具有不同节点的复杂动态网络有限时间部分状态分量同步控制.pdf

doi:10.12052/gdutxb.220114具有不同节点的复杂动态网络有限时间部分状态分量同步控制吴曼，张丽丽（广东工业大学数学与统计学院,广东广州510520）摘要:针对一类由不同节点组成的复杂动态网络，提出了一种分散控制策略以实现有限时间部分状态分量同步(只考虑网络中每个节点的部分状态分量在有限时间内达到同步)。首先，为了方便理论分析及推导，引入了一个特殊对角矩阵来表述每个节点所需关注的状态分量。其次，基于此特殊对角矩阵，给出了有限时间部分状态分量同步的定义。与有限时间同步相比，有限时间部分状态分量同步更广泛。再次，结合控制理论以及有限时间稳定性定理，提出了分散控制策略使网络实现有限时间部分状态分量同步。最后，通过一个仿真例子，验证了控制方法的有效性与正确性。关键词:复杂动态网络；有限时间部分状态分量同步；分散控制；不同节点中图分类号:TP273文献标志码:A文章编号:10077162(2023)04009408Finite-time Partial State Components Synchronization Control forComplex Dynamical Networks with Nonidentical NodesWuMan,ZhangLi-li(SchoolofMathematicsandStatistics,GuangdongUniversityofTechnology,Guangzhou510520,China)Abstract:Foraclassofcomplexdynamicnetworkscomposedofnonidenticalnodes,adecentralizedcontrolstrategyisproposedtoachievethefinite-timepartialstatecomponentssynchronization.Thefinite-timepartialstatecomponentssynchronizationmeansthatonlysome,notall,statecomponentsofeachnodeinthenetworkcanachievesynchronizationinfinitetime.Firstly,fortheconvenienceofthetheoreticalanalysesandderivation,aspecialdiagonalmatrixisintroduced,whichcanformulatethedesiredstatecomponentsofeachnode.Secondly,basedonthisspecialdiagonalmatrix,thefinite-timepartialstatecomponentssynchronizationisdefined.Comparedtothefinite-timesynchronization,thefinite-timepartialstatecomponentssynchronizationismorepopular.Thirdly,accordingtoboththecontroltheoryandthefinite-timestabilitytheorem,adecentralizedcontrolstrategyisproposed,sothatournetworkscanachievethefinite-timepartialstatecomponentssynchronization.Finally,asimulationexampleisshowntoverifytheeffectivenessandcorrectnessoftheproposedcontrolstrategyinthispaper.Key words:complexdynamicalnetworks;finite-timepartialstatecomponentssynchronization;decentralizedcontrol;nonidenticalnodes在现实世界中，复杂动态网络无时不在、无处不在。许多自然或者人造系统都可以通过复杂动态网络来进行建模和描述，例如万维网、遗传网络、电力网络、社会交际网络、交通网络等1-4。除此之外，可以通过研究复杂网络拓扑结构，来解决实际网络中的问题，譬如电力网络大面积停电、病毒在网络中传播等。在复杂动态网络中，存在一种有趣的集体性行为同步。