资源描述
金牛区 2019 —2020学年（上）期末教学质量测评
九年级数学
A 卷（共 100 分）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）.
1. 如图所示的几何体是由 6 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知x : y = 3: 2
，则下列各式中正确的是（
）
x + y 5
x - y 1
x 2
x +1 4
=
=
=
=
A．
B．
C．
D．
y
2
y
3
y 3
y +1 3
3.RtDABC中，
ÐC = 90° b
，
= 15 ，c
= 4，则cosB的值是（
）
15
1
B．
3
15
C．
1
D．
4
A．
4
15
( )
= 3 x - 4 -
2 2
4.由二次函数y
A．其图象的开口向下
可知（
）
= 4
B．其图象的对称轴为直线x
( )
C．其顶点坐标为 4,2
< 4
时，y 随x 的增大而增大
D．当x
5.书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是(
)
4
9
3
1
A．
B．
C．
D．
25
25
10
10
6.如图，DABC的面积为 12，点 D 、 E 分别是边 AB 、
的中点，则 ADE 的面积为（
D
）
AC
A．6
B．5
C．4
D．3
/ /AC
//
， AE BD .则四边形 AODE一定
7.如图，在菱形ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O，DE
是（
）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．不能确定
1
( )
-1, 1
= -
8.已知反比例函数 y
，下列结论：①图象必经过点
；②图象分布在第二，四象限；③在每一个
x
象限内， y 随 的增大而增大.其中正确的结论有（
）个.
x
A．3
B．2
C．1
D．0
9.由于受猪瘟的影响，今年 9 月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克 23 元，连续两次上
%
涨 a 后，售价上升到每千克 40 元，则下列方程中正确的是（
）
( )
( )
23 1- a% = 40
23 1+ a% = 40
A．
2
B．
D．
2
(
)
( )
23 1- 2a% = 40
23 1+ 2a% = 40
C．
2
2
中，点C 为弧 AB 的中点.若ÐADC=a
a
ÐAPB =（
（ 为锐角），则
10.如图，在
）
O
A．180° -a
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
B．180°- 2a
C．75°+
D． a
3
a
11.
＝ 2
将抛物线 y x 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则得到的抛物线解析式是
．(结
果写成顶点式）
+ + =
m n mn
12.
13.
m n
已知 、 是一元二次方程
x
2
- 2x -3 = 0
的两根，则
．
=
2cm ÐABO= 30°
， ，则菱形 ABCD
如图，已知菱形 ABCD的对角线 AC 、 BD交于点O，OC
．
的面积是
14.
D
D
Ð
=Ð
=90° ÐC=ÐABD AC=5
如图， ABC与 ADB 中， ABC ADB
=4
， AB ， AD 的长
，
，
．
为
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分)
tan 45° - 12 + 20190 + 4 sin 60°
15.（1）计算：
2x -3x -1= 0
（2）解方程：
2
x
2
+ 2xy + y
2
x + y
x
2
- y
= 3
=1，求
¸
+
16.先化简，再求值：已知x
， y
的值.
5x - 4xy
5x - 4y
x
2
17. 如图，在10´10
的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，建立如图所示的坐标系.
(1)若将DABC
沿 轴对折得到
x
DA BC
，则 的坐标为
.
C
1
1
1
1
(2)以点B 为位似中心，将DABC各边放大为原来的 2 倍，得到DA BC ，请在这个网格中画出DA BC
.
2
2
2
2
(3)若小明蒙上眼睛在一定距离外，向10´10的正方形网格内掷小石子，则刚好掷入DA BC
的概率是多少？
2
2
(未掷入图形内则不计次数，重掷一次)
18.金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼 AB 的高度.如图，小组成员选择
42°
的顶部 处的仰角为 ，测得
在楼AB 前的空地上的点 处将无人机升至空中 处 ，在 处测得楼
C
D
D
AB
A
楼AB 的底部B 处的俯角为30°
.已知D 处距地面高度为
12m，则这个小组测得大楼 AB 的高度是多少？
tan 42° » 0.90 tan 48° »1.11 3
»1.73)
(结果保留整数，参考数据：
，
，
( ) ( )
A 4,a B 10,-4
，
m
x
19. 如图，已知点
是一次函数y = kx + b 图象与反比例函数y =
图象的交点，且一
次函数与 轴交于C 点.
x
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
DAOB
（2）连接 AO，求
的面积；
= S
（3）在 y 轴上有一点 P ，使得 S
，求出点 P 的坐标.
