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积分与数学期望

积分与数学期望
作者 闫春霞
（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）
摘 要：在过去的学习中，积分是数学分析的一个知识点，而数学期望则是初等概率论的随机变量的一个数字特征。在本文中，将两者都定义在了测度空间上，从而使两者建立起关系。本文将从两个部分进行讨论。第一部分是测度空间上的积分的定义与其性质。第二部分是测度空间（概率空间）上的数学期望的定义与其性质。这其中包括着两者之间的关系。
关键词：积分；数学期望；测度空间
1 积分的定义与性质
1.1 积分的定义
定义1.1.1 设为测度空间，为两两不交的可测集，且，则称为非负简单函数，定义在上对的积分为：
如上，此定义是在测度空间上定义的，所以，显然，讨论积分的空间必为可测空间，而正是此可测空间上的一个可测函数（此定义中的是特殊的可测函数——非负简单函数，以下的定义2是一般可测函数的积分定义），并且其在此空间上积分有限的充要条件是的测度为有限的，这点在以下的积分的性质中会有体现。
现在，给出一般可测函数的积分定义，我们知道，若为可测函数，则均为非负可测函数
，于是可以利用非负可测函数的积分来定义一般可测函数的积分。
定义1.1.2 设为可测空间上的可测函数。如果与至少一个成立，则称积分存在，也称积分有意义，将在上对的积分定义为：

特别地，如果与同时成立，则为一个有限实值，此时称可积。
下面再叙述一个积分的定义，此时的函数并不是测度空间上的一个可测函数，但其是该空间上的几乎处处可测的函数。
定义1.1.3 设为测度空间上的可测函数，有定义，且，若积分存在（积分），则称积分存在（可积），并将的积分定义为

上述定义将积分的概念进一步扩大到可测的情形，甚至在一个零测集内可以没有定义。因此，对于一个积分存在的函数，在一个零测集上随意变更甚至取消其函数值，结果“积分存在性”、“可积性”都不变。因此以上所叙述的定理、命题中，将条件所属函数用相等的函数替换，不会影响关于积分的结论成立。
1.2 积分的性质
命题 1.2.1 设为测度空间上的非负简单函数，则有
（1） 线性性质：若，则；
（2） 单调性：若，则；
（3） 对于任意的，令，则为上的测度。
命题 1.2.2 设为测度空间上的非负可测函数，则有
（1） 若，则存在及，使得；
（2） ；
（3） 单调性；
（4） 即；
（5）
命题 1.2.3（单调收敛定理）设，为测度空间上的非负可测函数，且，则有：

下面，在定义1.1.3的基础上，在已将概念扩大到可测的情形上，进一步叙述一下积分的一些比较复杂的性质。
命题 1.2.4 设为可测空间上的可测函数，且积分存在，设，且，则
（1）
若积分存在但不可积，则两个正项级数一个手链一个发散，（1）式两端或者同为，或者同为，等式仍然成立。而且，上述定理中，若令，则具有可加性，那么久和后面的符号测度联系起来了，在此不再赘述。
命题 1.2.5（积分的绝对连续性） 如果可积，则对任意的，存在，使得任意，只要，就有。
下面，在本文的积分部分再叙述一个重要的定理，此定理不仅在积分中有重要的应用，在以后的学习和定理证明中也有重要的作用，此定理就是定理。
命题 1.2.6 设为测度空间上的一列可测函数。
（1） 若存在可积函数，使得，，则有
（2） 若存在可积函数，使得，，则有
2 数学期望
2.1 数学期望的定义
数学期望，简称期望，是概率论的一个基本概念，在初等概率论中我们分别对离散型随机变量与连续性随机变量定义了期望，下面我们对所有类型的随机变量统一定义期望。
定义 2.1.1 设为概率空间，为可测函数，若在上对的积分存在，则称其积分值为随机变量的数学期望，简称期望，并用记号表示
即

