兰州成功私立中学高中奥数辅导资料.doc

智浪教育--普惠英才文库
兰州成功私立中学高中奥数辅导资料
（内部资料）
§19立体图形，空间向量
一. 直线,平面之间的平行与垂直的证明方法
1．运用定义证明(有时要用反证法); 2．运用平行关系证明;
3．运用垂直关系证明; 4．建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.
例如,在证明:直线直线时.可以这样考虑
(1)运用定义证明直线与所成的角为; (2)运用三垂线定理或其逆定理;
(3)运用“若平面,,则”; (4)运用“若且,则”;
(5)建立空间直角坐标系,证明.
二. 空间中的角和距离的计算
1．求异面直线所成的角
(1)(平移法)过P作,,则与的夹角就是与的夹角;
(2)证明(或),则与的夹角为(或);
(3)求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角().
2,求直线与平面所成的角
(1) (定义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角;
(2) 证明(或),则与的夹角为(或);
(3) 求与的法向量所成的角,则与所成的角为或.
3．求二面角
(1) (直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P作AB的垂线,
交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角.
(2) (面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F
的面积为,F在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).
(3) (异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角
的平面角,EA在半平面内且于点A,BF在半平面内且FB
AB于B,而,,.
(4) (三面角的余弦定理),三面角中,,,,又二面角
,则.
(5)(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为
(同类)或(异类).
4.求两点A,B间距离
(1)构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求.
5.求点到直线的距离
(1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行红色之间的距离.
6.求点到平面的距离
(1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高,其中V为棱锥体积,S为底面面积,为底面上的高.(4)在平面上取一点A,求与平面的法向量的夹角的余弦,则点P到平面
的距离为.
7.求异面直线的距离
(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高;
(3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;
(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;
(5)(射影法)如果两异面直线在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线,
则与的距离等于P到的距离; (6)(公式法).
8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.
三.多面体与旋转体
1.柱体(棱柱和圆柱)
(1)侧面积(为直截面周长,为侧棱或母线长)(2)体积(为底面积,为高)
2.锥体(棱锥与圆锥)
(1)正棱锥的侧面积(为底面周长,为斜高)(2)圆锥的侧面积:
(为底面周长,为母线长)(3)锥体的体积:(为底面面积,为高).
3.锥体的平行于底面的截面性质:.
4.球的表面积:; 球的体积:.
四.解题思想与方法导引
1.空间想象能力; 2.数形结合能力; 3.平几与立几间的相互转化; 4.向量法
例题讲解
1．正四面体的内切球和外接球的半径之比为( )
A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9

2．由曲线,,,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为;满足,,的点组成的图形绕
轴旋转一周所得的几何体的体积为,则( )
A
B
C
D
A, B, C, D,

3．如右图,底面半径,被过A,D两点的倾斜平面所截,截面是离心
率为的椭圆,若圆柱母线截后最短处,则截面以下部分的
几何体体积是( )
A, B, C, D,

4．在四面体ABCD中,设,,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四
面体ABCD的体积等于( )
A, B, C, D,

5．三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1,
那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是( )
A, B, C, D,

6．四面体ABCD的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为,共10个
点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是( )
A, B, C, D,

7．正方体的棱长为,则异面直线C与BD间的距离等于 .

8．正四棱锥中,,二面角为且,(,
为整数),则 .

9．在正三棱锥中,,,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面
的周长最小时, ,P到截面ADE的距离为 .

10．空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这
四个球都相切,则这个小球的半径等于 .

11．三个的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两
A
B
片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个
多面体的体积为 .

12．直三棱柱中,平面平面,且=
,则AC与平面所成的角的取值范围是 .

A
B
C
A1
B1
C1
13．如图,直三棱柱中,,连接,,
,若,求证:

A
B
C
D
M
K
N
S

14．如图,设是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥,
K是棱SC的中点,过AK作平面与线段SB,SD分别交于M,N
(M,N可以是线段的端点).试求四棱锥的体积V
的最大值与最小值.

15．有一个的长方体盒子,另有一个的长方体盒子,
其中均为正整数(),并且前者的体积是后者一半,求的最大值.

