数学建模屋檐水槽模型.doc

东华理工大学
数学建模一周论文

论文题目： 屋檐的水槽问题数学建模

姓名1： 孟宪武 学号： 201320120229
姓名2： 陈学良 学号： 201320120228
姓名3： 郭振斌 学号： 201320120212
专 业：测控技术与仪器
班 级：1321202
指导教师： 乐励华

2015年 1月 9日

屋檐水槽的问题

摘要

对于房管在解决倾斜屋顶采用何种结构进行有组织排水, 是民用建筑一个普通而实际的问题。
在民用建筑中一般是在房顶的边缘安装一个檐槽和一个竖立的排水管来排水, 这种排水方式的可行性探讨实际上是解决水槽的容量在单位时间内能否足以排出雨水的问题。
为了论证该管道公司生产的管道的实用性,我们通过讨论房屋倾角，水流速度及时间的关系构建了这种排水方式的随时间推移水面上涨的微分方程模型,借助和运用matlab软件绘图及计算对设计方案进行了可行性论证(其中运用matlab绘图对模型进行可视化分析),从而得出该公司生产的水槽符合条件，能够达到良好排水的作用。并提出了屋檐水槽模型的优化方案，使模型有进一步的改进。

关键词 ：速度平衡原理、微分方程、数值解、 matlab绘图。

一、问题的重述及简化

房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度一般在
c d

b

a b
现有一公司想承接这项业务，允诺：提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形（半径为7.5cm）的水槽和一个竖直的排水管（直径为10cm），不论天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。请你建立数学模型，论证这个方案的可行性。

现对模型进行简化：
水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。从房顶上流下的雨水量是流入量；顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。
二、假设
（1）雨水垂直下落并且直接落在房顶上；
（2）落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中；
（3）落在房顶上的雨没有溅到外面去；
（4）在排水系统中不存在一些预料不到的障碍，象落在房顶上的杂物、树叶等；
（5）假设在水槽中已有雨水深0.01m；
假设(1)是合理的，雨水垂直打在房顶上符合下特大暴雨时的特点，且利于简化模型。
假设（2）（3）（4）也是合理的，利于模型建立且减小计算过程中的误差。
假设（5）也是合理的，由于水槽横截面为半圆形，槽中有一点积水是正常的。

三、有关符号说明

有关因素
因素类型
符号
单位
降水速度
输入变量

时间
变量
t
s
房顶的倾斜角
输入变量

(20-50)度
房顶的长度
输入参数
a
m
房顶的宽度
输入参数
b
m
水槽的半径
输入参数
r
m
水槽中水的高度
输出变量
h
m
水槽中水的容量
变量
V

流入水槽的流速
变量

流入水管的流速
变量

排水管的直径
参数
d
m
重力加速度
参数
g

四、模型的建立
根据速度平衡原理，对于房顶排水系统水槽中水的容量的变化率=雨水的流入速度 - 排水管流出的速度。

分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水量的体积。 雨
表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，房顶的面积 水流 b
实际受雨的水平面积，房顶上雨水的流速
流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量
排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关。
根据能量守恒原理
， ，

水槽中水的体积为
，
h

五、模型的求解与分析
将表中的数据代入（7）式，用matlab解得

由假设
（1）若。先讨论水槽的深度趋于一个低于0.075m的稳定值，即时。
将代入上述模型，得到 h(t)= 899209.148v^2
当h(t)<=0.075时，解得 v<= 0.00028802
由此得到，当v<= 0.00028802 m/s时，水不溢出；当v> 0.00028802 m/s时，水溢出。
下面，用matlab对这一结论进一步分析。
不妨取v=0.0002、0.000288 分别代入方程（*）求其数值解，并作出图形：
编写a.m 文件：
function hp=a(t,h1)
hp=(1.374038*0.0002-0.001449*sqrt(h1))/sqrt(0.15*h1-h1^2);
function hp=b(t,h2)
hp=(1.374038*0.0003-0.001449*sqrt(h2))/sqrt(0.15*h2-h2^2);
执行matlab程序：
>> [t,h1]=ode45('a',[0,60],0.01);
>> plot(t,h1)

>> [t,h2]=ode45('b',[0,60],0.01);plot(t,h2)

我国气象部门规定24 h降水量在200mm以上（约0.000 002m/s）的雨为特大暴雨。对于这种情形，v> 0.00028802 m/s 即24 h降水量在24884.9mm以上的强降雨机率几乎为0，因此，这个公司的承诺是能兑现的。
（2）若为周期函数，不妨设为正弦函数，即：
这表明下雨过程是在60s内发生的一个短促的强阵雨过程，最大的降雨强度是0.000 01m/s,由方程（*）得到如下微分方程：

运用matlab求数值解：
编写shuicao.m 文件：
function f=shuicao(t,h)
f=(0.000412*sin(pi*t/60)-0.001449*sqrt(h))/sqrt(0.15*h-h^2);
执行matlab程序：
>> [t,h]=ode45('shuicao',[0,60],0.01);
>> plot(t,h)

从图中可以看出，h(t)的最大值不会超过0.075m，因此，对于第（2）种情况，水槽的水也不会溢出，这个公司的承诺是能兑现的。
六、改进模型
基于长时间特大暴雨的考虑，可做如下两种改进：
(1)增大排水管的横截面积，即增大排水管的直径d。
(2)改变水槽的连接方式，让水槽往屋檐倾斜一定角度，这相当于增加水槽的容水高度。
七、参考文献
(1) 黎捷.maple9，0符号处理及应用[M].北京：科学出版社，2004
(2) 刘来福，曾文艺。数学模型与数学建模[m].北京师范大学出版社，2003。
(3) 数学模型（第三版）高等教育出版社。
数学建模评分表
学生姓名：____________、____________、____________ 班级：____________

学号：

数学建模题目：

项目内容
满分
实评
选题
能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求。（3人一题）
5

工作量适中，难易度合理
10

能力水平
能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力
10

理论依据充分，数据准确，公式推导正确
10

能编程，资料搜集录入、加工、排版、制图等应用计算机软件进行
10

能体现创造性思维，或有独特见解
10

成果质量
模型正确、合理，各项技术指标符合要求
15

摘要叙述简练完整，假设合理、问题分析正确、数学用语准确、结论严谨合理；问题处理科学、调理分明、语言流畅、结构严谨、版面清晰
15

论文主要部分齐全、合理，符合统一、编号齐全。格式、绘图、表格、插图等规范准确，符合论文要求
10

字数不少于2000字，不超过15000字
5

总分
100

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年 月 日