北京市海淀区2019-2020八年级上学期期末数学试卷-及答案解析.docx

北京市海淀区 2019-2020 八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列图案是轴对称图形的是( )．
B.
D.
C.
2. 用科学记数法表示−0.0000031，结果是( )
B.
C.
D.
D.
A.
−3.1 × 10−4
3.1 × 10−6
−0.31 × 10−5
−3.1 × 10−6
3. 下列运算的结果为 的是( )
6
B.
C.
A.
+
)
3 3
⋅
÷
12 2
3
3
3
3
4. 下列分解因式正确的是( )
B.
D.
A.
C.
− 4 =
−
+ 4)
−
=
2
+
−
2
2
3
+
=
+
−
2
+ 1 =
− 2) + 1
2
2
中，
=
在
、 上分别截取 ， ，使
AB AC AP AQ
=
再分别以点 ， 为圆心，以大于
P Q
内交于点 ，作射线 ，交
AR
于点 若
= 6，则
R
的长为( )
BD
A.
B.
C.
4
D.
2
3
5
6. 一个长方形的面积为
−
+
，长为 2 ，则这个长方形的宽为( )
xy
2
3
B.
C.
D.
A.
3
2
3
2
−
+ 3
3
2
−
2 +
− 3 +
−
+

的角平分线，
⊥
⊥
则有下列结论：
；
，
=
；
=
；
=
；
=
错误的个数有( )
A.
B.
C.
D.
1 个
2 个
3 个
4 个
则图中
=
A.
B.
C.
C.
D.
D.
6
7
8
9
1
1
9. 分式
的计算结果是( )．
(
)
B.
A.
1
1
10. 一个大长方形
按如图方式分割成九个四边形，且只有标号为①和②的两个正好为正方形，
ABCD
其余均为长方形.若已知小正方形①的周长为 12，小长方形③的周长为 2 ，小长方形④的周长
m
为 2 ，且
= 61，这个大长方形
的面积( )
n
ABCD
A.
B.
C.
D.
90
60
70
80
二、填空题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）
11. 如果分式
12. 计算
的值为 0，则 的值是______．
x
) ⋅
2 2
) = ______ ．
2 2
13. 如图，要测量河两岸相对两点 、 间的距离，在河岸
A B
上截取
=
，作
⊥
交
AC
BM
的延长线于点 ，垂足为点 ，测得
E D
= 3，
= 4，则 、 两点间的距离等于______．
A B

14. 两点之间________叫做这两点之间的距离．
15. 在平面直角坐标系
中，如果
轴，点 的坐标为(−3,4)， 、 两点的距离为 5，那么
A B
xOy
A
点 的坐标为____________。
B
16. 某小区购买了银杏树和玉兰树共 150 棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000 元，购买玉
兰树用了 9000 元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，求银杏树和玉兰树的单价．设银
杏树的单价为 元，可列方程为______．
x
17. 如图，已知在△
， 平分
CD
， ⊥
=
，则△
的周长为__________ ．
cm
18. 如图，
=
，
⊥
于点 ，
G
⊥
于点 ，且
F
=
，
求证：△
是等腰三角形．请将说理过程补充完整．
证明：∵
⊥
于点 ，
G
⊥
于点
)
∴
=
= 90°( )
又∵
=
，________=________
∴
△
△
)
∴ ∠______= ∠______
∴
=
)

∴△
是等腰三角形
三、解答题（本大题共 9 小题，共 54.0 分）
19.
1
(1)计算：√27 +
(2)因式分解：
+ ( 2
)
4(√3 2)0．
2
+ ．
2
20.
交
=
AB
AC
+
=
．
21.
1
(1)先化简，再求值：
2
+ 1
+ 1 + + + 1)2，其中 = ， = 2;
2
(2)已知 1 = 3，求代数式 + 1)
+ 1) + 4的值;
√
2

(3)先化简，再求值：
+
− 3) −
− 6) + 6，其中 = 2 − 1．
√
√
√
22.
中，
交边
AB
⊥
⊥
．
(2)求
的长．
DE
23.
2
÷
− 2 −
)，其中
先化简，再求代数式的值：
= 2 + √2
2−4

24.
根据证明命题的步骤，先画出命题对应的图形，再写出“已知”和“求证”，并证明．
命题：等角的补角相等．
已知：
求证：
证明：
25.
(1)若 − = 6， = 2，求 3 + 3的值；
(2)已知 −
+ 2 = 0，求代数式 −
+ 1) − + 2) + 5的值．
2
2
26.
如图，
= 60°，点 是
边上一点，点 ， 是
边上两点，且
=
，作点 关
B
A
OM
B C ON
于
的对称点点 ，连接
D
， ， ．
AD CD OD
OM

