绵阳市高2016届第一次诊断性考试文科数学试题含答案.docx

绵阳市高2013级第一次诊断性考试
数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
CBCBD BACCC
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12． 13．a≥2 14．7 15．②③
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解 ：（1）∵ m⊥n，
∴ m·n=(cosα，1-sinα)·(-cosα，sinα)=0，
即-cos2α+sinα-sin2α=0． ……………………………………………………3分
由sin2α+cos2α=1，解得sinα=1，
∴ ，k∈Z.…………………………………………………………6分
（2） ∵ m-n=(2cosα，1-2sinα)，
∴ |m-n|=

， ………………………………………………………9分
∴ 5-4sinα=3，即得，
∴ ． ……………………………………………………12分
17．解：（1）由已知an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)．
∴ （常数）．………………………………………………………3分
此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，于是an=2n-1． ………………………………………6分
（2）∵.…………………………………………………………………7分
∴ ，
两边同乘以，得
两式相减得

，
∴．…………………………………………………………12分
18．解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn．
则an=80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n. ……………………………2分
∴ 当a=10时，an=10n+70，
∴ ，
解得：n>8． ……………………………………………………………………5分
即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分
（2）由题意：(n>1)，
即 ，………………………………………………8分
整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0，
即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0，
化简得80-5a>0，
解得a<16，……………………………………………………………………11分
∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．
  ……………………………………………12分
19．解：（1）在Rt△ABC中，AC=ABcos60º=，.
∵ ，
∴

=9+2×3×cos120º
=6. …………………………………………………………………4分
（2）在△ACD中，∠ADC=180º-∠A-∠DCA=120º-θ，
由正弦定理可得，即.
………………………………………5分
在△AEC中，∠ACE=θ+30º，∠AEC=180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，
由正弦定理可得：，即， ……6分
∴ ，………………………7分
令f(θ)=sin(120º-θ)cosθ，0º≤θ≤60º，
∵ f(θ)=(sin120ºcosθ-cos120ºsinθ)cosθ

，………………………………………………10分
由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，
∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1，
∴ ≤f(θ)≤，
∴ ≤≤，
∴ ≥，
即的最小值为．……………………………………………12分
20．解：（1），
由题意得3ax2+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤1}，
∴ a<0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1．
于是，，
得b=3a，c=-6a．………………………………………………………………2分
∵ 3ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>1}，
∴ f(x)在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数．
∴ 当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，
把b=3a，c=-6a，代入得-8a+6a+12a-1=-11，
解得a=-1． ……………………………………………………………………5分
（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，
即．
∴ ．…………………………………………………………7分
令，
∴ ．
列表如下：
x
(-∞，-2)
-2
(-2，1)
1
(1，+∞)

+
0
-
0
+
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴ g(x)在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分
又∵，g(-2)=10，g(0)=0，
由题意知直线y=m与曲线有两个交点，
于是<m<10.…………………………………………………………………13分
21．解：（1）∵ ，x>0，
∴ 当a<0时，，即f(x)在(0，+∞)上是增函数．
当a>0时， x∈(0，)时，f(x)在(0，)上是增函数；x∈(，+∞) 时，f(x)在(，+∞)上是减函数．
∴ 综上所述，当a<0时f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，f(x)的单调递减区间为(，+∞)．…………5分
（2）当a=1时，，
∴ ，
∴ .
要证，即证，
因，即证，
令()，即证().
令()，由(1)知，在(1，+)上单调递减，
∴ 即，
∴ ．①
令()，则>0，
∴在(1，+)上单调递增，
∴=0，即()．②
综①②得()，即．……………………9分
（3）由已知即为，x>1，
即，x>1．
令，x>1，则．
当k≤0时，，故在(1，+∞)上是增函数，
由 g(1)=-1-k+2k=k-1>0，则k>1，矛盾，舍去．
当k>0时，由>0解得x>ek，由<0解得1<x<ek，
故在(1，ek)上是减函数，在(ek，+∞)上是增函数，
∴ min=g(ek)=2k-ek．
即讨论min=2k-ek>0(k>0)恒成立，求k的最小值．
令h(t)=2t-et，则，
当>0，即t<ln2时，h(t)单调递增，
当<0，即t>ln2时，h(t)单调递减，
∴ t=ln2时，h(t)max=h(ln2)=2ln2-2.
∵ 1<ln2<2，
∴ 0<2ln2-2<2．
又∵ h(1)=2-e<0，h(2)=4-e2<0，
∴ 不存在整数k使2k-ek>0成立．
综上所述，不存在满足条件的整数k．………………………………………14分