高等数学中的两个重要极限.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,第5讲 两个重要极限,1,.,两个重要的极限,2,.,预备知识,1.,有关三角函数的知识,2.,有关对数函数的知识,以,e,为底的指数函数,y,=e,x,的反函数,y,=log,e,x,，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为,y,=ln,x,.,数,e,是一个无理数，它的前八位数是：,e=2.718 281 8,3,.,3.,有关指数运算的知识,4.,无穷小量,定义,在某个变化过程中，以,0,为极限的变量称为在这个变化过程中的,无穷小量,，常用字母,性质,无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量,.,4,.,5.,极限的运算法则,5,.,X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .,0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,X,1,0.5,0.1,0.01,0.001 .,0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,第一个重要极限,6,.,O,x,B,A,C,D,证,7,.,解,这个结果可以作为公式使用,例,1,求,8,.,例,2,注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：,9,.,练习,1.,求下列极限,:,10,.,11,.,例,3,解,例,4,解,12,.,思考题,13,.,练习,3,：下列等式正确的是（）,练习,4,：下列等式,不,正确的是,（）,14,.,练习,5.,下列极限计算正确的是（）,练习,6.,已知,当（）时，,为无穷小量,.,15,.,，当,时，,为无穷小量,练习,7.,已知,练习,8.,练习,9.,16,.,X,-10 -100 -1000 -10000 -100000 ,2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828,X,10 100 1000 10000 100000 ,2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827,第二个重要极限,17,.,18,.,19,.,解,因为,所以，有,例,1,20,.,例,2,解,方法一,令,u,=,-,x,，,因为,x,0,时,u,0,，,所以,21,.,方法二,掌握熟练后可不设新变量,22,.,例,3,解,23,.,练习,1.,解,24,.,练习,2.,解,25,.,练习,3.,解,26,.,两个重要极限,:,小结,27,.,练 习 题,28,.,29,.,思考题,解,因为,所以令,u,=,x,-,3,，,当,x,时,u,，,因此,30,.,附录,两个重要极限的证明,31,.,O,x,R,A,B,C,证,AOB,面积,扇形,AOB,面积,AOC,面积,即,例,两个重要极限的证明,32,.,因为,所以再次运用定理,6,即可得,33,.,重要极限,1,其中的两个等号只在,x,=0,时成立,.,证,设圆心角 过点,A,作圆的切线与,OB,的延长线交于点,C,，又作,则,sin,x,=,BD,，,tan,x=AC,，,34,.,35,.,这就证明了不等式,(7).,从而有,36,.,37,.,重要极限,2,证,38,.,39,.,这是重要极限,2,常用的另一种形式,.,40,.,分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。,极限综合练习题,(,一,),41,.,42,.,例,3,求下列极限：,43,.,解：当,x,从,0,的左侧趋于,0,时，,当,x,从,0,的右侧趋于,0,时,44,.,例,5,求下列极限,分析,：,本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的 极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。,寻找致零因式常用的方法为：,若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；,若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。,45,.,解：（,1,）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。,46,.,求解。又当,x0,时，,ax0,，,bx0,，于是有,47,.,分析：,当,x0,时，分子，分母的极限均为,0,，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第,1,个重要极限。,48,.,49,.,解法,2,：,50,.,分析,：,当,x0,时，分式中分子分母的极限均为,0,，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第,1,个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。,51,.,解：因当,x,时，,sinx,的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到,52,.,53,.,解,1.,求极限,:,极限综合练习题,(,二,),54,.,解,:,利用第一重要极限和函数的连续性计算，即,2.,求下列极限：,55,.,解,:,对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即,3.,求下列极限：,56,.,分析,：,此极限属于时有理分式的极限问题，且,m=n,，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以,x,15,来计算。,解：分子分母同除以,x,15,，有,57,.,=2 2+1=5,解,5.,求,58,.,解,6.,求极限,59,.,解：容易算出分式分子的最高次项是 ，分式分母的最高次项是 ，所以,7.,求极限,60,.,8,.,求极限,61,.,9.,设函数,问：（,1,）当,a,为何值时，,f(x),在,x=0,右连续；,（,2,）,a,b,为何值时，,f(x),在,x=0,处有极限存在；,（,3,）当,a,b,为何值时，,f(x),在,x=0,处连续。,处右连续。,在,时，,。故当,，从而,，,，又,右连续，须有,在,要使,解：,0,),(,1,1,sin,0,lim,),0,(,),0,(,),(,0,lim,0,),(,),1,(,=,=,=,=,=,=,=,+,+,x,x,f,a,a,a,x,x,x,a,f,f,x,f,x,x,x,f,62,.,根据,f(x)x=0,处极限存在的充分必要条件：,即,a=1,故当,a=b=1,时，,f(x),在,x=0,处连续,63,.,解,:,利用第二重要极限,计算，即,10.,求下列极限,64,.,