(1)依题意补全图形；
(2)猜想
=____°，并证明；
(3)猜想线段
、 、
OA OD OC
的数量关系，并证明．
27.
如图，△
和△
均为等腰三角形， =
， =
， >
，
=
且点 、
A
、 在同一直线上，连结 BE．
D E
(1)若
(2)若
①求
②若
= 60°，则
的度数为_______；线段
= 90°，CM 为△ 边上的高．
DE
、 之间的数量关系是_______；
AD BE
=
中
的度数；
= √2，
= 1，试求
的长．
CM

-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2.答案：D
解析：解：−0.0000031 = −3.1 × 10−6，故选D．
绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 × 10 ，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 × 10 ，其中1 ≤
第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
3.答案：C
< 10，n 为由原数左边起
解析：解：A、 3 + 3 = 3，故本选项错误；
B、 ) = ，故本选项错误；
3 3
9
C、 ⋅
= ，故本选项正确；
3
3
6
D、
÷
= ，故本选项错误．
12
2
10
故选：C．
分别根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方法则进行计算即可．
本题考查的是同底数幂的除法，熟知合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方法则是解
答此题的关键．

4.答案：B
解析：解：A、原式=
+
− 2)，不符合题意；
B、原式=
+
− ，符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式= − 1) ，不符合题意，
2
故选：B．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5.答案：B
解析：解：由题可得，AR 平分
，
又∵
=
，
∴
是三角形 ABC 的中线，
∴
= 1
= 1 × 6 = 3，
2
2
故选：B．
依据等腰三角形的性质，即可得到
1
2
=
，进而得出结论．
本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
上的高相互重合．
6.答案：A
解析：解：∵长方形的面积为 2 −
3 +
，长为
2xy，
∴宽为：
故选 A．
−
+
÷
= −
+ ，
3
2
3
2
2
根据长方形的面积等于长乘以宽，从而可以解答本题．
本题考查整式的除法，解题的关键是明确长方形的面积公式和整式的除法的解答方法．
7.答案：C
解析：

本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．做题时要注意思路：由已知结合性质与图
形进行思考，由易到难，步步深入．
由角平分线易得
=
，根据 HL 证明△
，利用全等三角形的性质判断即可．
解：∵
是△
的角平分线，
∴
=
，
∵
∴
是△
的高，DF 是△
的高，
=
，
与 △
在 △
中，
=
=
{
∴
∴
△
△
，
=
，
=
，
=
，
故正确是(1)(4)(5)(7)，
(2)(3)(6)无法得出，
故错误的有 3 个，
故选 C．
8.
答案：C
解析：
本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质，注意找出全等三角形时要按照一定的顺序，做到不
重不漏．
解：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴
=
=
=
=
，
=
，
=
=
=
，
∵
∴
，
在△
和△
中

=
=
{
=
，
，
∴△
∴
=
，
=
，
∴
=
，
在△
和△
中
=
=
{
=
，
∴△
．
同样可以证明△
，△
，△
，△
，△
，
△
，
共有 8 对三角形全等．
故选 C．
9.答案：C
解析：
本题考查了分式的加减运算，题目比较容易．先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意
将结果化为最简分式．
1
1
=
= 1．
解：
故选 C．
10.答案：B
解析：

本题考查了矩形的性质，正方形的性质，先求得小正方形①的边长为 3，小长方形③的长与宽的和
为 ，小长方形④的长与宽的和为 ，设小正方形②的边长为 ，则则大长方形
的面积=
m
n
x
ABCD
( − + 3 + )( + 3 + − ) =
+
+
+ 9，再根据
+
+
= 61，即可求得答案．
解：∵小正方形①的周长为 12，
∴小正方形①的边长为 3，
∵小长方形③的周长为 2 ，
m
∴小长方形③的长与宽的和为 ，
m
∵小长方形④的周长为 2 ，
n
∴小长方形④的长与宽的和为 ，
n
设小正方形②的边长为 ，
x
则大长方形
的面积= ( − + 3 + )( + 3 + − )，
ABCD
= ( + 3)( + 3)，
=
∵
+
+
+
+ 9，
+
= 61，
∴大长方形
的面积= 70，
ABCD
故选 ．
B
11.
答案：0
解析：
本题考查的是分式值为零的条件，属于基础题．
根据分式值为零的条件列式计算即可．

解：由题意得，
解得， = 0，
故答案为：0．
12.答案： 6 4
− 2) = 0，且 − 2 ≠ 0，
解析：
本题主要考查的是单项式乘单项式、积的乘方，掌握单项式乘单项式法则、积的乘方法则是解题的
关键，先算积的乘方，然后按照单项式乘单项式法则进行计算即可．
解：原式= 4 ⋅
2 4 =
6 4．
故答案为： 6 4．
13.答案：3
解析：解：在△
和△
，
中，
=
=
= 90°
{
=
∴△
∴
，
=
= 3．
故答案为：3．
利用“角边角”证明△
和△
全等，根据全等三角形对应边相等可得
=
．
本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出全等三角形是
解题的关键．
14.答案：线段的长度
解析：
本题考查了两点间的距离，属于基础题，主要掌握两点间距离的定义.根据两点间距离的定义即可得
出答案．
解：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，

