山东省2014年12月普通高中学业水平考试数学试题(解析版).doc

山东省2014年12月普通高中学业水平考试
数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分100分，考试限定用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（共60分）
注意事项：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在试卷上无效.
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
解析：考查集合的运算，答案：B.
2、角的终边在（ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解析：考查象限角，答案：B.
3、函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
解析：考查三角函数的周期，答案：D.
4、在平行四边形中，等于（ ）
A. B. C. D.
解析：向量的简单运算，平行四边形法则，答案：A.
5、从96名数学教师，24名化学教师，16名地理教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量为17的样本，则应抽取的数学教师人数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 12 D. 15
解析：考查统计初步知识，分层抽样方法，答案：C.
6、已知向量，则等于（ ）
A. 1 B. C. D. 2
解析：考查向量模的运算，答案：B.
7、从7名高一学生和3名高二学生中任选4人，则下列事件中的必然事件是（ ）
A. 4人都是高一学生 B. 4人都是高二学生
C. 至多有1人是高二学生 D. 至少有1人是高一学生
解析：考查概率事件的基本概念，必然事件，答案：D.
8、过两点的直线斜率等于（ ）
A. B. C. 2 D. 4
解析：考查两点的斜率，两点式，答案：C.
9、不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
解析：考查一般不等式的解法，答案：A.
10、圆心在点并且和轴相切的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
解析：考查圆心、圆的方程、直线与圆相切等概念，答案：B.
11、已知且是第二象限角，则等于（ ）
A. B. C. D.
解析：考查角的正余弦值，恒等式应用，答案：B.
12、在等差数列中，则等于（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
解析：考查等差数列的简单运算，答案：C.
13、若二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解析：考查二次函数与轴交点的个数，判别式应用，答案：D.
14、一个底面是正三角形的直三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24

解析：考查三视图，几何体的直观图，几何体的侧面积，答案：C.
15、已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
解析：考查三角函数的倍角公式，答案：D.
16、在等比数列中，，公比，则该数列的前5项和等于（ ）
A. 31 B. 32 C. 63 D. 64
解析：考查等比数列的前项和公式，答案：A.
17、在中，角所对的边分别为若则等于（）
A. B. C. D.
解析：考查三角函数的余弦定理，答案：C.
18、已知则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
解析：指数函数单调性，判断大小，答案：A.
19、当满足约束条件时，目标函数的最大值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
解析：考查约束条件的目标函数，答案：D.
20、如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A. 25 B. 35 C. 45 D. 55

解析：考查程序框图：初始：第一圈：
第二圈： 第三圈：第四圈：
第五圈：因为：所以输出：25.

第Ⅱ卷（共40分）
注意事项：
1、 第Ⅱ卷共8个小题，共40分.
2、 第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡上规定的区域内，写在试卷上的答案不得分.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
21、的值是
解析：常用角度的三角函数值，答案：
22、已知函数则
解析：考查分段函数求值，答案：，答案：4.
23、两条直线的交点坐标是
解析：考查两条直线的交点，解方程组，答案：.
24、已知且则的最大值是
解析：基本不等式的简单应用，，答案：4.
25、一个正方形及其内切圆，在正方形内随机取一点，则所取的点在圆内的概率是
解析：考查几何概型，，答案：.
三、解答题（本大题共3个小题，共25分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
26、（本小题满分8分）
有5张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5，从中任取2张，求：
（1） 卡片上数字全是奇数的概率；
（2） 卡片上数字之积为偶数的概率.
解：法一：从中任取2张的基本事件为：
共10个；
卡片上数字全是奇数的事件为：共3个；
所以卡片上数字全是奇数的概率为：；
卡片上数字之积为偶数的事件为：共7个；
所以卡片上数字之积为偶数的概率为：.
法二：从中任取2张的基本事件为：

共20个；
卡片上数字全是奇数的事件为: 共6个；
所以卡片上数字全是奇数的概率为：；
卡片上数字之积为偶数的事件为：
共14个，所以卡片上数字之积为偶数的概率为：.
27、（本小题满分8分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱的中点.
求证：平面.

解析：线面平行，只要证线线平行即可，根据中点构造三角形中位线即可；
解：因为四边形是平行四边形，可知：,
在内，连接由于分别是棱的中点,
所以，有平行线的传递性，可得，
又所以：平面.
28、（本小题满分9分）
已知函数的图象关于原点对称.
（1） 求的值；
（2） 若试比较与的大小，并说明理由.
解析：此题考查奇函数的定义，比较两个数的大小.
解：（1）根据题意可知：，
即：
化简：，
即：，
，即
所以：，由于，解得：
所以，综上可知：
（2）由（1）可知：，定义域为：
由根据定义域不妨设
若有
若有：
，
作差比较大小：

现在只要比较与“1”的大小即可，
即比较①与“0”的大小即可，
化简①式：

即得：
所以，即
即：
同理可得当时，有，得：
综上可得：⑴：时：
⑵：时：

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