由以上定义可以看出数学期望也是测度空间上可测函数的积分，因此具备前述关于积分的所有性质，不再一一重述。特殊之处在于，此测度空间是概率空间，而概率空间是有限测度空间，所以在这个空间上如前所述的可测函数关于测度的积分变成了其对概率的积分，因而具备一些特殊的性质，例如下面数学期望中要提到的收敛定理。
在测度论的学习中，我们在测度空间上重新定义数学期望等随机变量的概念，我自己觉得最有收获的地方在于两点：第一，初等概率论中我们只对离散型和连续型随机变量做了定义，这里为其做了补充，对所有的随机变量进行了统一定义。第二，这里通过分别在测度空间上对积分与数学期望进行定义建立起了两者的关系，从而，在以后的学习中，可以从这个角度对期望的计算和其性质进行讨论。
下面先提出几个在概率空间上的事件，随机变量序列及推广到多维的随机变量的独立的定义，然后在第二部分再讨论它们独立所需满足的条件以及其独立之后的性质。
定义 2.1.2 设为概率空间，若，则称为一个事件类。设为个事件类，若对于任意的以及任意，任取，总有，则称这个事件类相互独立。
定义 2.1.3 若随机变量序列满足：，相互独立，则称相互独立。
定义 2.1.4 设为上的维随机变量，
，维数分别为，，若对于，总有

则称相互独立。
2.1 数学期望的性质
命题 2.2.1 设为概率空间，事件类相互独立，如果每个都是类，且，则相互独立。
命题 2.2.2 设为概率空间上的维随机变量，则下列条件等价：
（1），总有

（2）任意，总有

当上述条件之一满足时，称相互独立。
命题 2.2.3 设随机变量的维数分别为 ，如果对于任意的，总有

则称相互独立。
下面给出的定理（或其特殊形式）在初等概率论中已经被反复应用，但其严格的证明只能在测度论中完成，所以在此有必要叙述并证明它。
命题 2.2.4 设为上的多维随机变量，维数分别为，如果相互独立，又
为可测映射，
则相互独立。
证明：任取，有

由为可测映射，故，故
，

故相互独立。
命题 2.2.5 设为概率空间，与均为的子代数，与分别为可测与可测的随机变量，如果与独立，则与独立。
上述的定理及其推论是初等概率论中我们熟知的结论。在初等概率论中，我们分别定义离散型、连续型随机变量的独立性，分别证明了两种情况下上述定理的结论。但是，不同的是这里的证明及其结论更具一般性，适用于各种不同类型的随机变量。这也正是要在概率空间上重新定义数学期望以及其独立性的原因所在。

小结
正如前面所一一叙述的那样，将积分和数学期望在测度空间（概率空间）上做重新的定义后，对其二者本身而言，不论是在计算上还是在其性质的证明及应用范围上都会有新的、更好的方法。除此之外，对于今后的本学科（例如在条件期望）的学习中以及其它的学科（例如：随机过程）的学习中遇到的其他问题的解决（一般是证明题）也会很有帮助。而有价值的应用之处正是由于在测度空间上定义的积分与数学期望可以有等式：，此处的期望与积分正是本文前面所定义的形式的。
参考文献
[1]严士健，刘秀芳.测度与概率（第二版）.北京：北京师范大学出版社，2003.
[2]程士宏.测度与概率论基础.北京：北京大学出版社，2004..
[3]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（第二版）.北京：高等教育出版社，2004.
[4]宋向东. 测度论讲义.
Integration and mathematical expectation
Zuo-zhe YanChunxia
( College of Science, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004)
Abstract: In the past time, we have already known that the integration is a part of mathematical analysis, and at the same time, mathematical expectation is a number feature of random variable in probabilism. In this article we will define both of them in the measure space, so they will be relational. There will exist two parts in this article, which including the relationship between integration and mathematical expectation. The first part is the definition and qualities of integration in the measure space. Another one is the definition and qualities of mathematical expectation in the measure space (the probability space).
Keywords: integration; mathematical expectation; measure space

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