故答案为线段的长度．
15.答案：(−3,9)或(−3, −1)
解析：
本题考查点的坐标的确定，属于基础题，比较简单．
解：
轴，点 的坐标为(−3,4)，
A
故 的横坐标是−3，
B
、 两点的距离为 5，
A B
故点 的坐标为：(−3,9)或(−3, −1)，
B
故答案为：(−3,9)或(−3, −1)．
16.答案：12000 + 9000 = 150
解析：
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设银杏树的单价为 元，则玉兰树的单价为
x
元，根据“某小区购买了银杏树和玉兰树共 150 棵”
列出方程即可．
解：设银杏树的单价为 元，则玉兰树的单价为
x
元，
根据题意，得12000 + 9000 = 150
．
故答案为12000 + 9000 = 150
．
17.答案：15
解析：
本题考查的是角平分线的性质和等腰直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离
相等是解题的关键．
根据角平分线的性质得到
=
，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵
平分
，
，
⊥
，
= 90°，
∴
=
=
，
△
的周长=
+
+
=
=
+
+
+
=
+
=
=

故答案为 15．
18.答案：已知，垂直的定义，
=
， ， ， ，在一个三角形中，等角对等边．
HL B C
解析：
本题考查直角三角形全等的性质和判断，等腰三角形的判定，能根据相关知识解决问题．
证明：∵
⊥
，
⊥
已知)，
∴
=
= 90°(垂直的意义)，
又∵
∴
=
，
=
，
△
△
，
∴
=
，
∴
=
在一个三角形中，等角对等边)，
是等腰三角形，
∴△
故答案为已知，垂直的定义，
=
， ， ， ，在一个三角形中，等角对等边．
HL B C
19.答案：解：(1)原式= 3√3 + 3 × √3 + 4 − 4 × 1
3
= 4√3；
−
+
2
=
−
+ 1)
2
=
− 1) ．
2
解析：(1)直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案；
(2)首先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
a
此题主要考查了实数运算以及分解因式，正确化简各数是解题关键．
20.答案：证明：∵
=
+
，
=
+
，
∴
=
=
，
∵
，
∴
，
在△
和△
中，

=
{
=
=
，
∴△
∴
，
=
．
解析：本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定，能够求出△
是解此题的关
键．
求出
=
，根据平行线的性质求出
=
，根据
推出△
即可．
AAS
+ 1 + + + 1)2
− 1 + + +
2
21.
−
+ 1 −
+
答案：解：
−
2
=
−
−
−
+ 1
2
2
2
2
=
−
+
2，
2
1
当 = ， = −2时，
2
原式= 1 + 4 + 8 = 13；
(2)原式= + 1 − 2) = − 1) ，
2
2
由 − 1 = 3，
√
得到 = 3 + 1，将 值代入得：
√
x
2
原式= ( 3 + 1 − 1)
√
= 3；
(3)原式=
− 3) −
+
2
+ 6，
2
=
=
− 6 −
+
2
+ 6，
2
+ ，
2
当 = 2 − 1时，代入得：
√
原式= ( 2 − 1) + 6(√2 − 1)，
√
2
= 3 − 2√2 + 6√2 − 6，
= 4√2 − 3．
解析：本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握化简法则是解题的关键．
(1)本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．先根
据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；

(2)此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把已知等式代入原式计算
即可求出值；
(3)此题考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识
点．按平方差公式和单项式乘以多项式法则化简，然后把给定的值代入求值即可．
22.答案：(1)证明：∵
+
= 90°，
+
= 90°，
∴
=
，
在△
和△
中，
=
= 90°
{
=
，
=
∴△
；
(2)解：∵△
，
∴
∵
∴
=
，
=
，
= 3，
= 1，
=
−
= 3 − 1 = 2．
解析：(1)易证
(2)利用全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
=
，即可证明△
；
2
÷ − 2 −
)
23.答案：解：
2−4
( − 2)
( − 2)( + 2) − 2( − 2)
+ 2
=
÷
÷
×
( − 2)( + 2)
( − 2)
−
2
=
=
( − 2)( + 2)
( − 2)
+ 2
+ 2
( − 2)( + 2)
( − 2)
= 1
；
1
= √2．
当 = 2 + 2时，原式=
√
2+√2−2
2
解析：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.原式括号中两项通分并利用
同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可
求出值．