DAOP
DAOC
20. 如图，在DABC中，
AB = AC
， O 是
DABC的外接圆，连结OA OB OC
、
、
，延长BO与 AC 交
于点 D ，与 O 交于点 F ，延长 BA 到点G ，使得ÐBGF＝ÐGBC
，连接
.
FG
（1）求证： FG 是 O 的切线；
（2）若 O 的半径为4
①且OD
= 3，求 AD的长度；
②当
DOCD是直角三角形时，求DABC的面积.
B 卷（共 50 分）
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
21. 若
x = 2 是关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx -8 = 0
（
a 0
¹
2020 2a b
+ +
）的解，则代数式
的值
是
.
( ) ( )
+ + =
22.
-
+
-
若关于x 的方程 a 2 x2 2a 3 x a 1 0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围
.
是
k
、
23.如图，正方形ABOC与正方形EFCD的边OC OD
F AC 边上，反比例函数y
均在x 轴上，点 在
=
x
= 3，则 =
k
的图象经过点A、E ，且S
.
DOAE
24.在一个不透明的盒子里装有 5 个分别写有数字 0，1，2，3，4 的小球，它们除数字不同外其余全部相同.
现从盒子里随机摸出一个小球(不放回)，设该小球上的数字为m ，再从盒子中摸出一个小球，设该小球上
( )
= -x + 4x
的数字为n ，点P 的坐标为P m,n2
-1
，则点 落在抛物线y
P
与x 轴所围成的区域内（含边
2
界）的概率是
.
y = -x + 2x +3
A B y C
的图象与x 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，对称轴与x 轴交于
25.如图，二次函数
2
10
PC + PD 的最小值为
点D ，若点P 为y 轴上的一个动点，连接PD，则
.
10
二、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分）
26.成都市某景区经营一种新上市的纪念品，进价为20 元/件，试营销阶段发现:当销售单价是 30 元时，每
天的销售量为 200 件；销售单价每上涨 2 元，每天的销售量就减少 10 件.这种纪念品的销售单价为x (元) .
(1)试确定日销售量 y (台)与销售单价为 x (元)之间的函数关系式；
(2)若要求每天的销售量不少于 15 件，且每件纪念品的利润至少为 30 元，则当销售单价定为多少时，该纪
念品每天的销售利润最大，最大利润为多少？
= 4 Ð = °
，
B 45 AC AB
^
BC
上一动点，过 P 作 AP 的垂线交CD
27.如图，在
ABCD中，AB
，
，P 是
于 E ，将
DPCE翻折得到DPCF
于 .
，延长 FP 交 AB 于 ，连结 AE ， PE 交 AC G
H
= PF
（1）求证 PH
BP = 3PC
（2）当
时，求
AE 的长
= AH AB
（3）当 AP2
时，求
AG的长.
( )
A -1,0
，
y = ax2 +bx + c a
（
¹ 0
A B y C
）与 x 轴交于点 、 ，与 轴分别交于点 ，其中点
28.如图，已知抛物线
( )
C 0,2 ，且ÐACB= 90°
点
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是线段AB 上的一个动点，过P 作PD / /AC
交BC 于点，当DPCD
面积最大时，求点P 的坐
标；
（3）点M 是位于线段BC 上方的抛物线上-点，当ÐABC恰好等于DBCM 中的某个角时，求此时点
的
M
坐标.
试卷答案
A卷
一、选择题
1-5:CADBC
6-10:DBAAB
二、填空题
16
5
( )
= x + 3 - 2
-1
cm
8 3 2
11.y
2
12.
13.
14.
三、解答题
15.（1）解：原式=1- 2 3 +1+ 2 3
= 2
a = 2 b = -3 c =1
（2）解：∵
，
，
( )
( )
D = -3 - 4´2´ -1 =17 > 0
∴
2
3± 17
2´2
=
∴ x
3+ 17
3- 17
x =
1
=
， x
∴
4
4
2
( )
(
x + y
2
2
5x
- 4y x - y
16.解：原式=
+
)
x 5x - 4y x + y
x
x + y x2 - y
=
+
x
x
=1+ x
= 3
=
， y 1时
当 x
=1+ 3
原式
.
( )
4,-1
17.（1）
（2）
1
= ´6´4 =12
（3）∵ S
，
DA BC
2
2
2
12
3
=
=
100 25
∴ P
18.
