,tg,的级数，得：,38,5.2,长度比计算公式,由高斯投影长度比的定义式，得：,将前面正算公式,4-367,的偏导数代入上式，得：,开方根得用大地坐标表示的长度比公式如下：,39,5.2,长度比计算公式,为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式，反解高斯投影的,y,坐标正算公式，得：,对上式求平方和四次方，得：,40,幂级数回求公式,41,5.2,长度比计算公式,代入用大地坐标表示的长度比公式，得：,顾及：,代入上式，得：,可见，长度比是,y,坐标的偶函数，且只与,y,坐标有关。,长度比大于,1,对某一条子午线，赤道处变形最大,42,6,距离改化,椭球面上的大地线,dS,投影到高斯平面上后成为弧线,ds,，而在平面上两点间只能用直线,D,相连，两线的微分线段间的差异极小，可表示为：,其中：,43,顾及投影后弧线与直线间的夹角最大不超过,1,，则有：,目前，最高的距离测量精度约为,10,-8,，弧线与直线的长度差异完全可以忽略，因此：,用辛卜生公式数值积分得：,44,将长度比公式,代入上式，得：,45,距离改化,S,可表示为：,其中：,若距离的两端点离中央子午线都不超过,45,公里，则距离改化公式可进一步简化为：,46,7,高斯投影方向改化,保角投影前后角度相同，即：,47,7,高斯投影方向改化,将球面角超计算公式代入上式，得：,考虑到方向值是顺时针方向增加的，考虑其正负号后，方向改化公式可表示如下：,上式具有,0.1,的计算精度，适用于三、四等控制网的方向改化计算。,48,高斯投影的换带计算,利用高斯投影的正反算公式，可以进行不同投影带坐标的换带计算。其计算步骤如下：,1.,根据高斯投影坐标,x,y,，,反算得纬度,B,和经度差,l,；,2.,由中央子午线的经度,L,0,求得经度,L=L,0,+,l,；,3.,根据换带后新的中央子午线经度,L,0,，,计算相应的经差：,4.由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标,x,，,y,。,49,4.11 UTM,和高斯投影簇,4.11,墨卡托投影,墨卡托投影为等角割椭圆柱投影，椭圆柱与椭球面相割于,B,0,的两条纬线，投影后不变形。,50,简称,为,UTM,，与高斯投影相比，仅仅是中央子午线的尺度比为,0.9996,，其投影公式如下：,51,长度比和子午线收敛角计算公式。,通用横轴墨卡托投影的反算步骤：,1.,先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标；,2.,再利用高斯投影反算公式，计算大地纬度和经度。,52,通用横轴墨卡托投影与高斯投影的比较,53,高斯投影簇,高斯投影的优点很多，但最主要的,缺点,是长度变形比较大，特别是纬度愈低，变形愈大。,高斯投影簇保留了高斯投影的优点，缩小了变形。,不同的条件,是：,中央经线上的长度比,原理：,和高斯投影一样推导公式，只是在求系数时，乘上,m,0,这个中央经线上的长度比。即中央子午线长不再保持不,变。,取不同的,q,和,K,，有不同的正形投影的方案。,54,补充：局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球,局部区域中采用地方独立坐标系，其,高斯坐标以往并非由经纬度求得的,，而是直接将边长投影到平均高程面（投影面）,再选定过测区中心附近的坐标纵轴，计算高斯投影边长和方向改正，并由起始点坐标、起始方位角来平差计算各控制点坐标。,55,局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球,地方独立坐标系的参数：,1.,投影面一般采用区域的平均高程面；,2.,投影的中央子午线一般采用过位于区域中心附近的子午线，或采用经度为整分或整度的子午线。,3.,原点的坐标一般加上某个整数，使整个区域中的坐标不出现负值，也有些城市如上海，其加常数为,0,。,56,