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专题五 解析几何
(时间∶120分钟 满分∶160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．(2010·上海)若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方
程为____________________．
2．(2010·天津)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0
相切，则圆C的方程为__________________．
3. (2010·全国Ⅰ)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短袖的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为________．
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB
的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．
5.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点.若0，则||＋||＋||= .
6．设AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(－c,0)，则△F1AB面积的
最大值为_______________________________．
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若
c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是__________．
8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线
垂直，那么此双曲线的离心率为____________．
9.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点.设椭
圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若·＝0，则＋等于 .
10．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2
＝60°，则椭圆的离心率为________．
11．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，
则△ABF的面积等于______________.
12.设点F为椭圆+＝1的左焦点，点P是椭圆上的动点，当的模有最小值时，点P的
坐标为________．
13．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．
14．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点．已知原点到直线l
的距离为c，则双曲线的离心率为________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两
点．
(1)如果|AB|＝，求直线MQ的方程；
(2)求动弦|AB|的最小值．
16．(14分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝.已知点A(0，)到这个椭圆
上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程．
17.（14分）已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），动点P满足：·＝k||2.
求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型．
18.（16分）如图，椭圆的长轴端点分别为A、B，O为椭圆的中心，
F为椭圆的右焦点，且·＝1，||＝1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否
存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的
方程；若不存在，请说明理由．
19．(16分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且曲线过点(1，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2＋
y2＝内，求m的取值范围．
20. (16分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为 ，其左、右焦点分别为F1、F2，点P
是坐标平面内一点，且||=，·＝(O为坐标原点)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点S(0，－)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，
使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．
答案
1.y2＝8x 2.(x＋1)2＋y2＝2 3. 4.x＝－1 5.6 6.bc 7. 8. 9.2 10.
11．2 12．(－4,0) 13.4 14.2
15．解 (1)设Q(q,0)，
因为M(0,2)，所以|MQ|＝＝，
而|MA|＝r＝1，
从而在Rt△AMQ中，|AQ|＝
＝＝.
又由题意和对称性可得，Rt△AMQ斜边MQ边上的高为
h＝|AB|＝.
由等面积法得·＝，
解得q＝±，
所以Q(±，0)，
将M，Q的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ的方程为2x±y∓2＝0.
(2)由(1)知，利用等面积法得
|AB|·＝
⇒|AB|＝＝，
从而当q＝0时，动弦|AB|取到最小值.
16．解 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，由＝得a＝2b.
|AM|2＝x2＋(y－)2＝－3(y＋)2＋4b2＋3(－b≤y≤b)．
若0<b<，则当y＝－b时，|AM|2最大，即(－b－)2＝15，
∴b＝－>，故矛盾．
若b≥时，则当y＝－时，|AM|2最大，即4b2＋3＝15，解得b2＝3.∴所求方程为＋
＝1.
17．解 设动点P (x，y)，则＝(x，y－1)，＝(x，y＋1)，＝(1－x，－y)，
由·=k||2得x2＋y2－1＝k(x－1)2＋ky2，
化简得(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－(k＋1)＝0.
当k＝1时，方程为x＝1，表示直线；
当k≠1时，方程为(x－)2＋y2＝()2，表示以(，0)为圆心，为半径的圆．
18．解 (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知c=1,又∵·＝1，
即(a＋c)·(a－c)＝1＝a2－c2，
∴a2＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，
∵M(0,1)，F(1,0)，故kPQ＝1，
于是设直线l为y＝x＋m，由
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
∴·＝0＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)，
由yi＝xi＋m(i＝1,2)得x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2
－m＝0，
由一元二次方程根与系数的关系得
2·－(m－1)＋m2－m＝0.
解得m＝－或m＝1，经检验只有m＝－符合条件，则直线l的方程为y＝x－.
19．解 (1)∵＝，∴＝＝1－＝，
∴a2＝2b2，①
曲线过(1，)，则＋＝1，②
由①②解得
则椭圆方程为＋y2＝1.
(2)联立方程
消去y整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
则Δ＝16m2－12(2m2－2)＝8(－m2＋3)>0，
解得－<m<，③
x1＋x2＝－，
y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝－＋2m＝，
即AB的中点为(－，)．
又∵AB的中点不在x2＋y2＝内，
∴＋＝≥，
解得m≤－1或m≥1.④
由③④得m的取值范围为{m|－<m≤－1或1≤m<}．
20．解 (1)设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则由|OP|＝得x＋y＝；
由·＝得(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝，
即x＋y－c2＝.所以c＝1.
又因为＝，所以a2＝2，b2＝1.
因此所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)动直线l的方程为y＝kx－，
由
得(2k2＋1)x2－kx－＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
x1x2＝－.
假设在y上存在定点M(0，m)满足题设，
则＝(x1，y1－m)，
＝(x2，y2－m)．
·＝x1x2＋(y1－m)(y2－m)
＝x1x2＋y1y2－m(y1＋y2)＋m2
＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)－m(kx1－＋kx2－)＋m2
＝(k2＋1)x1x2－k(＋m)(x1＋x2)＋m2＋m＋
＝－－k(＋m)＋m2＋m＋
＝.
由假设得对于任意的k∈R，·＝0恒成立，
即解得m＝1.
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为(0,1)．
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