^ AB
解：过点 D 作 DE
于点 E ，
则
在
BE = CD =12cm，
RtDBDE中，ÐBDE = 30°
，
BE
12
3
ÐBDE =
tan 30° =
=
DE 3
=
DE 12 3m
.
∵ tan
，∴
，∴
DE
RtDADE
中，ÐADE = 42°
在
，
AE
AE
ÐADE =
，∴ tan 42° =
»
=
´ »
AE 12 3 0.9 18.68m
∵ tan
0.9 ，∴
，
DE
12 3
AB = AE+ BE =18.68+12 » 31m
∴
.
答：这个小组测得大楼 AB 的高度是31m
.
BD ^ x
19.解：（1）作
轴于 D ，垂足为 ，
D
B(-10,-4)
，
∵
∴
k = x y = 40，
B
B
40
=
∴反比例函数的解析式为： y
；
x
x = 4时，
=10
=
a 10
，即 .
当
y
( )
4,10
y
= kx + b
∴ A
代入
中，
ì4k + b =10
ìk =1
∴ í
-10k + b = -4，解得íb = 6
，
î
î
∴一次函数的解析式为： y
= x + 6；
( )
-
C 6,0
，∴
（2）∵ y
= x + 6，∴令 y = 0，则 = -
x 6
∴OC = 6
，
S
= S
+ S
∴
DAOB
DBOC
DAOC
1
1
= OC BD + OC y
2
2
A
1 ( )
= ´6´ 4 +10
2
= 42
( )
P 0,n
（3）设点
1
1
= OP x = | n | 4 = 2 | n |
则 S
∵ S
DAOP
DAOC
2
A
2
1
2
1
=
OC y = ´6´10 = 30 ，
2
A
∴ 2 | n |= 30
，∴
= ±
n 15
( ) ( )
P 0,15 P 0,-15
1
∴
或
2
20.解：（1）连接 AF
∵ BF 为 的直径，
O
ÐBAF = 90° ÐFAG = 90°
， ，
∴
∴
∵
∵
ÐBGF+ÐAFG= 90°
AB = AC ，∴ÐABC = ÐACB
ÐACB= ÐAFB ÐBGF = ÐABC
，
ÐBGF = ÐAFB
∴
∴
ÐAFB+ÐAFG = 90°，即ÐOFG= 90°
.
又∵OF 为半径
∴ FG 是 的切线.
O
（2）①连接CF ，
ÐACF = ÐABF
则
，
DABO@ DACO，∴ÐABO= ÐBAO= ÐCAO= ÐACO
易证：
ÐCAO = ÐACF
∴
∴
，∴ AO / /CF
AD OD
=
CD DF
，
= BD = 7
，∴ DF 1， ，
∵半径是 4，OD
= 3
AD
1
= 3，即CD = AD
∴
CD
3
又由相交弦定理可得： AD CD
= BD DF
1
，即 AD2 7 ，
= 7
=
∴ AD CD
3
= 21
∴ AD
（舍负）
（2）②∵
DODC为直角三角形，ÐDCO不可能等于90°.
∴i）当ÐDCO = 90°时，
= ÐACF
OD = DF = 2 BD = 6
，
AD = CD
，∴
由于 ACO
∴ AD CD
，∴
= AD = 6´2 =12
2
，
= 2 3 AC = 4 3
， ，
∴ AD
1
= ´4 3´6 =12 3
∴ S
；
DABC
2
ii）当ÐCOD = 90°时，
∵OB
= OC = 4，∴ DOBC
= 4 2
是等腰直角三角形，∴BC ，
延长 AO交 BC 于点
，
M
^ BC
则由前面可知： AM
，∴ MO
= 2 2
，∴
AM = 4 + 2 2
，
( )
1
= ´4 2 ´ 4 + 2 2 = 8 2 +8
∴ S
.
DABC
2
B 卷
一、填空题
21.2024
17
8
3
<
¹
22. a
且 a
2
23.6
24.
10
3 10
25.
5
二、解答题
x -30
= 200-
10 = -5x + 350
；
26.解：（1） y
2
（2）设每天的销售利润为w 元.
