北京市高三数学10月第四次考试试题-理-北师大版.doc

北京十一学校2013届高三练习（理科数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项.
1.设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2. 已知向量，满足|| = 8，|| = 6， ·= ，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知函数的图象如图所示，则等于( )
A． B．
C． D．

4. 在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，
则等于 （ ）
A．256 B．510 C．512 D． 1024
5. “”是“对任意的正数，不等式成立”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 设是函数的零点．若，则的值满足（ ）
A． B． C． D．的符号不确定
7.已知函数，其图象上两点的横坐标，满足,
且,则有 ( )
A． B．
C． D．的大小不确定
8.设集合，在上定义运算：，其中为被4除的余数，，则使关系式成立的有序数对的组数为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9. 若复数）是纯虚数，则实数的值为_______
10. 求值：
11.在中，，，，则____ ； __ ．
12. 在中，已知 ，，则=____；若，则=__ _．
13.已知函数若方程有解，则实数的取值范围是 __ _．
14.设函数的定义域为，其中．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则在区间上的最大值与最小值的和为__ _．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数．
（1）求的值；
（2）设，，，求的值．
16. （本小题满分13分）
已知向量，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）设，求的单调减区间；
（Ⅲ）函数经过平移后所得的图象对应的函数是否能成为奇函数？如果是，说出平移方案；如果否，说明理由.

17. （本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）若函数在点x=1处的切线与直线垂直，且，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若在区间 上为单调减函数，求的取值范围.

18. （本小题满分13分）
在中，角的对边分别为,且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.

19. （本小题满分14分）
设函数
（Ⅰ）若在定义域内存在，而使得不等式能成立，求实数的最小值；
（Ⅱ）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围

20. （本小题满分14分）
已知函数（且）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.
试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

北京市十一学校2012-2013学年度高三练习
数学测试题答案（理工类） 2012-10-06
一、选择题：
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
D
B
B
C
A
C
C
A
二、填空题：
题号
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
答案
-1

；
；或

或
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：(1);
(2)，，又，，
，，
又，，
. ……………13分

（16）（本小题满分13分）
解：（I）若，则……1分
…………--------2分
又∵， ∴，
∴或， 或………--------4分
（II）
………7分
令
得，，又
∴和是的单调减区间………11分
（Ⅲ）是，将函数的图象向上平移1个单位，再向左平移个单位或向右平移个单位，即得函数的图象，而为奇函数………13分

（17）（本小题满分13分）
解：（1） -----------------------------------------------（2分）
因为与直线垂直的直线的斜率为
又f（－1）=ln（2－1）－1－4+c=0，所以c=5 f（x）=ln（x+2）－x2+4x－5,
（6分） 由
当时，f′（x）≥0，f（x）单调递增
当时，f′（x）≤0，f（x）单调递减-----------------------------（8分）
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5-----（10分）
（Ⅱ）因为f（x）是减函数
所以恒成立-------（12分）
因为在[0，1]上单调递增 所以（2x－）min=－
所以当b≤－时，f（x）在区间[0，1]上单调递减--------------------------------（13分）

（18）（本小题满分13分）
解：（I）因为，所以. …………1分
又

=+=. ……………6分
（II）由已知得， …………7分
又因为， 所以. …………8分
又因为，
所以，当且仅当时，取得最大值. …………11分
此时.
所以的面积的最大值为. ……………13分
（19）（本小题满分14分）
(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。
求导得：，…3分
∵函数的定义域为，
当时，，∴函数在区间上是减函数；
当时，，∴函数在区间(0，+∞)上是增函数。
∴， ∴。故实数的最小值为。 -----------6分
(Ⅱ)由得：

由题设可得：方程在区间上恰有两个相异实根。……8分
设。∵，列表如下：

－
0
＋

减函数

增函数

∵，∴
从而有， --------------11分
画出函数在区间上的草图（见右下），易知要使方程在区间上恰有两个相异实根，只需：，即：。 ---------------14分

（20）（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)显然函数的定义域是. …………1分
由已知得，. …………2分
⑴当时, 令,解得; 令,解得.
所以函数在上单调递增,在上单调递减. …………3分
⑵当时，
①当时，即时, 令,解得或;
令,解得.
所以，函数在和上单调递增,在上单调递减;
…………4分
②当时，即时, 显然，函数在上单调递增； ………5分
③当时，即时, 令,解得或;
令,解得.
所以，函数在和上单调递增,在上单调递减.
…………6分
综上所述，⑴当时,函数在上单调递增,在上单调递减；
⑵当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；
⑶当时,函数在上单调递增；
⑷当时,函数在和上单调递增,在上单调递减.
……………7分
(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.
设,是曲线上的不同两点，且，
则，.

…………8分
曲线在点处的切线斜率
， …………9分

依题意得：.
化简可得： ，
即=. …………11分
设 ()，上式化为：,
即. …………12分
令,.
因为,显然，所以在上递增,
显然有恒成立.
所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. ……………14分
9
用心 爱心 专心