它不仅能够很好地解释一些神奇的自第40卷第4期广东工业大学学报Vol.40No.42023年7月Journal of Guangdong University of TechnologyJuly2023收稿日期：2022-07-05基金项目：国家自然科学基金资助项目(61603098)；广东省基础与应用基础研究基金资助项目(2020A1515010809)作者简介：吴曼(1998)，女，硕士研究生，主要研究方向为复杂动态网络部分状态分量同步控制通信作者：张丽丽(1978)，女，副教授，硕士生导师，主要研究方向为复杂网络与复杂系统的控制,E-mail:zh_然现象(如萤火虫的同步闪烁)，在工程中也有大量的应用(如多桩锤振动系统中的振动桩锤之间相位与速度需保持一致5)。由此，网络同步得到了一大批学者的关注。近年来，多种同步现象已被提出，譬如完全同步6、簇同步7、指数同步8、外同步9、有限时间同步10等。有限时间同步是指网络中节点的运动轨迹与参考轨迹在有限时间内达到一致。因此，它可以加快同步的收敛速度以此来节约同步时间和成本。然而，大部分网络都不能自发地实现同步。因此，控制常常作为有效的手段来实现网络的同步。例如文献10提出了非周期间歇控制策略使得一类具有相同节点的驱动响应网络实现了有限时间完全同步；文献11提出了基于观测器的滑模控制策略使得一类具有未知扰动的复杂动态网络实现了同步；文献12提出了一种事件触发分散控制策略使得一类具有非周期拒绝服务式攻击的复杂动态网络达到同步。然而，大多数现有文献中的同步考虑的是节点的所有状态分量达到一致。而在现实网络中，存在着网络节点的部分状态分量达到同步的现象与需求，并且所需关注的状态分量不限于节点状态的前一部分。例如：在交通网络中，同一车道行驶的汽车要求其行驶方向相同，而其行驶速度可以不同13；在传染病网络中，医生关注点为个体中病毒的状态而不是个体的所有状态(例如身高、体重等)。除此之外，对于由高维节点组成的网络来说，在一些特殊情况下，只需要关注每个节点部分状态分量的时间演化14。因此，在这些情况下，只关注网络节点部分状态分量比关注其所有状态分量更具有经济效益并且更节约成本。针对上述现实与需求，已有一些关于部分状态分量同步的研究成果13-19。例如：文献15提出了一种分布式同步策略使得一类二阶多智能体系统实现了部分状态分量同步；文献16得出了一类具有相同节点的复杂动态网络实现部分状态分量同步的两个充分条件；文献17研究了一类离散时间多智能体系统部分状态分量一致性问题。但值得注意的是，文献13-14,16-19中的部分状态分量同步策略，都是针对每个节点状态的前一部分状态分量而得出的。而在现实需求中，这一情况是极为特殊的。除此之外，文献4,6,8-10,12-14,16-19研究的成果都是基于由相同节点组成的网络或系统。而在现实网络中，网络节点的动力学可能不同(参数不同或者结构有差异)，例如在电力网络中，不同的发电机可能具有不同的物理参数20。综上所述，研究由不同节点组成的复杂动态网络部分状态分量同步是有实际意义和需求的。目前，有关部分状态分量同步的研究13-19均是在理论意义上当时间趋于无穷大时实现的。但在实际工程中，人们更希望网络能够在有限时间内实现同步(即有限时间同步)，以此节约时间和成本。对此，已有大量关于有限时间同步的研究成果10,21-27。例如文献21研究了一类具有不确定扰动的驱动响应混沌系统实现有限时间投影同步；文献22探究了一类具有混合耦合时滞的复杂动态网络实现有限时间同步问题。然而，目前尚缺乏有关复杂动态网络有限时间部分状态分量同步的研究成果。根据上述讨论分析，本文主要研究一类具有不同节点的复杂动态网络有限时间部分状态分量同步问题。本文的主要贡献如下：(1)引入了一个特殊对角矩阵来表述节点所需关注的状态分量(不限定于节点状态的前一部分状态分量)并给出了有限时间部分状态分量同步的定义，这一方法比文献13-19的方法更加简便灵活；(2)在一个较弱的假设下，提出了一个分散控制策略使得网络实现有限时间部分状态分量同步。RnRmnmnInOnXTXXZ+ABmax()符号说明：和分别表示n维向量集和型矩阵集；代表n阶单位矩阵；表示n维零向量；表示向量或矩阵的转置；代表正整数集；表示一个向量的欧几里得范数或者一个矩阵的F范数；表示矩阵A和B的Kronecker积；表示 的最大特征值。1 模型描述及前言考虑如下由N个不同节点组成的复杂动态网络：xi=fi(xi)+Nj=1cijAxj+ui，i=1,2,N(1)xi=(xi1,xi2,xin)T Rnui Rnxikk=1,2,nfi(xi)Rn 0A RnnC=(cij)NN RNNcijcij=cjicii=Nj=1j,icij式中：与分别表示第i个节点的状态向量和控制输入，()表示节点i的第k个状态分量；为非线性向量值函数；为整体耦合强度；为内部耦合矩阵且为对角阵。定义为外部耦合结构矩阵，表示网络(1)的拓扑结构和节点间的耦合强度。耦合系数定义如下：并且满足耗散条件，即考虑的网络(1)为无向网络。