【教学随笔】例析与对数函数的单调性有关的参数范围的求法.doc

金太阳新课标资源网
例析与对数函数的单调性有关的参数范围的求法

对数函数的单调性是对数函数的一个重要性质，而求与对数函数的单调性有关的参数范围是一个难点.要正确解答此类题型，主要从下面几点考虑：①抓住函数的定义域，在定义域内进行讨论；②抓住对数函数的底数，由此确定函数的单调性；③注意对数函数真数大于零.下面举例说明.
例1已知函数f(x)＝lg(ax－1)－lg(x－1)(a∈R)，若函数f(x)在[10,＋∞)上单调递增，试求a的取值范围.
解：由已知有10a－1＞0，a＞，则
因为f(x)＝lg(ax－1)－lg(x－1)＝lg(a＋)在[10,＋∞)上单调递增，
当a＞1时，f(x)在[1，∞)上为减函数，因此，f(x)不可能在[10,＋∞)上单调递增，不满足条件；
当＜a＜1时，f(x)在[1，∞)上为增函数，因此，f(x)在[10,＋∞)上单调递增，满足条件.
综上所述，所求a的取值范围是＜a＜1.
点评：本题利用对数的性质转化为函数f(x)＝lg(a＋)，对a－1的符号进行讨论，并结合反比例函数的单调性及单调性的复合规律进行求解的.
例2已知函数f(x)＝2x，设f(x)的反函数为f－1(x)，若f－1(x＋–3)在区间[2,＋∞)上单调递增，求正实数a的范围.
解：∵f－1(x)＝log2x，∴f－1(x＋–3)＝log2(x＋–3)，
设g(x)＝x＋–3，由于f－1(x＋–3)在区间[2,＋∞)上单调递增，故g(2)＝2＋–3＞0，即a＞2，
当2≤x1＜x2时恒有：g(x1)－g(x2)＝(x1－x2)·＜0成立，
∵x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－a＞0恒成立，即a＜x1x2恒成立，∴a≤4，
综上所述，a的取值范围为2＜a≤4.
点评：本题充分利用函数的单调性的定义，通过分离参数，并将a＜x1x2恒成立转化为a≤x1x2无限趋近的一个常数.
例3函数f(x)＝log9(x＋8–)在[1,＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
解：由条件知1＋8–a＞0，得a＜9.
当0＜a＜9时，易知函数u＝x＋8–在(0，＋∞)上单调递增，由此可知函数f(x)＝log9(x＋8–)在[1,＋∞)上单调递增，满足条件；
当a＝0时，函数f(x)＝log9(x＋8)，易知在[1,＋∞)上单调递增，满足条件；
当a＜0时，函数u＝x＋8–＝x＋＋8在[,＋∞)上单调递增，所以≤1，解得a≥－1.
综上所述，所求a的范围是－1≤a＜9.
点评：本题充分利用函数y＝x＋的单调性进行求解的.对于函数y＝x＋：当m＞0时，函数的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；当m＝0时为一次函数；当m＜0时，函数的递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞).
例4是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的变化范围，如果不存在，请说明理由.
解：设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在，
当a＞1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上是增函数，故应满足Þa＞，当注意到a＞1时，即a＞1；
当0＜a＜1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上是减函数，故应满足，此不等式组无解，
综上可知，当a＞1时，f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上为增函数.
点评：本题充分利用二次函数的对称轴位置及单调区间的端点值的符号进行求解的.

第 2 页 共 2 页 金太阳新课标资源网