必修二-1.3-空间几何体的表面积和体积同步练习和详细答案.docx

1.3 空间几何体的表面积和体积
【知识总结】
1．多面体的面积和体积公式
名称
侧面积(S侧)
全面积(S全)
体 积(V)
棱
柱
棱柱
直截面周长×l
S侧+2S底
S底·h=S直截面·h
直棱柱
ch
S底·h
棱
锥
棱锥
各侧面积之和
S侧+S底
S底·h
正棱锥
ch′
棱
台
棱台
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底
h(S上底+S下底+)
正棱台
(c+c′)h′
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式

名称
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
π(r1+r2)l

S全
2πr(l+r)
πr(l+r)
π(r1+r2)l+π(r21+r22)
4πR2
V
πr2h(即πr2l)
πr2h
πh(r21+r1r2+r22)
πR3
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。
【知能训练】
A：多面体的表面积和体积
一．选择题
1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AB=2，BC=1，∠ABC=90°，若规定主（正）视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的左视图的面积为（　　）
A．455 B．25 C．4 D．2
2．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为（　　）
A．80 B．242+88 C．242+40 D．118
3．一个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为1：2，则截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是（　　）
A．1：4
B．1：2
C．1：（2−1）
D．1：（2+1）
4．正六棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为（　　）
A．972cm2
B．97cm2
C．233cm2
D．32cm2
5．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
6．（文） 四棱锥S-ABCD的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB平行于主视图投影平面）则四棱锥S-ABCD的体积=（　　）

A．24 B．18 C．835 D．8
7．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（　　）
A．48
B．56
C．64
D．72
8．各棱长均为a的三棱锥的表面积为（　　）
A．43a2 B．33a2 C．23a2 D．3a2
9．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（　　）
A．2
B．62
C．13
D．22
10．如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1：V2= ．
11．将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．
12．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为 ．
13．四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为 ．

14．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为 ．
15．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，BC=22，且∠A1AB=∠A1AC=60°，则该三棱柱的体积是 ．

B：旋转体的表面积和体积
1．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（　　）
A．43π B．22π C．23π D．42π
2．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（　　）
A．5π B．4π C．3π D．2π
3．如果圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则此圆锥的侧面积与全面积的比是 （　　）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．2：3
4．圆锥侧面积为全面积的23，则圆锥的侧面展开图圆心角等于（　　）
A．23π
B．π
C．2π
D．以上都不对
5．圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为（　　）
A．81π
B．100π
C．14π
D．169π
6．已知球的直径SC=8，A，B是该球球面上的两点，AB=23，∠SCA=∠SCB=60°，则三棱锥S-ABC的体积为（　　）
A．23
B．43
C．63
D．83
7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（　　）
A．1：1
B．2：1
C．3：2
D．4：1
8．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（　　）
A．1：2
B．1：4
C．1：8
D．1：16
9．体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（　　）
A．S1＜S2＜S3 B．S1＜S3＜S2 C．S2＜S3＜S1 D．S2＜S1＜S3
二．填空题（共5小题）
10．圆锥和圆柱的底面半径和高都是R，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 ．
11．已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为3π和π的矩形，则该圆柱的体积是 ．
12．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S= cm2．
13．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 ．
14．已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O的表面积为 ．
15．已知A，B，C是球面上三点，且AB=AC=4cm，∠BAC=90°，若球心O到平面ABC的距离为22，则该球的表面积为 cm3．
11．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为 ．
三．解答题（共3小题）
16．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．
（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？
（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？

17．（文）如图，球O的半径长为103．
（1）求球O的表面积；
（2）求球O的体积；
（3）若球O的小圆直径AB=30，求A、B两点的球面距离．

18．设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O．
（1）求球O的体积和表面积；
（2）与底面距离为1的平面和球的截面圆为M，AB是圆M内的一条弦，其长为23，求AB两点间的球面距离．

参考答案：
A：
1、A 2、B 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D
10、

11、

12、解：不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图
当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形．
设△ABC的面积为S，则S梯形ABFE=34S，V水=34S•AA1=6S．
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh，
∴6S=Sh，∴h=6．
故当底面ABC水平放置时，液面高为6．
故答案为：6
13、1:4 14、 43 15、22
B：
1、C 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、C 8、C 9、C
10、(1+2)：4
11、

12、解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，
侧面展开图的面积 S=[（50+80）×20π×2]/2=2600πcm2．
故答案为：2600π
13、3 14、8π 15、64π
16、解：（1）∵该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm，
∴半球的直径也是6cm，可得半径R=3cm，
∴两个半球的体积之和为V球＝43πR3＝43π•27＝36πcm3…（2分）
而V圆柱＝πR2•h＝π×9×2＝18πcm3…（2分）
∴该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm3…（4分）
（2）根据题意，上下两个半球的表面积是
S球表＝4πR2＝4×π×9＝36πcm2…（6分）
而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12πcm2…（8分）
∴1个“浮球”的表面积为S ＝36π+12π10＝48π10m2
因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500S ＝2500×48π10＝12πm2…（10分）
∵每平方米需要涂胶100克，
∴总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）…（12分）
答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200π克．…（13分）
17、解：（1）球的表面积为4πr2=1200π；  …（4分）
（2）球的体积V＝43πr3＝40003π；    …（8分）
（3）设球心为O，在△AOB中，球O的小圆直径AB=30，球O的半径长为103．
解得∠AOB＝2π3，所以A、B两点的球面距离为20π3π．    …（15分）
18、解：（1）∵底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O，
∴球O的半径为2cm，
∴球O的体积为43π•23=32π3，表面积4π•22=16π；
（2）∵AB是圆M内的一条弦，其长为23，
∴∠AOB=2π3，∴AB两点间的球面距离为4π3．