专题四：三角形中的三角问题含向量.doc

高三数学微专题四
三角形中的三角向量问题（含向量）
一、 基础回顾
1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝__
2．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝_______.

3．在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，向量m＝(1，)与n＝(cos A，sin A)平行，且acos B＋bcos A＝csin C，则角B＝________.
4．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是________．
二、 典型例题
例1．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x·＋y·.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．

例2．如图所示，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别是AB，BC上的点，且＝＝2，, 求△APC的面积．

例3．.的三个内角依次成等差数列．
（Ⅰ）若，试判断的形状；
（Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求代数式的取值范围．

例4．已知点A，B，C是直线l上不同的三点，点O是l外一点，向量，，满足－－(ln x－y)·＝0，记y＝f(x)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若对任意的x∈[1,2]，不等式|a－ln x|－ln(f′(x))>0恒成立，求实数a的取值范围．

三、 同步练习
1．设O是△ABC内部的一点，P是平面内任意一点，且＋2＋2＝2，则△ABC和△BOC的面积之比为
2．在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________．
3．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积，若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________.
4．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2 α)和b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是________．
5． 在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.
.6．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·＝________.
7．在△ABC中，已知BC＝2，·＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是____．
8. 给出下列三个命题（1）若0<tanAtanB1，则△ABC一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsinC－lgsinB=－lg2, 则ΔABC是等腰直角三角形；（3）若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形以上正确命题的序号是：
9．已知△ABC所在平面上的动点M满足2·＝2－2，则M点的轨迹过△ABC的__ ______心．

10．已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为

11．△ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且．
（1）求数量积；（2）求△ABC的面积．

12．设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.
（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.
（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，且C为锐角，求sinA.

13．在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，已知向量m＝(1,2sin A)，n＝(sin A,1＋cos A)，且满足m∥n，b＋c＝a.
(1)求A的大小；(2)求sin的值．
.

14．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．

专题四：三角形中的三角向量问题（含向量）
一、 基础回顾
1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝__－16
解析　因为＝(＋)，所以＋＝2，又－＝，所以(＋)2－(－)2＝4·＝42－2＝－64，所以·＝－16.
2．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝____－____.

解析 由题意画出图形如图所示，取一组基底{，}，结合图形可得＝(＋)，＝－＝－，∴·＝(＋)·＝2－2－·＝－－cos 60°＝－.
3．在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，向量m＝(1，)与n＝(cos A，sin A)平行，且acos B＋bcos A＝csin C，则角B＝________.
解析　由m与n平行，得 cos A－sin A＝0，所以tan A＝，A＝.又由acos B＋bcos A＝csin C，得sin C＝1，C＝，所以B＝.
4．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是________．
解析 如图，以C为原点，CA，CB所在直线为y轴，x轴建立直角坐标系，所以＝(0,1)，＝(2,0)，故2λ＋(1－λ)＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2＝2，故最小值为，在λ＝时取得．

二、 典型例题
例1．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x·＋y·.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．
解析　(1)因为＝，所以＋＝＋，即2＝＋，所以＝＋，所以x＝，y＝.(2)因为＝3，所以＋＝3＋3，
即＝＋，所以x＝，y＝.故·＝·(－)
＝·－·＋·＝×22－×42＋×4×2×＝－9.
例2．如图所示，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别是AB，BC上的点，且＝＝2，求△APC的面积．
解析　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.
因为点A，P，E和点D，P，C均三点共线，所以存在λ和μ，使得＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.又因为＝＋＝a＋μb，所以有解得λ＝，μ＝，所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8 (cm2)，S△PBC＝14×＝2 (cm2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm2).

例3．.的三个内角依次成等差数列． （Ⅰ）若，试判断的形状； （Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求代数式的取值范围．
答案 解：（Ⅰ）∴为正三角形.（Ⅱ） = = = = = ∵,∴， ∴ ，.∴代数式的取值范围是.
例4．已知点A，B，C是直线l上不同的三点，点O是l外一点，向量，，满足－－(ln x－y)·＝0，记y＝f(x)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若对任意的x∈[1,2]，不等式|a－ln x|－ln(f′(x))>0恒成立，求实数a的取值范围．
解析　(1)由题意，得＝·＋(ln x－y)·，且A，B，C三点共线，所以＋(ln x－y)＝1，所以y＝f(x)＝ln x＋x2(x>0)．(2)因为f′(x)＝＋x，所以|a－ln x|>ln，即a<ln x－ln或a>ln x＋ln恒成立．
因为ln x－ln＝ln＝ln在[1,2]上取最小值－ln 2，
ln x＋ln＝ln(x2＋1)在[1,2]上取最大值ln 5，所以a的取值范围是(－∞，－ln 2)∪(ln 5，＋∞)．
三、 同步练习
1．设O是△ABC内部的一点，P是平面内任意一点，且＋2＋2＝2，则△ABC和△BOC的面积之比为 5∶1
2．在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________．
3．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积，若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________.
4．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2 α)和b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是___[－6,1]_____．
解析　由a＝2b，得由λ2－m＝cos2α＋2sin α＝2－(sin α－1)2，得－2≤λ2－m≤2，又λ＝2m－2，则－2≤4(m－1)2－m≤2，∴解得≤m≤2，而＝＝2－，故－6≤≤1.
5．在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝_－_______.
解析　因为M是BC的中点，所以＋＝2，又＝2，||＝1，所以·(＋)＝·2＝－4||2＝－||2＝－.
.6．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·＝________.
7．在△ABC中，已知BC＝2，·＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是____．
解析　以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)．设A(x，y)则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，于是·＝(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝x2－1＋y2.由条件·＝1知x2＋y2＝2，这表明点A在以原点为圆心，为半径的圆上．当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即S△ABC＝×2×
8． 给出下列三个命题（1）若0<tanAtanB1，则△ABC一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsinC－lgsinB=－lg2, 则ΔABC是等腰直角三角形；（3）若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形以上正确命题的序号是： ⑴⑵⑶
9．已知△ABC所在平面上的动点M满足2·＝2－2，则M点的轨迹过△ABC的__外______心．
解析　如图，设N是BC的中点，则由2·＝(－)·(＋)＝·2，得(－)·＝0，即·＝0，
所以⊥，所以M点的轨迹过△ABC的外心．
10．已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为
11．△ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且．
（1）求数量积；
（2）求△ABC的面积．
解析（1）．
两边平方，得，
．
同理可得，，．
（2）由，可得，．
由，得，
同理求得其他三角形面积，
所以．
12．设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.
（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.
（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，且C为锐角，求sinA.
解析（1）f(x)=
∴函数f(x)的最大值为,最小正周期.
（2）f()==－，∴，
∵C为锐角，　　∴，∴,　
∴sinA =cosB=.
13．在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，已知向量m＝(1,2sin A)，n＝(sin A,1＋cos A)，且满足m∥n，b＋c＝a.(1)求A的大小；(2)求sin的值．
解析　(1) A＝.(2)b＋c＝a，由正弦定理，得sin B＋sin C＝sin A＝.因为B＋C＝，所以sin B＋sin＝.所以cos B＋sin B＝，即sin＝.
14．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
解析　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(＋)·(－)＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1.
所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)因·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝(－)2－2＝2－1，是设P(x0，y0)，则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20.因y0∈[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19；当y0＝2时，2取得最小值13－4，(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4.