( )(
)
则 w
= x - 20 -5x +350 = -5x + 450x -700
2
( )
= -5 x - 45 2 + 3125
ì-5 + 350 ³15
x
∵ í
îx - 20 ³ 30
∴50£ x £ 67
-5< 0
x = 45
，
∵
且对称轴为：直线
∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，w 随着 x 的增大而减小，
∴当 x
= 50
时，w 取最大值为 3000 元.
答：当销售单价定为 50 元时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为3000 元.
ÐB = 45° ÐPCE =135°
知
27.解：（1）由
ÐPCF =135°，又∵ AC ^ AB，∴ÐACB= 45°
∴
ÐCEG+ÐCGE = 90° ÐPAG+ÐPGA= 90°
，
故 F 在 AC 的延长线上.又
ÐCGE = ÐPGA，∴ÐPEC = ÐPAG
而
ÐPEC = ÐF
Ð = Ð
，∴ PAF F ，∴ PA PF ，
=
而
ÐCAP+ÐPAH = 90° ÐF +ÐPHA= 90°，∴ÐPAH = ÐPHA
，
又
= PH
PF = PH
，∴
∴ PA
^ BC
（2）作 A作 AM
于 M ，
= AC
， AB 4 ，∴ BM
=
BP = 3CP，∴
MP = 2
，又∵
∵ AB
∴ AP
= CM = 2 2 AM = 2 2
，
= 10
DAPE
=
是等腰直角三角形，∴ AE
2 5
不难证明
= AH AB
Ð
= ÐPAB得
，且 PAH
（3）由 AP2
DAPH DABP
Ð
，∴ APH
45
= Ð = °
B
ÐPAF = ÐF = 22.5°，∴ÐBPA= ÐBAP= 67.5°
∴
= AB = 4
= -
，∴ PC 4 2 4
∴ BP
ÐEPC = ÐEPC = ÐACP-ÐF = 22.5°
ÐGPC = ÐPAC，而∴ÐAPC = ÐAPC
∵
∴
DCPG DCAP
=
，∴CP CG CA
∴
2
=12 -8 2
= 8 2 -8
∴CG
∴ AG
( ) ( )
-1,0 C 0,2
，
28.解：（1）∵ A
=1 OC = 2
，
∴OA
ÐACB= 90°
∵
= OA´OB
∴由射影定理可得：OC2
，
( )
B 4,0
= 4
∴OB
，∴点
( )( ) ( )
1
2
= a x +1 x -4
0,2
= -
射抛物线的解析式为： y
∴抛物线的解析式为： y
，将点
代入上式得：a
.
1
3
= - x + x + 2
2
.
2
2
（2）过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于 E ，
( )
1
= - x + 2
设 P m ，
,0 l
： y
2
BC
æ
∴ E çm,
è
1
ö
- m + 2
y = 2x + 2
：
l
÷ ，又∵
2
ø
AC
( )
P m,0
，把 代入
y
= 2x + b
= -
b 2m
故可设l
：
PD
ì
ï
4m + 4
ì
1
x
=
ï
= - x + 2
ïy
æ
4m 4 8 2m ö
+
-
5
8- 2m
5
联立 í
2
解得： í
∴ Dç
è 5
,
÷
5 ø
ï
ï
= 2x - 2m
y =
îy
ï
î
ö 4m + 4
ø 5
1
11æ 1
1 ( )( )
5
S = PE | x - x |=
- m + 2÷
= - m - 4 m +1
ç
2
2 è 2
D
C
4 -1 3
æ 3 ö
=
=
P ,0
è 2 ø
故当 m
时， 最大，此时 ç
S
÷
2
2
（3）由题知，ÐBCM ¹ ÐABC
( )
M 3,2
ÐBCM = ÐABC
ÐCBM = ÐABC
当
当
时，CM / /AB ，由对称性知
MF ^ BC
时（如图）过M 作
于 F ，过 F 作 y 轴的平行线，交 x 轴于G ，
交过 M 平行于 x 轴的直线于 K
DMBF DMFK DFBG DCBO
不难证明
( )
G n,0
æ
1
ö
÷
ø
F n,- n + 2
设
，则 ç
è
2
MK FG CO 1 MK MF 1
，
=
=
=
=
FK BG BO 2 FK FB 2
=
又∵
1
4
1
= -
n +1， = - n + 2