课后练习
1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四
面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一
个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点
的这个正四面体的体积为( )
A, B, C, D,
2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之
比为( )
A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3
3．设二面角的大小是,P是二面角内的一点,P点到的距离分别为1cm,
2cm,则点P到棱的距离是( )
A, B, C, D,
A
B
C
D
E
F
4．如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC
的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是( )
A, B,
C, D,
5．棱长为的正八面体的外接球的体积是( )
A, B, C, D,
6．若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面
的位置关系是 .
7．若异面直线所原角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为
2和平共处的两点,当时,线段AB的长为 .
8．如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件
时,有C(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)

A
B
C
D
A
B
C
D
图(1)
A
B
E
N
M
图(2)

C
D
F
9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:
①AB与EF所连直线平行; ②AB与CD所在直线异面;
③MN与BF所在直线成; ④MN与CD所在直线互相垂直.
其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)
10．如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将沿
DE折起来使得A到,且为的二面角,求到直线BC的最小距离.
A
B
O
C
D
E
O
A

11．如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.
(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;
(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.
A
B
C
D
P
Q

课后习题答案
1．过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,为底面ABC的中心,
设正四面体VABC的棱长为,则AM==VM,=,
,,得
在中,,即,得.
则,有.选B.
温馨提示:正四面体外接球的半径:内切球的半径=.
2． ,选B.
3．设PA棱于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=,,则
,得,有或(舍去),
所以,选B.
4．由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.
由对称性得,于是.
,选B.
5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,
外接球的体积,选D.
6．当时,AB//;当时,AB//或AB;当时,AB//或与斜交.
7．由,得
(1)当时,有,得;
(2)当时,有,得.
8． ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)
9．将展开的平面图形还原为正方体,可得只②,④正确.
10．解:设的高AO交DE于点,令,
由AO=,有,
在中,,有
得.
当时,到直线BC的最小距离为6.
11．解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则
Q,P(0,0,1),D得,
由,有,得 ①
若方程①有解,必为正数解,且小于.由,,得.
(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;
(ii)当时, BC上不存在点Q,使PQQD.
(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,
这时,,得,有.
又平面APD的法向量,设平面PQD的法向量为
而,,
由,得,解得有,则
,则所以二面角的正切为.
例题答案：
1,B 设棱长为,外接球的半径为R,内切球的半径为,则
解得,,有:R=1:3.
2,C 设,则过A的两个截面都是圆环,面积分别是和
,于是.
3,B 在椭圆中,又,得,所求的体积
4,B 过C作,以为底面,BC为侧棱作棱柱,则所求四面体的体
积等于上述棱柱体积的,而的面积,AB与CD
的公垂线MN就是棱柱的高,于是=
,因此.
5,A 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为
.
6,D .
7, 设E是上的点,过E作EH于H,所以EH面ABCD,过H在面ABCD
内作HF,连接EF,所以EFBD,令,,,所以EF=
.
8,5 因各侧面为全等的等腰三角形.在内作高AE,则CE也是的高,故
.设则,,
=.,
得.
9, ; 将三棱锥的侧棱PA剪开,当的周长最小时,其展开图如图
A
B
C
D
E
A’
P
的周长即是展开图中线段的长.易证
∽,又PA=2AB=,故,
,.中,
DE上的高.于是
; 从P向底面作高PO.则PO=
=.于是.
又,得.设P到截面的距离
A
B
C
D
E
F
O
为,则,于是.
10, 设半径为3的球心为A,B,半径为2的球心为C,D.则易知
AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为O,半径为,则O在
四面体ABCD内且AO=BO=3+,CO=DO=2+.取AB中点E,连结
CE,DE,则CEAB,DEAB,故平面CDE为线段AB的垂直平分面
,所以O在平面CDE内,又由OC=OD=2+知O在CD的垂直平
分面内,故O在等腰底边CD上的高EF上(F为CD中点),易算出ED=EC=
,得为等边三角形.于是EF=.而
=.OE=,代入OE+OF
=EF=2得,解得.
11,864 将几何体补成一个棱长为12的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为.
12, 作AD于D,易证AD平面,所以.设,
,则,故.易证BC平面,
故,从而,即,于是,,
又,得.
13,证明:设D,分别为AB,的中点.连结CD,及,.因为,所以
四边形为平行四边形,得//.因AC=BC,于是.又D, 分别为
AB,的中点,故CDAB,,而在平面ABC(或)内的射影为AB
(或),得CD,,又已知,所以平面B,从而
,又//,所以.又,得平面CD,从而得证.
A
B
C
A1
B1
C1
S
H
H1
14,解:为了建立V与原四棱锥的关系.我们先引用
下面的事实:
(如图)设分别在三棱锥的侧棱SA,SB,SC上,
又与的体积分别是和V,则
.
事实上,设C,在平面SAB的射影分别是H,.则,
又,所以.下面回到原题.
设,,因的体积为.于是由上面的事实有
.得=
=,于是,
而由,,得.则,().
又得.所以
(1)当时,,V为减函数,(2)当时,,V为增函数.
所以得,又,得.
15,解:由题意,,得.
(1)当时,由,则,矛盾!
(2)当时,,矛盾!
(3)当时,则,即.
所以的最大值为130;
(4)当时,则,即.
所以的最大值为54;
(5)当时,,得.
综上所述:的最大值为130.