高等数学中的两个重要极限.pptx

v预备知识预备知识1.有关三角函数的知识有关三角函数的知识2.有关对数函数的知识有关对数函数的知识 以以e为为底底的的指指数数函函数数y=ex的的反反函函数数 y=logex，叫叫做做自自然然对对数数，在在工工程程技技术术中中经经常常被被运运用用，常常简简记为记为 y=ln x.数数 e 是一个无理数，它的前八位数是：是一个无理数，它的前八位数是：e=2.718 281 8 3.有关指数运算的知识有关指数运算的知识4.无穷小量无穷小量定义定义 在某个变化过程中，以在某个变化过程中，以0 0为极限的变量为极限的变量称为在这个变化过程中的称为在这个变化过程中的无穷小量无穷小量，常用字母，常用字母性质性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.5.极限的运算法则极限的运算法则X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998v第一个重要极限第一个重要极限OxBACD证证解解这个结果可以作为公式使用这个结果可以作为公式使用例例 1求求例例 2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：练习练习1.求下列极限求下列极限:例例 3解解例例 4解解思考题思考题练习练习3 3：下列等式正确的是（：下列等式正确的是（）练习练习4 4：下列等式：下列等式不不正确的是正确的是（）练习练习5.下列极限计算正确的是（下列极限计算正确的是（）练习练习6.已知已知当（当（）时，）时，为无穷小量为无穷小量.，当，当 时，时，为无穷小量为无穷小量 练习练习7.已知已知练习练习8.练习练习9.X -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828 X 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827v第二个重要极限第二个重要极限解解因为因为所以，有所以，有例例 1例例 2 解解方法一方法一令令 u=-x，因为因为 x 0 时时 u 0，所以所以方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变量例例3解解练习练习1.1.解解练习练习2.解解练习练习3.3.解解两个重要极限两个重要极限:v小结小结练练 习习 题题思考题思考题解解因为因为所以令所以令 u=x -3，当当 x 时时 u ，因此因此两个重要极限的证明两个重要极限的证明OxRABC证证 AOB 面积面积 扇形扇形AOB 面积面积 AOC 面积面积,即即例例两个重要极限的证明因为因为 所所以以再再次次运用定理运用定理 6 即可得即可得重要极限1 其中的两个等号只在x=0时成立.证设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作则sin x=BD，tan x=AC，这就证明了不等式(7).从而有重要极限2证这是重要极限2常用的另一种形式.分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。直接利用极限的运算法则求解。极限综合练习题极限综合练习题(一一)例例3 求下列极限：求下列极限：解：解：当当x从从0的左侧趋于的左侧趋于0时，时，当当x从从0的右侧趋于的右侧趋于0时时,例例5 求下列极限求下列极限分析分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的分子、分母的 极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为：寻找致零因式常用的方法为：若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：般采用：“十字相乘法十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；、公式法、或提取公因式法）；若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。解：（解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。求解。又当x0时，ax0，bx0，于是有分析：分析：当当x0时，分子，分母的极限均为时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以以 ，然后看是否可利用第，然后看是否可利用第1个重要极限。个重要极限。解法2：分分析析：当当 x0时时，分分式式中中分分子子分分母母的的极极限限均均为为0，不不能能直直接接使使用用极极限限的的运运算算法法则则，但但前前面面所所介介绍绍“分分解解因因式式”、“有有理理化化”的的方方法法在在此此又又不不适适用用。能能否否利利用用第第1个个重重要要极极限限呢呢？这这就就需需要要首首先先利利用用三三角角恒等式对函数进行适当的变形。恒等式对函数进行适当的变形。解：因当解：因当x时，时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到求解，考虑到 解1.求极限求极限:极限综合练习题极限综合练习题(二二)解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 2.求下列极限：求下列极限：解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即3.求下列极限：求下列极限：分析分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。来计算。解：分子分母同除以解：分子分母同除以x15，有，有=2 2+1=5 解5.求解6.求极限 解：容易算出分式分子的最高次项是 ，分式分母的最高次项是 ，所以7.求极限8.求极限9.设函数设函数问：（问：（1）当）当a为何值时，为何值时，f(x)在在x=0右连续；右连续；（2）a,b为何值时，为何值时，f(x)在在x=0处有极限存在；处有极限存在；（3）当）当a,b为何值时，为何值时，f(x)在在x=0处连续。处连续。处右连续。在时，。故当，从而，又右连续，须有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(=+xxfaaaxxxaffxfxxxf根据根据f(x)x=0处极限存在的充分必要条件：处极限存在的充分必要条件：即即a=1,故当故当a=b=1时，时，f(x)在在x=0处连续处连续解:利用第二重要极限计算，即 10.求下列极限求下列极限