利用空间向量解决立体几何问题.doc

利用空间向量解决立体几何问题
1.如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.
（1）求证：；
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.

2. 四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分
别交四面体的棱于点.

（1）证明：四边形是矩形；
（2）求直线与平面夹角的正弦值.

3.如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.
（I）证明：；
（II）设直线与平面的距离为，求二面角的平面角的余弦值

4.在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.
（1） 求证： ；
（2） 若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.

5.如图，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.

6.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.
（1） 当时，证明：直线平面；
（2） 是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

7.如图,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.
(1)证明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.

8. 如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.
（1） 求证：
（2） 若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.[来源:Z#xx#k.Com]

9.如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.

10. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.

11. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.

12.如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.

13.如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.
（1） 证明：为的中点；
（2） 求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
（3） 若，，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.

14.三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.
（1）证明：为线段的中点；
（2）求二面角的余弦值.

15．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．

（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

16. 如图，在四棱锥中，平面平面.
（1） 证明：平面;
（2） 求二面角的大小

17.如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，
，为上一点，且.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.

18．在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，，
，为的中点，为的中点
（1）证明：；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）求点到平面的距离．

19．在四棱锥中，侧面，，底面为直角梯形，其中，，为中点．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角余弦值；
（3）求点到平面的距离．

20．平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是
中点，
（1）设是中点，证明：；
（2）证明：在内存在一点，使得，并求出到的距离

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