m m Z+1 不失一般性，本文考虑每个节点(，第4期吴曼，等：具有不同节点的复杂动态网络有限时间部分状态分量同步控制95m nxin1,xin2,xinmnkZ+1 n1 n2 0定义定义122,24考虑复杂动态网络(1)。对于所有的节点i()，如果存在一个有限时刻，满足limtT xi s=limtTP(xis)=0并且 xi s=0，t T则称复杂动态网络(1)实现了有限时间部分状态分量同步。P=In注注2定义1所描述的有限时间部分状态分量同步是借鉴文献22,24中的有限时间完全同步定义的。当定义1中的时，定义1即为22,24中的有限时间完全同步。xinki=1,2,N k=1,2,m注注3可以从定义1看出，有限时间部分状态分量同步只关注节点i中部分状态分量(，)在有限时间内分别收敛到相应的参考轨迹，而不考虑其他状态分量的时间演化，这与文献10,21-27中的有限时间同步不同。V(t)引理引理128假设是连续的正定函数，且满足以下微分不等式条件：V(t)V(t)，t t0，V(t0)0 0 (0,1)式中：和为两个常数。那么，对于任意给t0V(t)定的，满足以下不等式：V1(t)V1(t0)(1)(tt0)，t0 t t1并且V(t)=0，t t1t1=t0+V(1)(t0)(1)式中：。z1,z2,zn 0 l1l20 l1 max(C A)式中：为假设1中的正常数，K和 为待定可调的正常数，并且 满足。T0T0=t0+2V12(t0)KV(t0)=12Ni=1 rTi(t0)ri(t0)定理定理1考虑复杂动态网络(1)。在定义1的意义下，如果假设1成立，则分散控制器(3)能够保证网络(1)在时刻内实现部分状态分量同步，其中，。C=(cij)NNRNNNj=1cijAs=Oni=1,2,N证明证明注意到外部耦合结构矩阵满足零行和条件，因此可以得到对所有的i()都成立。进一步，根据网络(1)96广东工业大学学报第40卷和控制器(3)，可以得到误差系统：ri=xi s=fi(xi)+Nj=1cijAxj(i+K)sign(ri)+siri s=fi(xi)+Nj=1cijArjiri(i+K)sign(ri)(4)考虑以下正定函数：V(t)=12Ni=1 rTi ri(5)PA=AP rTiP=(Pri)TP=rTiPTP=rTiPT=rTisign(ri)Psign(ri)=sign(ri)V(t)由于A为对角阵且P是一个对角元为0或1的对角矩阵，故有，且成立。并且，结合的定义，可以得出。于是，正定函数沿误差方程(4)的导数为：V(t)=Ni=1 rTi ri=Ni=1 rTiP ri=Ni=1 rTiP(fi(xi)+Nj=1cijArjiri(i+K)sign(ri)=Ni=1 rTi(P fi(xi)+Nj=1cijAPrjiPri(i+K)Psign(ri)=Ni=1 rTi(Pfi(xi)+Nj=1cijA rji ri(i+K)sign(ri)=Ni=1 rTiPfi(xi)+Ni=1Nj=1cij rTiA rjNi=1i rTi riNi=1(i+K)rTisign(ri)=Ni=1 rTifi(xi)+Ni=1Nj=1cij rTiA rjNi=1i rTi riNi=1(i+K)ri(6)rc=(rT1,rT2,rTN)T为方便，记。进一步，结合假设1与式(6)，可以推出V(t)Ni=1 rifi(xi)+Ni=1Nj=1cij rTiA rjNi=1i rTi riNi=1(i+K)ri Ni=1i ri+(rc)T(C A)rcNi=1i rTi riNi=1(i+K)ri max(C A)(rc)TrcNi=1i rTi riKNi=1 ri=max(C A)Ni=1 rTi riNi=1i rTi riKNi=1 ri(7)i max(C A)由于，故有max(C A)Ni=1 rTi riNi=1i rTi ri 0(8)(Ni=1 rTi ri)1/2=(Ni=1 ri2)1/2Ni=1 ri据引理2，可得。由于K为正常数，因此可以推出KNi=1 ri K(Ni=1 rTi ri)1/2(9)结合式(5)、式(7)和式(9)，可以得到V(t)K(Ni=1 rTi ri)1/2=K(2V(t)1/2=2KV1/2(t)(10)T0=t0+2V1/2(t0)KV(T0)=0t T0V(t)=0V(t)0V(t)0limtT0V(t)=V(T0)=0limtT0 ri=limtT0 xi s=0t T0 xi s=0根据引理1，当时，且对于，有成立。由式(5)和式(10)可知，且。因此，故，并且对于，有。于是，在定义1的意义上，网络(1)实现了有限时间部分状态分量同步。证毕。ui注注4从式(3)可以看出，分散控制器 只需要节点i和参考轨迹的信息，并不需要网络中其他节点的信息。