∴ KM
2
æ 3
ö
1
3
+1,-n + 4
y = - x + x + 2
∴ M ç n
è 4
÷代入
2
，
ø
2
2
8
æ 5 28 ö
n =
n = 4
M ,
解得
，或
（舍去），∴ ç
÷
9
è 3 9 ø
( )
3,2
æ 5 28 ö
M ,
故 M
或 ç
÷
è 3 9 ø
( )
1
= - x + 2
设 P m ，
,0 l
： y
2
BC
æ
∴ E çm,
è
1
ö
- m + 2
y = 2x + 2
：
l
÷ ，又∵
2
ø
AC
( )
P m,0
，把 代入
y
= 2x + b
= -
b 2m
故可设l
：
PD
ì
ï
4m + 4
ì
1
x
=
ï
= - x + 2
ïy
æ
4m 4 8 2m ö
+
-
5
8- 2m
5
联立 í
2
解得： í
∴ Dç
è 5
,
÷
5 ø
ï
ï
= 2x - 2m
y =
îy
ï
î
ö 4m + 4
ø 5
1
11æ 1
1 ( )( )
5
S = PE | x - x |=
- m + 2÷
= - m - 4 m +1
ç
2
2 è 2
D
C
4 -1 3
æ 3 ö
=
=
P ,0
è 2 ø
故当 m
时， 最大，此时 ç
S
÷
2
2
（3）由题知，ÐBCM ¹ ÐABC
( )
M 3,2
ÐBCM = ÐABC
ÐCBM = ÐABC
当
当
时，CM / /AB ，由对称性知
MF ^ BC
时（如图）过M 作
于 F ，过 F 作 y 轴的平行线，交 x 轴于G ，
交过 M 平行于 x 轴的直线于 K
DMBF DMFK DFBG DCBO
不难证明
( )
G n,0
æ
1
ö
÷
ø
F n,- n + 2
设
，则 ç
è
2
MK FG CO 1 MK MF 1
，
=
=
=
=
FK BG BO 2 FK FB 2
=
又∵
1
4
1
= -
n +1， = - n + 2
∴ KM
2
æ 3
ö
1
3
+1,-n + 4
y = - x + x + 2
∴ M ç n
è 4
÷代入
2
，
ø
2
2
8
æ 5 28 ö
n =
n = 4
M ,
解得
，或
（舍去），∴ ç
÷
9
è 3 9 ø
( )
3,2
æ 5 28 ö
M ,
故 M
或 ç
÷
è 3 9 ø
( )
1
= - x + 2
设 P m ，
,0 l
： y
2
BC
æ
∴ E çm,
è
1
ö
- m + 2
y = 2x + 2
：
l
÷ ，又∵
2
ø
AC
( )
P m,0
，把 代入
y
= 2x + b
= -
b 2m
故可设l
：
PD
ì
ï
4m + 4
ì
1
x
=
ï
= - x + 2
ïy
æ
4m 4 8 2m ö
+
-
5
8- 2m
5
联立 í
2
解得： í
∴ Dç
è 5
,
÷
5 ø
ï
ï
= 2x - 2m
y =
îy
ï
î
ö 4m + 4
ø 5
1
11æ 1
1 ( )( )
5
S = PE | x - x |=
- m + 2÷
= - m - 4 m +1
ç
2
2 è 2
D
C
4 -1 3
æ 3 ö
=
=
P ,0
è 2 ø
故当 m
时， 最大，此时 ç
S
÷
2
2
（3）由题知，ÐBCM ¹ ÐABC
( )
M 3,2
ÐBCM = ÐABC
ÐCBM = ÐABC
当
当
时，CM / /AB ，由对称性知
MF ^ BC
时（如图）过M 作
于 F ，过 F 作 y 轴的平行线，交 x 轴于G ，
交过 M 平行于 x 轴的直线于 K
DMBF DMFK DFBG DCBO
不难证明
( )
G n,0
æ
1
ö
÷
ø
F n,- n + 2
设
，则 ç
è
2
MK FG CO 1 MK MF 1
，
=
=
=
=
FK BG BO 2 FK FB 2
=
又∵
1
4
1
= -
n +1， = - n + 2
∴ KM
2
æ 3
ö
1
3
+1,-n + 4
y = - x + x + 2
∴ M ç n
è 4
÷代入
2
，
ø
2
2
8
æ 5 28 ö
n =
n = 4
M ,
解得
，或
（舍去），∴ ç
÷
9
è 3 9 ø
( )
3,2
æ 5 28 ö
M ,
故 M
或 ç
÷
è 3 9 ø
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