24.答案：解：已知：如图，∠1 = ∠2，∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠4 = 180°
求证：∠3 = ∠4
证明：∵ ∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠4 = 180°，
∴ ∠3 = 180° − ∠1，∠4 = 180° − ∠2，
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠3 = ∠4．
解析：本题考查证明命题的步骤，熟练掌握证明命题的步骤是解题的关键.先根据命题的题设和结论，
画出命题对应的图形，写出已知，求证，并进行证明，即可求解．
25.答案：解：(1) ∵ − = 6， = 2，
∴
+
=
+ )
3
3
2
2
［
］
=
−
+
2
= 2 × (36 + 4) = 80；
(2)原式= + −
− 1 −
−
2
− 4 + 5
=
2
−
2
=
−
，
2
当 2 −
即 2 −
+ 2 = 0，
= −2时，
原式= 2 × (−2)
= −4．
解析：本题主要考查求代数式的值，化简代数式是解本题关键，属于基础题．
(1)将 ］，然后将 − = 6， = 2代入即可求出答案；
3整理为 ［
+ 1) − + 2) + 5整理为 ，然后将 − = −2代入
+
+
2
3
−
(2)将代数式 −
−
=
−
2
2
2
2
即可．

26.
答案：解：(1)依题意补全图形如图 1 所示，
(2)60°，
理由：设
=
∵点 与点 关于
轴对称
OM
B
D
∴
∵
=
= ，
∵
= 60° ∴
=
=
+ 60)°
=
，
∴
∴
=
+ 60)°
= 180 −
= 60°，
+ 60) = (60 −
∴
=
+
+
故答案为 60；
=
+
；
理由：如图 2，
在
上截取
=
，连接 DE，
轴对称，
OM
OA
∵点 与点 关于
B
D
∴
=
= 60°，
是等边三角形，
= 60°，
∴△
由(2)可知，
∵
=
=
，
∴△
是等边三角形，
AD = DC
在△
和△
中，{∠ADE = ∠CDO,
DE = DO
∴△
∴
，
=
=
，
∴
+
．

解析：此题是几何变换综合题，主要考查了轴对称，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质，构造全等三角形是解本题的关键．
(1)根据对称性画出图形即可得出结论；
(2)先判断出
=
+ 60)°，进而判断出
=
=
+ 60)°，即可得出结论；
(3)先判断出△
是等边三角形，进而判断出△
，即可得出结论．
27.
答案：解：(1)60°；
=
；
(2)① ∵
∴
+
= 90°，
+
= 90°，
=
，
在△
和△
中，
=
{
=
，
=
∴△
∴
，
=
，
=
，

∵
= 180° −
= 135° − 45° = 90°；
，△ 是等腰直角三角形，
= 135°，
= 45°，
∴
② ∵
⊥
∴
∵
∴
=
=
，
，
= 1，
= ，则
设
= + 1，
2，
∵
=
+
2
2
∴ 2 = + 1) + ，
2
2
解得： = √3−1．
2
∴
= √3−1．
2
解析：
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求
证△
是解题的关键．
(1)易证
和
=
，证明出△
，可得
的度数；
=
， =
，根 据
= 180° −
=
= 60°，即可求得
，证明出△
= 45°，即可求得
，根 据 即可求得
(2)①易证
180° −
②易证
=
，可得
=
，
=
，根据
和
的度数；
的值，设
=
=
= ，则
= + 1，根 据
=
+
2
AD
2
2，即可求得 x 的值．
解：(1) ∵
+
= 60°，
+
= 60°，
∴
=
，
在△
和△
中，
=
=
{
=
，
∴△
∴
，
=
，
=
，
∵
= 180° −
= 120°，
= 60°，

∴
= 120° − 60° = 60°；
故答案为60°；
(2)①见答案；
②见答案．
=
；

∵
= 180° −
= 135° − 45° = 90°；
，△ 是等腰直角三角形，
= 135°，
= 45°，
∴
② ∵
⊥
∴
∵
∴
=
=
，
，
= 1，
= ，则
设
= + 1，
2，
∵
=
+
2
2
∴ 2 = + 1) + ，
2
2
解得： = √3−1．
2
∴
= √3−1．
2
解析：
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求
证△
是解题的关键．
(1)易证
和
=
，证明出△
，可得
的度数；
=
， =
，根 据
= 180° −
=
= 60°，即可求得
，证明出△
= 45°，即可求得
，根 据 即可求得
(2)①易证
180° −
②易证
=
，可得
=
，
=
，根据
和
的度数；
的值，设
=
=
= ，则
= + 1，根 据
=
+
2
AD
2
2，即可求得 x 的值．
解：(1) ∵
+
= 60°，
+
= 60°，
∴
=
，
在△
和△
中，
=
=
{
=
，
∴△
∴
，
=
，
=
，
∵
= 180° −
= 120°，
= 60°，

∴
= 120° − 60° = 60°；
故答案为60°；
(2)①见答案；
②见答案．
=
；