因此，本文的有限时间部分状态分量同步控制器具有维数低、成本低和易实现的优点。注注5值得注意的是，文献10,22,25-27所提出的有限时间同步控制器不仅需要自身节点和参考轨迹的信息，还需要网络中其他节点的信息，这与本文所设计的分散控制器不同。除此之外，文献10,22,24-27提出的有限时间同步控制结论是针对由相同节点组成的复杂网络，而本文所探讨的有限时间同步是针对由不同节点组成的复杂网络。注注6定理1的使用步骤如下。步骤1：针对网络模型(1)，判断外部耦合结构矩第4期吴曼，等：具有不同节点的复杂动态网络有限时间部分状态分量同步控制97C=(cij)NNfi(xi)阵是否为对称矩阵并且满足耗散条件，判断网络(1)中的非线性向量值函数是否满足假设1，若满足，则进行步骤2，否则停止；步骤2：根据实际情况，给出每个节点所关注的部分状态分量，定出特殊矩阵P；C AiiK步骤3：计算的最大特征值，根据定理1，给出在分散控制器(3)中的参量、和。3 数值仿真在这一小节，借助Matlab数值仿真来验证本文理论结果的有效性及正确性。考虑10个分别由Lorenz混沌系统与Rssler混沌系统组成的复杂动态网络。i第 个孤立节点为Lorenz混沌系统30，其中fi(xi)=b1(xi2xi1),d1xi1xi1xi3xi2,xi1xi2h1xi3T(11)b1=10 d1=28 h1=83i=1,2,3,4,5式中：，。j第 个孤立节点为Rssler混沌系统31，其中fj(xj)=xj2xj3,xj1+b2xj2,(xj1d2)xj3+0.2T(12)b2=0.2 d2=5.7 j=6,7,8,9,10式中：，。不失一般性，网络(1)的其他参量选取如下：C=71310201341310102213314111112110112211120112910204201213012202110050121211210202312102101143124222117(13)A=diag(2,0,1)，=2(14)给出参考轨迹s的动力学方程32为 s=s2,s1,sints3T(15)在接下来的仿真中，选取以下初始值：xi(0)=2rand(3,1)1，s(0)=2rand(3,1)1(16)rand(3,1)其中表示一个服从均匀分布的3维随机向量，其每个分量的取值区间为(0,1)。由文献30-31可知，Lorenz混沌系统和Rssler混沌系统是有界的。因此，假设1成立。ui当复杂动态网络(1)中的节点不受控制，即(1)中的 为零向量时，具有参数(11)(16)的网络(1)的同步误差仿真结果如图1所示。从图1可以看出具有参数(11)(16)的复杂动态网络(1)不能自发地实现部分状态分量同步。下面，利用控制器(3)来协助网络(1)实现有限时间部分状态分量同步。00.040.080.120.160.20t/s00.040.080.120.160.20t/s00.040.080.120.160.20t/s86420246ri1r11r12r13r23r33r43r53r63r73r83r93r10,3r22r32r42r52r62r72r82r92r10,2r21r31r41r51r61r71r81r91r10,1ri2ri3151050510604020020406080(a)误差向量 ri 的第 1 个状态分量时间响应曲线(b)误差向量 ri 的第 2 个状态分量时间响应曲线(c)误差向量 ri 的第 3 个状态分量时间响应曲线图1具有参数(11)(16)的网络(1)在不受控时的误差时间响应曲线Fig.1Timeevolutionoferrorvectorsfornetwork(1)withparameters(11)(16)控制器(3)中的参数选取如下：i=50，i=70，K=2，i=1,2,10(17)98广东工业大学学报第40卷下面给出2种网络(1)所需关注同步状态分量的情形，并且在图2和图3给出相应的仿真结果。情形情形1 考虑网络(1)中每个节点的第2个状态分量实现同步，即选取P=diag(0,1,0)(18)由图2可以观察到，网络中每个节点的第2个状态分量实现了有限时间同步，而每个节点的第1和第3个状态分量没有实现同步。t/st/sri1ri2ri3r11r12r13r23r33r43r53r63r73r83r93r10,3r22r32r42r52r62r72r82r92r10,2r21r31r41r51r61r71r81r91r10,100.