专题四：三角形中的三角问题含向量.doc

高三数学微专题四三角形中的三角向量问题（含向量）一、 基础回顾 1在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_2在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则_.3在ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，向量m(1，)与n(cos A，sin A)平行，且acos Bbcos Acsin C，则角B_.4在ABC中，C，AC1，BC2，则f()|2(1)|的最小值是_二、 典型例题 例1如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，xy.(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且与的夹角为60时，求的值例2如图所示，已知ABC的面积为14 cm2，D，E分别是AB，BC上的点，且2，, 求APC的面积例3.的三个内角依次成等差数列 （）若，试判断的形状； （）若为钝角三角形，且，试求代数式的取值范围例4已知点A，B，C是直线l上不同的三点，点O是l外一点，向量，满足(ln xy)0，记yf(x)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)若对任意的x1,2，不等式|aln x|ln(f(x)0恒成立，求实数a的取值范围三、 同步练习1设O是ABC内部的一点，P是平面内任意一点，且222，则ABC和BOC的面积之比为 2在四边形ABCD中，(1,1)，则四边形ABCD的面积为_3在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为ABC的面积，若向量p(4，a2b2c2)，q(1，S)满足pq，则C_.4设两个向量a(2，2cos2 )和b，其中，m，为实数若a2b，则的取值范围是_5 在ABC中，M是BC的中点，|1，2，则()_.6ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，BC，则_.7在ABC中，已知BC2，1，则ABC的面积SABC最大值是_8. 给出下列三个命题（1）若00恒成立，求实数a的取值范围解析(1)由题意，得(ln xy)，且A，B，C三点共线，所以(ln xy)1，所以yf(x)ln xx2(x0)(2)因为f(x)x，所以|aln x|ln，即aln xln恒成立因为ln xlnlnln在1,2上取最小值ln 2，ln xlnln(x21)在1,2上取最大值ln 5，所以a的取值范围是(，ln 2)(ln 5，)三、 同步练习 1设O是ABC内部的一点，P是平面内任意一点，且222，则ABC和BOC的面积之比为 51 2在四边形ABCD中，(1,1)，则四边形ABCD的面积为_3在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，S为ABC的面积，若向量p(4，a2b2c2)，q(1，S)满足pq，则C_.4设两个向量a(2，2cos2 )和b，其中，m，为实数若a2b，则的取值范围是_6,1_解析由a2b，得由2mcos22sin 2(sin 1)2，得22m2，又2m2，则24(m1)2m2，解得m2，而2，故61.5在ABC中，M是BC的中点，|1，2，则()_.解析因为M是BC的中点，所以2，又2，|1，所以()24|2|2.6ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3，BC，则_.7在ABC中，已知BC2，1，则ABC的面积SABC最大值是_解析以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(1,0)，C(1,0)设A(x，y)则(1x，y)，(1x，y)，于是(1x)(1x)(y)(y)x21y2.由条件1知x2y22，这表明点A在以原点为圆心，为半径的圆上当OABC时，ABC面积最大，即SABC28 给出下列三个命题（1）若0tanAtanB1，则ABC一定是钝角三角形；（2）若lgcosA=lgsinClgsinB=lg2, 则ABC是等腰直角三角形；（3）若cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，则ABC一定是等边三角形以上正确命题的序号是： 9已知ABC所在平面上的动点M满足222，则M点的轨迹过ABC的_外_心解析如图，设N是BC的中点，则由2()()2，得()0，即0，所以，所以M点的轨迹过ABC的外心10已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为 11ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且（1）求数量积；（2）求ABC的面积解析（1）两边平方，得，同理可得，（2）由，可得，由，得，同理求得其他三角形面积，所以12设函数f(x)=cos(2x+)+sinx. （1）求函数f(x)的最大值和最小正周期. （2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=，且C为锐角，求sinA.解析（1）f(x)= 函数f(x)的最大值为,最小正周期. （2）f()=， C为锐角，,sinA =cosB=. 13在ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，已知向量m(1,2sin A)，n(sin A,1cos A)，且满足mn，bca.(1)求A的大小；(2)求sin的值解析(1) A.(2)bca，由正弦定理，得sin Bsin Csin A.因为BC，所以sin Bsin.所以cos Bsin B，即sin.14已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且()()0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值解析(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由()()0，得|PC|2|PQ|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.所以点P在椭圆上，其方程为1. (2)因()()()()()2221，是设P(x0，y0)，则有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因y02，2，所以当y03时，2取得最大值20，故的最大值为19；当y02时，2取得最小值134，(此时x00)，故的最小值为124.