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椭圆及其标准方程教学设计

青铜峡市高级中学
二○○六年十月

课题 椭圆及其标准方程

一学情分析
学生在必修Ⅱ中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。
二、教学目标
知识技能：
〈1〉掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程
〈2〉能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。
过程方法：
〈1〉通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。
〈2〉通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。
三、教学重点，难点分析
重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。
难点：椭圆标准方程的建立和推导。
关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。
椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中，先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。
四、教法建议
〈1〉安排学生提前预习，动手切割圆锥形的事物，使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。
〈2〉对椭圆定义的引入，要注重于借助直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念。
〈3〉将课本提出的问题分解成若干小问题，通过学生、教师动手演示，来体现椭圆定义的实质。
〈4〉注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。
〈5〉推导椭圆的标准方程时，教师要注重化解难点，实施的补充根式化简方法。
〈6〉讲解完焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程。然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识。
〈7〉在学习新知识的基础上要巩固旧知识。
〈8〉要突出教师的指导作用，又要强调学生的主体作用，课堂上尽量让全体学生参与讨论。由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生团结协作的团队精神。
五、课前准备
1、每人准备一根细绳、一卷胶带。
2、圆锥曲线模型。
六、教学基本流程

小结与布置作业
例题及练习
回忆圆的定义，及画法
根据条件，建立椭圆的标准方程
类比画出椭圆，引出椭圆定义

七、教学过程设计
问题
设计意图
师生活动
1、我们在必修Ⅱ中，已学习圆的知识，请同学们用集合的观点叙述圆的定义。
在数学学习中，我们可以用类比方法由学习、熟悉的知识引入新的知识。
教师在黑板上，分别用圆规画圆；用线绳画圆。让学生观察、回答圆的定义。
问 题
设计设计意图
师生活动
2、同学们，除了大家所熟悉的圆，还有另一种圆锥曲线----椭圆。请大家举例生活中椭圆的形象。

让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。
学生思考、回答。如：地球运行轨道。圆锥、圆柱的斜截面。教师展示截面是椭圆的模型。
3、如何画椭圆的呢？
培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。
学生思考、试验。教师可提示采用线绳画。
〈1〉固定在两点F1、F2，
〈2〉细绳长用2a表示2a＞∣F1F2∣
〈3〉套上铅笔，拉动细绳移动笔尖。

4、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足的几何条件是什么？
培养学生观察能力、归纳总结能力，为形成椭圆定交奠定基础。
分析画图过程中的“变”与“不变”的条件M F1，M F2都在变化，但∣MF1∣+∣MF2∣的长度保持不变。

问 题
设计设计意图
师生活动
5、如何描述动点M所满足的几何条件。
整理试验，归纳抽象成数学问题。
把平面内与两个定点F1，F2，的距离之和等于常数（大于∣F1F2︳）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书）。
6、如何用集合表示M点所满足的几何条件。
使学生能将文字语言转化为数学语言，为推导椭圆标准方程做铺垫。
学生回答：教师板书P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜
7、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？
推导曲线方程时，建立坐标系要适当。
师生共同分析椭圆的特征（如：对称性），使方程比较简单；以线F1F2的中心为原心，以F1F2垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系。
完成“建系”，设动点M（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（C＞0），则F1（－C，0），F2（C，0），又设M与F1F2的距离和等于2a（板书）
问 题
设计设计意图
师生活动
8、请同学们来表示M到F1F2的距离
∣MF1∣，∣MF2∣
巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。

∣MF1∣=
∣MF2∣=
由P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜得+=2a
9、如何整理化简上式。
学习巩固根式化简，两边平方。
找两位同学板演，其余同学自己完成，化简到：

F1 O F2
10、观察下图，找出表示a、c、的线段
Y
确定a、b、c的几何定义及其关系
通过观察y轴是F1 F2的中垂线，P到F1 F2的距离相等，OF1，OF2被y轴平分，所以：
X

∣PF1∣=∣PF2∣=a,
∣OF1∣=∣OF2∣=c,
∣P0∣=
由∣P0∣=，令b=,b2=a2-c2，即：代入得椭圆形标准方程：
根据上图知：a﹥b﹥0

问 题
设计设计意图
师生活动
11、对于椭圆形标准方程(a﹥b﹥0)的特点是什么？还有什么结论。

适时总结归纳，区分焦点在X轴与Y轴的不同。

学生讨论，教师板书。
<1>(a﹥b﹥0)的焦点在X轴上；
<2>a-b=c（结论）
12、P38思考

Y

F2
M
X
F1

推导焦点在Y轴上的椭圆标准方程
学生已有推导焦点在x轴上的椭圆标准方程的经验，教师通过以下几点引导，由学生完成〈1〉设出动点，焦点坐标，注：特别教师焦头烂额坐标，应在y轴上〈2〉列出相等关系（定义）〈3〉化简整理，得椭圆的另一标准方程

13、椭圆的另一个标准方程（a﹥b﹥c）有什么特点，有什么结论？
对比上一个焦点在x轴上的椭圆标准方程

〈1〉交点在y轴上
〈2〉a2-b2=c2（结论）
问 题
设计设计意图
师生活动
例1P38
求标准方程
区别焦点不同，选择设不同的方程，会用定义来求椭圆标准方程，或用待定系数法来求椭圆标志方程
由学生独立思考，发表各自的想法，教师适时引导，强调要注意的问题，及时总结：
〈1〉确定要设的椭圆标准方程
〈2〉要求椭圆标准方程，即要求a，b
〈3〉恰当列出含a，b，c的方程
〈4〉相等关系a2-b2=c2
练习：写出适合下列条件的椭圆方程
〈1〉a=4，b=1，焦点在x轴上。
〈2〉a=4，c=，焦点在y轴上。
〈3〉a+b=10，c=2
分析：以上练习较简单，其目的为了巩固求椭圆标准方程，及区别焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆标准方程

小结：以提问形式
〈1〉椭圆是怎样的点的轨迹？〈2〉椭圆的标准方程是怎样的？
〈3〉椭圆的两个标准方程有什么区别？
布置作业：课本习题2.1A组P463题

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