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t/s00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.00.60.40.200.20.40.60.81.01.21.400.020.040.060.080.100.200.20.40.60.81.01.21.41.61.81.81.61.41.21.00.80.60.40.200.2(a)误差向量 ri 的第 1 个状态分量时间响应曲线(b)误差向量 ri 的第 2 个状态分量时间响应曲线(c)误差向量 ri 的第 3 个状态分量时间响应曲线图2具有参数(11)(18)和控制器(3)的网络(1)的误差时间响应曲线Fig.2Timeevolutionoferrorvectorsfornetwork(1)withparameters(11)(18)andcontrollers(3)情形情形2 考虑网络(1)中每个节点的所有状态分量实现同步，即选取P=diag(1,1,1)(19)由图3可以观察到，网络中每个节点所有状态分量均实现了有限时间同步。即网络实现了有限时间完全同步，借此也可以说明完全同步是部分状态分量同步的特例。0.60.40.200.20.40.60.81.01.21.40.200.20.40.60.81.01.21.41.61.81.81.61.41.21.00.80.60.40.200.2ri1ri2ri3t/s00.020.040.060.080.10(b)误差向量 ri 的第 2 个状态分量时间响应曲线t/s00.020.040.060.080.10(c)误差向量 ri 的第 3 个状态分量时间响应曲线t/s00.020.040.060.080.10(a)误差向量 ri 的第 1 个状态分量时间响应曲线r11r21r31r41r51r61r71r81r91r10,1r12r22r32r42r52r62r72r82r92r10,2r13r23r33r43r53r63r73r83r93r10,3图3具有参数(11)(17)、(19)和控制器(3)的网络(1)的误差时间响应曲线Fig.3Timeevolutionoferrorvectorsfornetwork(1)withparameters(11)(17),(19)andcontrollers(3)图13充分展示了具有参数(11)(17)的复杂动态网络(1)通过分散控制器(3)实现了有限时间部分状态分量同步，从而验证了定理1的有效性。从情形1和情形2可以看出，根据实际情况，所需关注的状态第4期吴曼，等：具有不同节点的复杂动态网络有限时间部分状态分量同步控制99分量可以通过不同的特殊矩阵P来体现。4 结论本文主要探讨了一类具有不同节点的无向网络有限时间部分状态分量同步问题。首先，确定所需关注的状态分量，引入一个特殊对角矩阵来表述这些状态分量，并且可以根据实际情况，通过更改特殊矩阵来改变所需关注的状态分量。基于这一特殊矩阵，给出了有限时间部分状态分量同步的定义。进一步，基于有限时间稳定性定理以及控制理论，设计分散控制器，使得网络实现了有限时间部分状态分量同步。最后，通过了一个数值仿真例子，验证了理论结果的正确性和有效性。在未来的研究中，将进一步研究有向时变时滞复杂网络有限时间部分状态分量同步问题，并且将考虑使用滑模控制、脉冲控制、间歇控制等不同的控制手段使网络实现同步。参考文献：LICG,CHENLN,AIHARAK.SynchronizationofcouplednonidenticalgeneticoscillatorsJ.PhysicalBio-logy,2006,3(1):37-44.1BOCCALETTIS,LATORAV,MORENOY,et al.Com-plexnetworks:structureanddynamicsJ.PhysicsReports,2006,424(4/5):175-308.2LIUHJ,MALF,WANGZD,et al.Anoverviewofstabil-ityanalysisandstateestimationformemristiveneuralnet-worksJ.Neurocomputing,2020,391:1-12.3HONGSRIA,BOTMARTT,WEERAW,et al.Newdelay-dependentsynchronizationcriteriaofcomplexdynamicalnetworkswithtime-varyingcouplingdelaybasedonsampled-datacontrolvianewintegralinequalityJ.IEEEAccess,2021,9:64958-64971.4来鑫,乌建中,张珍,等.多桩锤同步振动系统及同步控制策略研究J.振动与冲击,2012,31(3):147-152.LAIX,WUJZ,ZHANGZ,et 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